26.4.1实际问题与二次函数（第1课时）教学设计 2026-2027学年新人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与二次函数”第1课时，核心是利用二次函数解决最值问题。课堂导入通过复习二次函数顶点坐标、开口方向等性质，搭建从旧知到新知的学习支架，为后续实际问题分析铺垫。 以跳水、几何面积等实际案例为载体，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过建立函数模型、分析自变量取值范围培养数学思维中的推理能力，归纳“审设列解检答”步骤强化数学语言表达的模型意识，助力学生提升解决实际问题能力，也为教师提供清晰教学路径。

26.4.1 实际问题与二次函数（第1课时）教学设计 一、课标要求 1、能根据实际问题中的数量关系，列出二次函数关系式。 2、能结合二次函数的图象和性质，解决实际问题中的最值问题。 3、能根据实际问题的意义确定二次函数自变量的取值范围，并结合取值范围判断函数的最值。 二、教学目标 1、能将实际问题中的变量关系转化为二次函数模型，掌握利用二次函数顶点公式求实际问题中最值的方法。 2、能根据实际问题的意义确定二次函数自变量的取值范围，并结合取值范围判断函数的最值。 3、通过实际问题与二次函数的结合，体会数学建模思想，提高分析和解决实际问题的能力。 三、教学重点与难点 教学重点：利用二次函数模型解决实际问题中的最值问题。 教学难点：根据实际问题确定自变量的取值范围，并结合取值范围判断函数的最值。 四、教学过程 环节一：复习导入（5分钟） 师生活动： 教师提出问题：用你认为最简单的方法求出下列二次函数的顶点坐标，说出开口方向、对称轴及最值： （1） （2） 学生独立完成，教师巡视指导，然后请学生展示答案。 教师追问：对于开口向上的抛物线，顶点是什么点？对于开口向下的抛物线，顶点是什么点？ 学生回答后，教师总结： 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 向上 向下 设计意图：通过复习二次函数的基本性质，为后续利用二次函数解决实际问题中的最值问题做铺垫，帮助学生回顾顶点公式和最值的求法。 环节二：探究新知——跳水问题 师生活动： 教师出示例1：在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）之间的关系式是 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位） 教师引导学生分析： 提问1：题目要求“达到最高点的时间”和“最大高度”，这与二次函数的什么性质有关？ 学生：与二次函数的顶点有关，顶点的纵坐标是最大值。 提问2：如何求这个二次函数的顶点坐标？ 学生：可以用顶点公式求出顶点横坐标，再代入求出纵坐标。 师生共同完成解答： 确定二次函数的系数：，，。 计算顶点横坐标（达到最高点的时间）： 计算顶点纵坐标（最大高度）： 答：运动员起跳后约达到最高点，跳水过程中重心的最大高度约为。 追问：观察函数的图象，你能描述运动员在竖直方向上的运动过程吗？ 学生： - 起跳阶段（到）：运动员从高度处起跳，重心高度逐渐上升，在约时达到最高点。 - 下落阶段（到落水）：到达最高点后，重心高度开始下降，直到重心高度为时，运动员入水，完成跳水动作。 设计意图：通过跳水这一实际问题，让学生体会如何将实际问题转化为二次函数模型，掌握利用顶点公式求最值的方法。同时引导学生结合函数图象理解实际意义，培养数形结合思想。 环节三：归纳方法 师生活动： 教师引导学生总结：一般地，当（）时，抛物线的顶点有最低（高）点，也就是说，当时，二次函数有最小（大）值。 教师追问：在利用二次函数解决实际问题时，需要注意什么？ 学生总结： 1. 需要根据实际问题确定自变量的取值范围。 2. 在自变量的取值范围内，根据二次函数的性质求最值。 3. 如果顶点在自变量的取值范围内，则顶点处的函数值就是最值；如果顶点不在取值范围内，则需要根据函数的增减性，在取值范围的端点处求最值。 设计意图：通过归纳总结，帮助学生建立利用二次函数解决实际问题的基本思路，明确自变量取值范围的重要性。 环节四：巩固练习——竖直上抛问题 师生活动： 教师出示问题：根据地面向上抛出一小球，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）的关系近似为 小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 学生独立完成，教师巡视指导。 解答过程： 显然取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度。 当时，在取值范围内。 答：小球运动的时间是时，小球最高，且最大高度是。 设计意图：通过竖直上抛问题巩固利用二次函数求最值的方法，强化“先判断顶点是否在取值范围内”的意识。 环节五：探究新知——几何面积最值问题 师生活动： 教师出示例2：如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个矩形菜园。如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 提问1：要解决“如何围才能使菜园面积最大”的问题，需要先建立什么关系式？ 学生：需要建立面积与边长之间的函数关系。 提问2：设什么为自变量比较合适？ 学生：设垂直于墙的边长为比较合适。 师生共同分析： 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为。 矩形菜园的面积，即 提问3：自变量的取值范围是什么？ 学生：且，所以。 提问4：如何求这个二次函数的最大值？ 学生： 当时，有最大值，最大值是。 此时，垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为。 答：当垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为时，菜园的面积最大，最大面积是。 追问（变式训练）：如果例题中墙的长度为，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 师生共同分析： 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为。 由于墙的长度为，所以，即。 又因为，所以。 因此自变量的取值范围是。 矩形菜园的面积。 提问：顶点在取值范围内吗？ 学生：不在。 提问：那如何求最大值？ 学生：因为，抛物线开口向下，当时，随的增大而减小。在的范围内，当时，有最大值。 答：当垂直于墙的边长为时，矩形菜园的面积最大，最大面积是。 归纳总结：利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1. 根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 1. 确定自变量的取值范围； 1. 根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 1. 根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值。 设计意图：通过几何面积最值问题，让学生体会如何建立二次函数模型，并重点关注自变量取值范围对最值的影响。变式训练让学生理解当顶点不在取值范围内时，需要根据函数的增减性在端点处求最值，突破教学难点。 环节六：课堂练习 练习1：在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围、两边），设，花园面积为。 （1）求关于的函数解析式； （2）当为何值时，有最大值？请求出最大值。 解答： （1）由题意得， 则，自变量的取值范围是。 （2） 当时，有最大值，最大值是。 答：当时，有最大值，最大值是。 练习2：如图，四边形的两条对角线、互相垂直，，当、的长是多少时，四边形的面积最大？ 解答： 设，四边形面积为， 则。 当时，有最大值，最大值是。 即当、的长均为时，四边形的面积最大。 练习3：用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（如图所示），墙长为，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解答： 设矩形的长为，面积为，则矩形的宽为。 自变量的取值范围：，，且。 由，得。 又，所以。 当时，在取值范围内，有最大值，最大值是。 此时，矩形的长为，宽为。 答：当矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大，最大面积是。 练习4：如图，点、、、分别位于正方形的四条边上，四边形也是正方形，当点位于何处时，正方形的面积最小？ 解答： 令长为，设，正方形的面积为， 则。 在直角三角形中，由勾股定理： 当 时，有最小值，最小值是。 即当位于中点时，正方形的面积最小。 环节七：课堂小结 师生活动： 教师引导学生回顾本节课的内容： 提问：利用二次函数解决实际问题的一般步骤是什么？ 学生总结： 利用二次函数解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、检、答。 具体包括： 1. 审清题意，找出问题中的变量和常量； 2. 设自变量和因变量； 3. 列出二次函数关系式； 4. 确定自变量的取值范围； 5. 利用二次函数的性质求最值； 6. 检验结果是否符合实际意义； 7. 写出答案。 教师补充：在求最值时，要先判断顶点是否在自变量的取值范围内。如果在，则顶点处的函数值就是最值；如果不在，则需要根据函数的增减性，在取值范围的端点处求最值。 学科网（北京）股份有限公司 $