26.2.3.2用待定系数法求二次函数的解析式 教学设计 2026——2027学年人教版九年级数学上册

课题

第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式

授课人

教

学

目

标

　　1.让学生利用已知条件设恰当的函数解析式,用待定系数法求二次函数的解析式.

2.指导学生利用二次函数的解析式和性质解决问题.

3.通过一题多解和不同形式不同解答方案的教学方式和方法,培养学生的思维能力和转化能力.

4.让学生在经历识图的过程中,培养学生独立分析问题、解决问题的能力,提升数学思维意识.

5.让学生感受数学的美,激发学生学习数学的兴趣;让学生体验数学这一工具在解决实际问题中的作用.

教学

重点

　　如何根据已知条件设恰当的函数解析式.

教学

难点

　　在实际问题中,体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质解决实际问题.

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

　　1.在一次函数解析式y=kx+b中有几个待定系数?通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式?

2.求一次函数解析式的方法是什么?它的一般步骤是什么?

　　回顾前面所学,联系本节内容,让学生体会知识间的联系.

活动

一:

探究

与

应用

【探究1】 利用一般式求解析式

问题1:由几个点的坐标可以确定二次函数的解析式?这几个点应满足什么条件?

[答案:3个　三点不在同一直线上]

问题2:如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出

　　1.运用类比的思想方法,用待定系数法求二次函数的解析式.已知抛物线上三个点的坐标,运用一般式求解.

这个二次函数的解析式吗?如果能,求出这个二次函数的解析式.

师生活动:学生独立思考问题,教师提示设出合适的函数解析式,学生自主进行解答,教师做好辅导工作.

学生进行分析,根据图象经过三个点,可设二次函数的一般式,再把三个点的坐标代入后解三元一次方程组即可.

教师展示正确答案.

解:设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.

根据题意,得解得

∴这个二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.

归纳:这种已知三点的坐标求二次函数解析式的方法叫作一般式法.

其步骤是:

①设函数解析式为y=ax2+bx+c;

②将三个点的坐标或三组x,y的对应值代入后得到一个三元一次方程组;

③解方程组得到a,b,c的值;

④得函数解析式.

【探究2】 利用顶点式求解析式

问题:已知抛物线的顶点坐标为(4,-1),与y轴交于点(0,3),求这条抛物线的解析式.

解:依题意,设y=a(x-4)2-1.

将(0,3)代入,得3=a(0-4)2-1,解得a=,

∴这条抛物线的解析式为y=(x-4)2-1.

归纳:这种已知抛物线的顶点坐标,求解析式的方法叫作顶点式法.其步骤是:

①设函数解析式是y=a(x-h)2+k;

②将顶点坐标和另一点的坐标代入后得到关于a的一元一次方程;

③解方程得到a的值;

2.在给定顶点坐标时,设一般式求解较麻烦,所以引导学生采用顶点式解答,这样让学生了解对于不同类型的问题有不同的解题方法,有利于活跃学生的思维,养成善于总结的习惯.

④得函数解析式.

活动

一:

探究

与

应用

【探究3】 利用交点式求解析式

　图26-2-33

问题:如图26-2-33,已知二次函数的图象经过点(-3,0),(-1,0),(0,-3),试求出这个二次函数的解析式.

解:∵点(-3,0),(-1,0)是二次函数的图象与x轴的交点,

∴可设这个二次函数的解析式是y=a(x+3)(x+1).

把(0,-3)代入,得-3=a(0+3)(0+1),解得a=-1,

∴二次函数的解析式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.

归纳:这种已知抛物线与x轴的交点,求函数解析式的方法叫作交点式法.其步骤是:

①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标;

②把第三个点的坐标代入解析式中;

③求出a的值;

④得函数解析式.

　　3.已知抛物线与x 轴的两个交点坐标,可设函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.引导学生注意观察给定坐标的特点,对比上面的两个探究引导学生归纳总结.

【理解应用】

例1　一个二次函数的图象经过(0,1),(2,4),(3,10)三点,求这个二次函数的解析式.

解:设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c.

∵这个二次函数的图象经过点(0,1),(2,4),(3,10),

∴解得

　　通过例题,激发学生的学习兴趣,能运用所学知识,从不同的角度进行解答,既训练了学生一题多解的能力和思维的灵活性,又培养了学生深层次的思维能力.