26.2.3.2用待定系数法求二次函数的解析式 教学设计 2026——2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦用待定系数法求二次函数解析式，通过回顾一次函数待定系数法（如y=kx+b的待定系数数量、所需点坐标）导入，搭建知识联系支架，衔接前后内容。 特色在于分一般式、顶点式、交点式探究，通过一题多解（如例3用对称轴求交点坐标）培养数学思维与模型意识，教师引导学生观察坐标特点选合适形式，提升学生分析能力，助力教师高效落实重难点。

第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式 　　　　　　　　　　　　　　 课题 第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式 授课人 教 学 目 标 　　1.让学生利用已知条件设恰当的函数解析式,用待定系数法求二次函数的解析式. 2.指导学生利用二次函数的解析式和性质解决问题. 3.通过一题多解和不同形式不同解答方案的教学方式和方法,培养学生的思维能力和转化能力. 4.让学生在经历识图的过程中,培养学生独立分析问题、解决问题的能力,提升数学思维意识. 5.让学生感受数学的美,激发学生学习数学的兴趣;让学生体验数学这一工具在解决实际问题中的作用. 教学 重点 　　如何根据已知条件设恰当的函数解析式. 教学 难点 　　在实际问题中,体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质解决实际问题. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　1.在一次函数解析式y=kx+b中有几个待定系数?通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式? 2.求一次函数解析式的方法是什么?它的一般步骤是什么? 　　回顾前面所学,联系本节内容,让学生体会知识间的联系. 活动 一: 探究 与 应用 【探究1】 利用一般式求解析式 问题1:由几个点的坐标可以确定二次函数的解析式?这几个点应满足什么条件? [答案:3个　三点不在同一直线上] 问题2:如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的解析式吗?如果能,求出这个二次函数的解析式. 师生活动:学生独立思考问题,教师提示设出合适的函数解析式,学生自主进行解答,教师做好辅导工作. 学生进行分析,根据图象经过三个点,可设二次函数的一般式,再把三个点的坐标代入后解三元一次方程组即可. 教师展示正确答案. 解:设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. 根据题意,得解得 ∴这个二次函数的解析式为y=2x2-3x+5. 归纳:这种已知三点的坐标求二次函数解析式的方法叫作一般式法. 其步骤是: ①设函数解析式为y=ax2+bx+c; ②将三个点的坐标或三组x,y的对应值代入后得到一个三元一次方程组; ③解方程组得到a,b,c的值; ④得函数解析式. 【探究2】 利用顶点式求解析式 问题:已知抛物线的顶点坐标为(4,-1),与y轴交于点(0,3),求这条抛物线的解析式. 解:依题意,设y=a(x-4)2-1. 将(0,3)代入,得3=a(0-4)2-1,解得a=, ∴这条抛物线的解析式为y=(x-4)2-1. 归纳:这种已知抛物线的顶点坐标,求解析式的方法叫作顶点式法.其步骤是: ①设函数解析式是y=a(x-h)2+k; ②将顶点坐标和另一点的坐标代入后得到关于a的一元一次方程; ③解方程得到a的值; ④得函数解析式. 　　1.运用类比的思想方法,用待定系数法求二次函数的解析式.已知抛物线上三个点的坐标,运用一般式求解. 2.在给定顶点坐标时,设一般式求解较麻烦,所以引导学生采用顶点式解答,这样让学生了解对于不同类型的问题有不同的解题方法,有利于活跃学生的思维,养成善于总结的习惯. 活动 一: 探究 与 应用 【探究3】 利用交点式求解析式 　图26-2-33 问题:如图26-2-33,已知二次函数的图象经过点(-3,0),(-1,0),(0,-3),试求出这个二次函数的解析式. 解:∵点(-3,0),(-1,0)是二次函数的图象与x轴的交点, ∴可设这个二次函数的解析式是y=a(x+3)(x+1). 把(0,-3)代入,得-3=a(0+3)(0+1),解得a=-1, ∴二次函数的解析式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 归纳:这种已知抛物线与x轴的交点,求函数解析式的方法叫作交点式法.其步骤是: ①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标; ②把第三个点的坐标代入解析式中; ③求出a的值; ④得函数解析式. 　　3.已知抛物线与x 轴的两个交点坐标,可设函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.引导学生注意观察给定坐标的特点,对比上面的两个探究引导学生归纳总结. 【理解应用】 例1　一个二次函数的图象经过(0,1),(2,4),(3,10)三点,求这个二次函数的解析式. 解:设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c. ∵这个二次函数的图象经过点(0,1),(2,4),(3,10), ∴解得 ∴这个二次函数的解析式是y=x2-x+1. 例2　一个二次函数的图象经过点(0,1),它的顶点坐标为(8,9),求这个二次函数的解析式. 解:∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9), ∴可以设二次函数的解析式为y=a(x-8)2+9. 又∵它的图象经过点(0,1),∴1=a(0-8)2+9,解得a=-, ∴这个二次函数的解析式为y=-(x-8)2+9. 例3　二次函数的图象经过点A(1,0),B(0,-3),对称轴是直线x=2.求出这个二次函数的解析式. 解:∵二次函数的图象经过点A(1,0),对称轴是直线x=2, ∴该二次函数的图象经过另一点(3,0), ∴设这个二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3). 将B(0,-3)代入,得-3=a(0-1)(0-3),解得a=-1, ∴这个二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3. 　　通过例题,激发学生的学习兴趣,能运用所学知识,从不同的角度进行解答,既训练了学生一题多解的能力和思维的灵活性,又培养了学生深层次的思维能力. 活动 二: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【当堂训练】 1.已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点(-2,8)和(-1,5),求这个二次函数的解析式. 解:∵二次函数y=ax2+bx的图象经过点(-2,8)和(-1,5), ∴解得∴y=-x2-6x. 　图26-2-34 2.如图26-2-34,已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M(0,-1).求抛物线的函数解析式. 解:∵抛物线的函数解析式中二次项系数为1,且顶点坐标为M(0,-1), ∴抛物线的函数解析式为y=x2-1. 3.已知抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(1,0),且过点M(0,1),求抛物线的解析式. 解:设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-1). ∵抛物线过点M(0,1),∴1=a(0+1)(0-1),解得a=-1, ∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-1),即y=-x2+1. 学生进行当堂训练,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　针对本课时的主要问题,从多个角度、分层次进行训练,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知活动中,学生能够在讨论、交流的同时,对于新知有深入的理解,获得求解二次函数解析式的方法. ②[讲授效果反思] 教师强调本课的重、难点:(1)利用待定系数法求函数解析式,在设解析式时,能够正确选择二次函数解析式的形式;(2)解三元一次方程组时注意“消元”的方法和步骤;(3)运用顶点式进行求解时,先代入顶点坐标. ③[师生互动反思] 从教学过程分析,学生有充分的自主探究、合作交流的时间,能够起到较好的效果,教师点拨到位、举例说明,能够落实课时学习目标. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $