26.2.3.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数一般式的图象性质（参数意义、对称轴、顶点坐标等）及待定系数法（一般式、交点式、顶点式），通过回忆一次函数待定系数法引导思考二次函数确定条件，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是结合中考设计物理情境应用题（如饮水机电功率），以数学眼光抽象模型，数学思维推理运算，数学语言表达规律。基础练习分层且易错总结清晰，助力学生提升运算能力与应用意识，教师可高效开展培优教学。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 26.2.3.2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第26章 二次函数 26.2.3.1 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象和性质 练习题（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 一般式定义：形如 $$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$为常数，$$a eq0$$）的二次函数称为一般式，是二次函数最通用的形式，所有二次函数均可化为一般式。 2. 三参数意义：$$a$$决定开口方向与开口宽窄；$$a、b$$共同决定对称轴位置；$$c$$决定抛物线与$$y$$轴交点位置。 3. 核心公式（必考）： 对称轴公式：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$ 顶点横坐标：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$ 顶点纵坐标：$$y=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$ 顶点坐标：$$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)$$ 4. 图象基本性质：图象为抛物线，形状、开口由$$a$$决定。 ① $$a&gt;0$$：开口向上，顶点为最低点，有最小值； ② $$a<0$$：开口向下，顶点为最高点，有最大值； ③ $$|a|$$越大，开口越窄；$$|a|$$越小，开口越宽。 5. 增减性规律（以对称轴为分界线）： ① $$a>0$$：当$$x<-\dfrac{b}{2a}$$时，$$y$$随$$x$$增大而减小；当$$x>-\dfrac{b}{2a}$$时，$$y$$随$$x$$增大而增大。 ② $$a<0$$：当$$x<-\dfrac{b}{2a}$$时，$$y$$随$$x$$增大而增大；当$$x>-\dfrac{b}{2a}$$时，$$y$$随$$x$$增大而减小。 6. 最值公式： $$a>0$$，$$y_{min}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$；$$a<0$$，$$y_{max}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$。 7. 特殊交点：抛物线与$$y$$轴交点坐标恒为 $$(0,c)$$。 8. 对称轴符号口诀：左同右异。 ① $$a、b$$同号，对称轴在y轴左侧；② $$a、b$$异号，对称轴在y轴右侧；③ $$b=0$$，对称轴为y轴。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 抛物线$$y=x^2-4x+1$$的对称轴是（） A. 直线$$x=2$$ B. 直线$$x=-2$$ C. 直线$$x=4$$ D. 直线$$x=-4$$ 2. 抛物线$$y=-2x^2+3x-5$$的开口方向和最值情况是（） A. 向上，有最小值 B. 向上，有最大值 C. 向下，有最小值 D. 向下，有最大值 3. 抛物线$$y=3x^2-6x$$与y轴的交点坐标是（） A. $$(0,-6)$$ B. $$(0,0)$$ C. $$(0,3)$$ D. $$(0,6)$$ （二）填空题 4. 二次函数$$y=2x^2+8x-1$$的对称轴为________，顶点横坐标为________。 5. 抛物线$$y=-x^2+4x-2$$有最________值，最值为________。 6. 若抛物线$$y=ax^2+2x+3$$的对称轴在y轴右侧，则$$a$$的取值范围是________。 （三）解答题 7. 求二次函数$$y=x^2-2x-3$$的对称轴、顶点坐标和最值。 8. 写出二次函数$$y=-2x^2+8x-5$$的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：A。解析：$$a=1,b=-4$$，对称轴$$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2}=2$$。 2. 答案：D。解析：$$a=-2<0$$，开口向下，抛物线有最高点，存在最大值。 3. 答案：B。解析：与y轴交点令$$x=0$$，得$$y=0$$，交点$$(0,0)$$。 4. $$x=-2$$$$-2$$答案：直线，。解析：$$a=2,b=8$$，$$x=-\dfrac{8}{4}=-2$$。 5. 答案：大，2。解析：$$a=-1<0$$有最大值，代入公式：$$y=\dfrac{4\times(-1)\times(-2)-16}{-4}=\dfrac{8-16}{-4}=2$$。 6. $$a<0$$答案：。解析：对称轴在y轴右侧，满足“右异”，$$a、b$$异号，$$b=2>0$$，故$$a<0$$。 7. 解析：由$$a=1,b=-2,c=-3$$，对称轴：$$x=-\dfrac{-2}{2}=1$$。 顶点纵坐标：$$y=\dfrac{4\times1\times(-3)-4}{4}=\dfrac{-12-4}{4}=-4$$，顶点坐标$$(1,-4)$$。 $$a=1&gt;0$$，当$$x=1$$时，函数最小值为$$-4$$，无最大值。 8. 解析：$$a=-2,b=8,c=-5$$ 开口方向：$$a=-2<0$$，开口向下； 对称轴：$$x=-\dfrac{8}{2\times(-2)}=2$$，即直线$$x=2$$； 顶点纵坐标：$$y=\dfrac{4\times(-2)\times(-5)-64}{4\times(-2)}=\dfrac{40-64}{-8}=3$$，顶点坐标$$(2,3)$$； 最值：$$a<0$$，当$$x=2$$时，最大值为$$3$$； 增减性：$$x<2$$时，$$y$$随$$x$$增大而增大；$$x>2$$时，$$y$$随$$x$$增大而减小。 四、易错总结 1. 对称轴公式记错符号，漏写负号，是本节第一易错点；2. 混淆一般式与顶点式的最值求法，乱用公式；3. “左同右异”理解错误，判断对称轴位置出错；4. 求顶点纵坐标计算量大，容易算错符号；5. 判断增减性时，未区分开口方向直接套用结论。 会用待定系数法求二次函数的解析式. 灵活应用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式. 【思考】回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？ 探究新知 利用一般式求二次函数的解析式 知识点 1 3 我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？ 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)，(1,4)，求这个函数的解析式. 解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得 a-b+c=10， a+b+c=4. 三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？ 第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组. 探究新知 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)，(1,4) ，(2,7)，求这个函数的解析式. 第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组. 解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得 a-b+c=10, a+b+c=4, 4a+2b+c=7. 三个未知数，三个等量关系，这个方程组能解吗？ 探究新知 a-b+c=10, a+b+c=4, 4a+2b+c=7. ① ② ③ ? 由②-①，得 2b=-6 b=-3. 由③-①，得 3a+3b=-3 a+b=-1 a=2. 将a=2，b=-3代入①，得 2+3+c=10 c=5. ∴这个方程组的解是 探究新知 a=2, b=-3, c=5. 例 已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3) 三点，求这个函数的解析式. 解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c. ∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3). 利用一般式求二次函数的解析式 素养考点 探究新知 ∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3. ∴ 解得a＝1，b＝-2，c＝-3. 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值. 若已知条件是二次函数图象上三个点的坐标，可设解析式为y=ax2+bx+c,列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式. 归纳 任意两点的连线不与y轴平行 一般式求二次函数的解析式 探究新知 已知一个二次函数的图象过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9)三点，求这个函数的解析式. 第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步:解方程组. 解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c. ∵抛物线经过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9). ∴ 0=c, -1=a-b+c, 9=a+b+c. 巩固练习 ∴抛物线的解析式为y＝4x2+5x. 解得 a＝4， b＝5， c＝0. 一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1，当x＝-2与 时，y＝0，求这个二次函数的解析式. 探究新知 利用交点式y=a(x-x1) (x-x2) 求二次函数解析式 知识点 2 两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？ 例 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式. 解: ∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)， ∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3). ∵图象过点C(0,3), ∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1. ∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3. 利用交点式求二次函数的解析式 素养考点 探究新知 若已知抛物线与x轴的两交点坐标，可设解析式为y=a（x-x1）（x-x2），把另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程. 归纳 交点式求二次函数的解析式： 探究新知 交点式求二次函数的解析式：若已知抛物线与x轴的两交点坐标，可设解析式为y=a（x-x1）（x-x2），把另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程. 【思考】图象顶点为(h, k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？ 探究新知 利用顶点式y=a(x-h)2+k求函数的解析式 知识点 3 例 已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式. 解：∵抛物线顶点为(1,-4), ∴设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又∵抛物线过点(2,-3)，则-3=a(2-1)2-4，则a=1. ∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3. 探究新知 利用顶点式求二次函数的解析式 素养考点 若已知顶点坐标和一点，可设解析式为y=a(x-h)2+k，将另一点坐标代入解关于a的一元一次方程. 归纳 顶点式求二次函数的解析式 探究新知 （第8题） 8. 某物理兴趣小组对一款饮水 机的工作电路展开研究，如图①，将变阻器 的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器 消耗的电功率随电流 变化的关系图象， D A. B. C. D. 如图②所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分， 则变阻器消耗的电功率 最大为( ) 中考考法 16 （第8题） 【点拨】设抛物线的解析式为 ， 把点， 的坐标分别代入上式,得 解得 抛物线的 时，取最大值为 变阻器消耗的电功率 最大 为 .故选D. 解析式为 ， 中考考法 17 （第9题） 9. 将二次函数 配成顶点式后， 发现其顶点的纵坐标比横坐标大.如图，在矩 形中，点，点 ，则二次 函数 的图象与 矩形有交点时， 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 18 【点拨】将 配成顶点式为 ， 此二次函数图象的顶点坐标是 ，开口向上，开口大小一定，易知此二次函数图 象的顶点在直线 上运动，如图①，当二次函数的图 象与矩形 第一次相交时， 中考考法 19 二次函数图象经过点，此时 取最小值，将点 的坐标代入 得， ，解得， （不合题意，舍去），的最小值是 ； 中考考法 如图②，当二次函数图象与矩形 最后一次相交时，二 次函数图象的顶点为矩形与轴的交点，即点，此时 取最大值，将的坐标代入 得，，解得， （不合题意， 舍去），的最大值是0. 综上， . 中考考法 10. [2026菏泽期末] 在平面直角坐标系中，将抛物线 ，为常数，且沿 轴向右平移 7个单位长度得到抛物线，点， 均在 抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧.若，则 的取值范围为___________. 中考考法 22 【点拨】 抛物线的解析式为， 抛物线 的对 称轴为直线 将抛物线 ，为常数，且沿 轴向右平移 7个单位长度得到抛物线， 抛物线 的对称轴为直线 ，且开口向下. 抛物线 图象上的点离直线 越远，函数值越小. 点， 均在抛 物线上，且位于抛物线对称轴的两侧， ， 中考考法 23 . 中考考法 11. 在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 . （1）已知点，在抛物线上，其中 .若 且，试比较与 的大小关系，并说明理由； 中考考法 25 【解】 .理由如下： 抛物线经过点 ， . ，，解得 . ， 中考考法 26 抛物线的对称轴为直线 . ，. . 又， 点到对称轴的距离大于点 到 对称轴的距离. 又 抛物线的开口向上， . 中考考法 27 （2）若 ，将抛物线向上平移4个单位长度得到的新抛物 线与直线交于，两点，直线与轴交于点， 为的中点，过点作轴的垂线，垂足为点，连接 ， .求证： . 中考考法 28 【证明】若，则 . 将抛物线 向上平移4个单位长度得到新抛物线 抛物线与直线交于点 ， 设点的坐标为 . 将代入,得， . 中考考法 29 为的中点， . 轴于点， . ， . . 中考考法 30 待定系数法求二次函数的解析式 一般式 交点式 顶点式 已知抛物线上三个点的坐标，设解析式为 y=ax2+bx+c 已知抛物线与x轴两交点的坐标，设解析式为 y=a（x-x1）（x-x2） 已知抛物线顶点坐标和另一个点的坐标，设解析式为y=a（x-h）2+k 课堂小结 $