2026年暑假新高三数学（.幂函数与二次函数）复习自测练习

**基本信息** 聚焦幂函数与二次函数核心内容，通过基础辨析、综合应用与开放探究的梯度设计，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配暑假复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|幂函数单调性、二次函数区间最值|基础概念辨析，如第1题考查幂函数单调性参数求解| |多选题|3/18|幂函数奇偶性、函数性质综合|概念辨析与性质应用，如第10题“理想函数”多属性判断| |填空题|3/15|幂函数图像性质、函数图像交点|数形结合应用，如第14题函数图像交点与参数范围| |解答题|5/77|二次函数解析式、幂函数综合应用、开放条件选择|多知识点综合与开放探究，如第17题三选二条件求解析式及最值，第19题含参数函数最值讨论|

2026年暑假高中数学（幂函数与二次函数）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若幂函数在(0，＋∞)上是减函数，则实数m的值是 ( B ) A．－1或3 B．3 C．－1 D．0 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，由，得或， 当时，，所以舍去， 当时，，所以，故选：B 2．已知函数，，且最大值为，则实数的取值范围为 （ C ） A. B. C. D. 3．若函数在区间上为减函数，则的取值范围为 （ B ） A. B. C. D. 4．已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是 （ D ） A. B. C. D. 5．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为 （ D ） A. B. C. D. 6．已知点（n，8）在幂函数的图象上，则函数的值域为 （ D ） A. B. C. D. 7．已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（ D ） A. B. C. D. 8．已知函数，其中，且函数的值域为，则实数的取值范围是 A. [2，4] B. C. D. （ C ） 【详解】 ，图象如下： 令，解得， 令 ，解得， 由图象可知m的取值范围为．故答案为：． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 （ BCD ） A.若幂函数的图像经过点，则解析式为. B.若函数，则在区间上单调递减. C.幂函数始终经过点和. D.若函数，则对于任意的有 10.若函数同时满足①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有 （ BCD ） A. B. C. D. 11．设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则下列说法正确的是 （ BCD ） A. 的取值范围是 B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围是 【详解】函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为；在上单调递减，函数值集合为， 方程恰有3个不同的实数根，即函数的图象与直线有3个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图： 对于A，的取值范围是，A错误； 对于B，为方程，即的两个根，，B正确；对于C，由，得，又，解得，因此，C正确；对于D，由选项B知，，则， 函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，而，则，因此的取值范围是，D正确.故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知幂函数为偶函数，则___3 _____，若，则的单调增区间是__ （或）_____ 13．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围________． 【详解】因为幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数， ，则，当时是奇函数，不满足题意，，时是偶函数且在上是减函数，，满足题意，根据函数图象关于轴对称，且在上是减函数， 可得在上是增函数，由可知定义域为，由，可得，所以，即，解得或， 故答案为:. 14．函数y＝的图象与直线y＝m(m为常数)相交于三个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)(x1＜x2＜x3)，设t＝，则t的取值范围是 (，1) ． 【详解】由题意可知，A(x1，y1)与B(x2，y2)在函数y＝x2－2x＋3上，所以关于直线x＝1对称，则x1＋x2＝2，且x＝1时，y＝2，而y＝2时，x＝1或x＝3，所以2＜x3＜3，所以t＝＝＝＝∈(，1)． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知是二次函数，且满足 （1）求函数的解析式；（2）设的最小值. 15．解：（1）由， 恒成立， ， ； （2），对称轴为， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 综上所述： 16．已知函数， （1）在本题给出的坐标系中画出函数的图象，并求的值： （2）若，求实数的值： （3）若在上的值域为，求实数的取值范围． 16．解：（1）画出图象如图所示， ，所以. （2）因为， ，由图可得， ，即，即， 解得或（舍去）， ，即，解得或（舍去）， （3），在上的值域为， 结合图象可得. 17．现有三个条件：①对任意的；②不等式的解集为；③函数请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置） 已知二次函数，且满足 （填所选条件的序号） （1）求函数的解析式； （2）设上的最小值为3，求实数的值. 17．解：（1）条件①：因为， 所以， 即对任意的恒成立， 所以，解得， 条件②：因为不等式的解集为， 所以即 条件③：函数的图象过点，所以 选择条件①②：，，，此时； 选择条件①③：， 则，，，此时； 选择条件②③：， 则，，，此时，. （2）由（1）知，其对称轴为， ①当，即时， ，解得； ②当，即时， ，解得（舍）； ③当，即时， ，无解 综上所述，所求实数的值为-3. 18．已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）若存在，使得能成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 18．解：（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. （2）因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 19．已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增. （1）求函数的解析式； （2）设函数； （i）若，试讨论的最小值； （ii）若函数定义在区间上，试求的最小值. 19．解：（1）因为幂函数在区间上单调递增， 所以，故或1， 当时，不满足偶函数，故舍去； 当时，满足偶函数， 故； （2）（i）因为， 由（1）可得， 当即时，，则， 所以的最小值即的最小值，且在时取到； 当即或时，的最小值为负数， 故的图象是将的图象位于x轴下方部分向上翻折，其余部分图象不变， 故此时的最小值为； 综上， ； （ii）函数的图象的对称轴为， 当即时，函数在区间上单调递增， 所以， 当即时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 当即时，函数在区间上单调递减，所以， 综上所述： 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（幂函数与二次函数）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若幂函数在(0，＋∞)上是减函数，则实数m的值是 ( ) A．－1或3 B．3 C．－1 D．0 2．已知函数，，且最大值为，则实数的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 3．若函数在区间上为减函数，则的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 4．已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 5．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 6．已知点（n，8）在幂函数的图象上，则函数的值域为 （ ） A. B. C. D. 7．已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8．已知函数，其中，且函数的值域为，则实数的取值范围是 A. [2，4] B. C. D. （ ） 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 （ ） A.若幂函数的图像经过点，则解析式为. B.若函数，则在区间上单调递减. C.幂函数始终经过点和. D.若函数，则对于任意的有 10.若函数同时满足①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有 （ ） A. B. C. D. 11．设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则下列说法正确的是 （ ） A. 的取值范围是 B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知幂函数为偶函数，则________，若，则的单调增区间是__ _____ 13．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围________． 14．函数y＝的图象与直线y＝m(m为常数)相交于三个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)(x1＜x2＜x3)，设t＝，则t的取值范围是 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知是二次函数，且满足 （1）求函数的解析式；（2）设的最小值. 16．已知函数， （1）在本题给出的坐标系中画出函数的图象，并求的值： （2）若，求实数的值： （3）若在上的值域为，求实数的取值范围． 17．现有三个条件：①对任意的；②不等式的解集为；③函数请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置） 已知二次函数，且满足 （填所选条件的序号） （1）求函数的解析式； （2）设上的最小值为3，求实数的值. 18．已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）若存在，使得能成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 19．已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增. （1）求函数的解析式； （2）设函数； （i）若，试讨论的最小值； （ii）若函数定义在区间上，试求的最小值. 4 学科网（北京）股份有限公司 $