江苏扬中市第二高级中学2026年暑假新高三数学（平面向量的概念及运算）复习自测练习

**基本信息** 聚焦平面向量核心概念与运算，通过三角形、梯形等几何情境分层设计，强化抽象能力与推理意识的暑假复习自测卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量共线条件、数量积关系|如第1题结合充分必要条件辨析概念本质| |多选题|3/18|向量性质、几何应用|如第11题融合重心、垂心等几何性质判断| |填空题|3/15|夹角范围、最值问题|第14题以单位向量夹角求模长最大值，考察运算能力| |解答题|5/77|综合运算与几何应用|第19题结合梯形与圆的动态情境求最值，体现模型意识|

2026年暑假高中数学（平面向量的概念及运算）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 已知向量都是非零向量，设甲：存在实数，使得，乙：，则 （ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D． 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为 （ ） A. B. C. D. 3．在梯形中，，为的中点，，交于点，若，则  （      ） A. B. C. D. 4．已知向量方向上的投影向量为，且，则 （ ） A． B． C． D． 5．已知为四边形所在平面内的一点，且向量 满足等式 ，为的中点， ，与交于点，若 则 （ ） A. B. C. D. 6．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为 （ ） A. B. C. D. 7．已知的重心，，若，，则的最小值是 （ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知非零向量，则下列结论正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 向量与向量垂直 10．在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是 （ ） A. B. C D. 11．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有 （ ） A. 若则为的重心 B. 若，则点为的垂心 C. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形 D. 若，，分别表示，的面积，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知是互相垂直的两个单位向量，若向量与向量的夹角是钝角，则实数t的取值范围是______． 13．如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 . 14．已知向量均为单位向量，若的夹角为，则的最大值为 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知，其中是夹角为的单位向量． （1）当，求与夹角的余弦值； （2）若与夹角为钝角，求的取值范围． 16．已知：向量不共线. （1），求证：共线； （2）若向量共线，求实数的值； （3）已知是两个不共线的非零向量，它们的起点相同，且三个向量的终点在同一直线上，求实数的值. 17．如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 18．如图，在中，.若点分别在边上，且满足，直线与相交于点. （1）求的最小值； （2）当时.①求的值；②计算的值. 19．已知梯形中，，，，E为的中点，连接AE. （1）若，求证：B，F，D三点共线； （2）求与所成角的余弦值； （3）若P为以B为圆心、BA为半径的圆弧（包含A，C）上的任意一点，当点在圆弧（包含A，C）上运动时，求的最小值． 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（平面向量的概念及运算）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 已知向量都是非零向量，设甲：存在实数，使得，乙：，则 （ C ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D． 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为 （ A ） A. B. C. D. 【详解】由， 由已知，则， 根据平面向量三点共线定理得，解得.故选：A 3．在梯形中，，为的中点，，交于点，若，则  （  C   ） A. B. C. D. 【详解】如图所示，连接，交AC于点.在梯形中，由，得，且. 所以，所以，且.因为为的中点，所以，且.所以，所以.所以，. 所以，.所以 .故选：C. 4．已知向量方向上的投影向量为，且，则 （ B ） A． B． C． D． 5．已知为四边形所在平面内的一点，且向量 满足等式 ，为的中点， ，与交于点，若 则 （ B ） A. B. C. D. 【详解】因为，所以，即， 所以四边形为平行四边形，如图： 设，则，设，所以 ， 所以，解得，所以，故选：B 6．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为 （ D ） A. B. C. D. 【详解】已知，将其变形可得，即. 根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线. 因为点为的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且，，三点共线， 所以为外接圆的直径，那么，即是直角三角形. 根据投影向量的定义求的值，， 可得，即， 又因为，所以，因为，所以. 的值为.故选：D. 7．已知的重心，，若，，则的最小值是 （ C ） A． B． C． D． 8．如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是 （ C ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知非零向量，则下列结论正确的是 （ABD） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 向量与向量垂直 【详解】对于A，因为非零向量，若，则，故，故A正确；对于B，若，则，故，故В正确；对于C，若，则，得到，不能确定，故C错误； 对于D，， 所以，故D正确.故选：ABD. 10．在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是 （ABD） A. B. C D. 【详解】由，及，得如图所示： 则，得，故A项正确； 由，则，故B项正确；由与是同向共线的，故，故C项错误；，故D项正确．故选：ABD 11．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有 （ ACD ） A. 若则为的重心 B. 若，则点为的垂心 C. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形 D. 若，，分别表示，的面积，则 【详解】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则，又∵由，∴，∴，∴为的重心，故选项A正确； 对于B，如图，取边中点，边中点，连接，， 则，， ∵，∴， ∴，∴，，∴，， ∴，分别是，边上的垂直平分线， ∴，为的外心，故选项B错误； 对于C，作角的内角平分线与边交于点， ∵为方向的单位向量，为方向的单位向量， ∴（），∴（）， ∴，∴，∴，为等腰三角形， 又∵，且，∴， ∴为等边三角形，故选项C正确； 对于D，设，，由得， 则由选项A可知，为的重心，设的面积， ∴，又∵，， ∴，，， ∴， ∴，故选项D正确.故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知是互相垂直的两个单位向量，若向量与向量的夹角是钝角，则实数t的取值范围是______． 13．如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 . 【解析】在中，，，则， 故， 故；又，而，， 所以，则， 又三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为，故答案为：； 14．已知向量均为单位向量，若的夹角为，则的最大值为 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知，其中是夹角为的单位向量． （1）当，求与夹角的余弦值； （2）若与夹角为钝角，求的取值范围． 15．解：（1）由已知，，是夹角为的单位向量， 所以， 又，则， 所以， 又， 所以． （2）若与的夹角为钝角，则且不共线， 所以，且， ，且，所以且． 16．已知：向量不共线. （1），求证：共线； （2）若向量共线，求实数的值； （3）已知是两个不共线的非零向量，它们的起点相同，且三个向量的终点在同一直线上，求实数的值. 16．解：（1） ， A、B、D共线， （2）共线 ， 、不共线, ； （3）设 17．如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 17．解：（1）由，得，所以. （2）在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. （3）由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 18．如图，在中，.若点分别在边上，且满足，直线与相交于点. （1）求的最小值； （2）当时. ①求的值； ②计算的值. 18．解：（1）由， 又， 所以 又点在边上，则且，解得： 所以当时，. （2）①法一：过点作的平行线，交于点， 当时，， 则，即，又， 则在中，； 法二：由三点共线，则存在实数，使得， 则； 又三点共线，则存在实数，使得， 则， 又是不共线的向量，由平面向量基本定理得：， 解得：， 所以，即； ②由①可知， 所以， 即. 19．已知梯形中，，，，E为的中点，连接AE. （1）若，求证：B，F，D三点共线； （2）求与所成角的余弦值； （3）若P为以B为圆心、BA为半径的圆弧（包含A，C）上的任意一点，当点在圆弧（包含A，C）上运动时，求的最小值． 19．解：（1）如图1，∵ ∴，∴B，F，D三点共线. （2）如图1，∵ ∴ ∵ ∴ ∴ . （3）如图2，∵， ∴ 设，则， ∵，， ∴当，即时，取最小值. 8 学科网（北京）股份有限公司 $