精品解析： 贵州省 黔西南布依族苗族自治州 兴义市名锐学校2022年中考 模拟试卷数学(四)

名锐学校2022年中考黔西南模拟试卷数学（四） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（每小题4分，10个小题，共40分） 1. 在实数，-3，，中，最小的数是（ ） A. B. -3 C. D. 2. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease 2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎；2019冠状病毒（2019-nCoV）是目前已知的第7种可以感染人的冠状病毒，病毒颗粒的平均直径约为100纳米．已知1纳米米，则100纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，△EFG 的三个顶点 E，G 和 F 分别在平行线 AB，CD 上，FH 平分∠EFG，交线段 EG 于 点 H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF 的大小为（ ） A. 105° B. 75° C. 90° D. 95° 6. 在某区的“文明城市创建宣讲员”选拔赛中，评委将从知识测试、语言表达、形象气质三个方面为选手打分（各项成绩均按百分制），然后再按知识测试占50%、语言表达占40%、形象气质占10%，计算选手的综合成绩．李老师参加了选拔赛，她的三项成绩依次是92分，95分，90分，则李老师的综合成绩为（　　） A. 92分 B. 93分 C. 94分 D. 95分 7. 2022年北京冬奥会有很多的创新，尤其是颁奖的花束，并没有使用鲜花，而是永不凋谢的绒花，有着很好的寓意，若把玫瑰、月季、铃兰以及月桂这四朵绒花分别装在四个一样的小盒子里，从中随机拿走两个小盒子，则拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某区为残疾人办实事，在一道路改造工程中，为盲人修建一条长3000米的盲道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建250米，结果提前2天完成工程，设实际每天修建盲道x米，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，抛物线（是常数，）的顶点在第四象限，对称轴是，过一、二、四象限的直线（是常数）与抛物线交于轴上一点，则下列结论正确的有( )个． ①，②，③，④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则，⑤为任意实数，则有． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，10个小题，共30分） 11. 已知数轴上的点、点所对应的实数分别是、，那么=________． 12. 因式分解：______________． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 14. 将点 P（ 2 ，1）先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后，则平移后点 P 的坐标是______． 15. 如图，切于点B，交于点C，过点B作交于点D，连接．若，则______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线向下平移b个单位后与反比例函数交第一象限于点A，交x轴于B点，，，则_______． 17. 2022年5月，黔西南州爆发地区性流感，1名感染者每天传染2人，某校九年级（3）班某天有2名学生感染流感，经过2天的传播一共有______ 名学生被感染． 18. 如图，小明站在一盏路灯下，他在这盏路灯下的影子AD的长度和其身高DE的长度相等，测量出他距路灯电杆的距离DC为3.8米，已知他的身高为1.7米，试计算路灯灯泡的高度约为 _____米． 19. 如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 20. 某校图书阅览室按如图所示的规律摆放桌椅（矩形表示桌子，圆点表示椅子），八年级（3）班42人到这个阅览室参加读书活动恰好坐满，需要桌子_________张． 三、解答题（6个小题，共80分） 21. 按要求完成下列各题： （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 22. 2022年4月23日是第27个世界读书日．某书店为了答谢顾客，当日进店消费的顾客均可进行摸球游戏，参与免费赠书活动．该书店门口放一个不透明的袋子，里面装有4个小球，小球上分别标记数字1、2、3、4，其中四个数字分别代表1．《三国演义》，2．《红楼梦》，3．《西游记》，4．《水浒传》，这四个小球除标记的数字外，其余完全相同游戏规则：顽客随机摸出一个小球，记录小球上的数字，便可免费获得相应的图书．小明和小强都参与了此次活动． （1）将袋子里的小球摇匀后，小明随机摸出一个小球，．则他能免费获得《西游记》的概率为_________． （2）将袋子里的小球摇匀后，小明随机摸出一个小球，记下数字后放回，继续摇匀后，小强随机摸出一个小球，记下数字后放回，请利用列表或画树状图的方法，求小明和小强能免费领取同一本书的概率． 23. 如图，AB是的弦，AC经过圆心O交于点D，． （1）求证：BC是的切线； （2）设的半径为2，求图中阴影部分的面积． 24. 北京2022年冬奥会于2月4日开幕，2月20日闭幕．冬奥会期间实行闭环管理，所有在闭环内的冬奥会参与者不会与外界有任何接触，大家都会在闭环中得到很好的保护．为使住宿、餐饮、医疗、交通等各项服务保障更充分，城市防疫与冬奥防疫一体推进工作体系更加优化，某场馆给此次冬奥会志愿者每人采购了一顶印有“2022北京冬奥志愿者”的御寒帽，利于防寒防疫与服务时识别．该场馆组委会决定购买A型红色和B型蓝色两种帽子共100顶，并制定了几种购买方案，这些方案满足：A型不能少于B型的一半，也不能多于B型的，负责采购的同志核算了一下，若按A型最多的方案买，需付款884元，若按A型最少的方案买，需要868元． （1）试求出A型和B型两种帽子的单价． （2）由于所购货物较多，商家决定给予优惠，A型帽子在九折的基础上再降价m元；(0＜m≤2)，问在组委会制定的几种方案中，哪种方案在给予了优惠后费用最少？请说明理由． 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为______． （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为______． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 26. 抛物线过点A（－3，0），点B（1，0）与y轴交于点C，顶点为D，点E在y轴负半轴上． （1）求抛物线的表达式及点D的坐标； （2）若△ADE是直角三角形，求点E的坐标； （3）点P是抛物线在第一象限内的点，连接AP交y轴于点H，连接AE交抛物线于点F，点G在线段OA上，且AG＝CE，连接GH，若∠EAO＝2∠OGH，，求点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名锐学校2022年中考黔西南模拟试卷数学（四） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（每小题4分，10个小题，共40分） 1. 在实数，-3，，中，最小的数是（ ） A. B. -3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数的大小比较方法判断即可． 【详解】解：∵=3.14， ∴＜-3＜＜， 故选：D． 【点睛】本题考查实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较方法是解答的关键． 2. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，由此判断即可． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知：C为轴对称图形， 故选：C 【点睛】本题考查轴对称图形的识别．掌握定义即可． 3. 新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease 2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎；2019冠状病毒（2019-nCoV）是目前已知的第7种可以感染人的冠状病毒，病毒颗粒的平均直径约为100纳米．已知1纳米米，则100纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：100纳米用科学记数法表示为100×0.000000001米=1×10-7米． 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同底数幂的除法、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方差公式． 【详解】解：A．，不符合题意； B．，符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方差公式，解题的关键是掌握相应的运算法则． 5. 如图，△EFG 的三个顶点 E，G 和 F 分别在平行线 AB，CD 上，FH 平分∠EFG，交线段 EG 于 点 H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF 的大小为（ ） A. 105° B. 75° C. 90° D. 95° 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据∠AEF=36°，∠BEG=57°，求出∠FEH的大小；然后根据AB∥CD，求出∠EFG的大小，再根据FH平分∠EFG，求出∠EFH的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF的大小为多少即可． 【详解】解：∵∠AEF=36°，∠BEG=57°， ∴∠FEH=180°-36°-57°=87°； ∵AB∥CD， ∴∠EFG=∠AEF=36°， ∵FH平分∠EFG， ∴∠EFH=∠EFG=×36°=18°， ∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=180°-87°-18°=75°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握． 6. 在某区的“文明城市创建宣讲员”选拔赛中，评委将从知识测试、语言表达、形象气质三个方面为选手打分（各项成绩均按百分制），然后再按知识测试占50%、语言表达占40%、形象气质占10%，计算选手的综合成绩．李老师参加了选拔赛，她的三项成绩依次是92分，95分，90分，则李老师的综合成绩为（　　） A. 92分 B. 93分 C. 94分 D. 95分 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式列式求解即可． 【详解】解：根据题意可知李老师知识测试92分，占综合成绩的50%；语言表达95分，占综合成绩的40%；形象气质90分，占综合成绩的10%； 李老师综合成绩为（分）， 故选：B． 【点睛】本题考查加权平均数的求解，熟练掌握加权平均数的计算公式是解决问题的关键． 7. 2022年北京冬奥会有很多的创新，尤其是颁奖的花束，并没有使用鲜花，而是永不凋谢的绒花，有着很好的寓意，若把玫瑰、月季、铃兰以及月桂这四朵绒花分别装在四个一样的小盒子里，从中随机拿走两个小盒子，则拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，列出表格得到一共有12种等可能结果，其中拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的有2种情况，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 玫瑰 月季 铃兰 月桂 玫瑰 月季、玫瑰 铃兰、玫瑰 月桂、玫瑰 月季 玫瑰、月季 铃兰、月季 月桂、月季 铃兰 玫瑰、铃兰 月季、铃兰 月桂、铃兰 月桂 玫瑰、月桂 月季、月桂 铃兰、月桂 一共有12种等可能结果，其中拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的有2种情况， ∴拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的概率为， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 8. 某区为残疾人办实事，在一道路改造工程中，为盲人修建一条长3000米的盲道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建250米，结果提前2天完成工程，设实际每天修建盲道x米，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题属于工程问题，未知量是工作效率：实际每天修建盲道x米．题目告诉了工作总量：3000米，那么根据工作时间来列等量关系．等量关系为：原计划工作时间现在工作时间=2天，据此列出方程． 【详解】解：实际每天修建盲道x米，则原计划每天修米． 由题意，知原计划用的时间为天，实际用的时间为：天， 故所列方程为：． 故选A． 【点睛】本题考查用分式方程解决工程问题，工程问题的基本关系式为：工作时间工作总量工作效率．找到关键描述语，得到等量关系是解决问题的关键． 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到两边的距离相等，求出CD的长度即可． 【详解】解：在Rt△ACD中，AD＝13，AC＝12，由勾股定理得：CD＝5， 过D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DE＝CD＝5， 即点D到AB的距离为5， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和角平分线上的点到两边的距离相等，熟练掌握相关内容，找出点D到AB的距离是解题的关键． 10. 如图，抛物线（是常数，）的顶点在第四象限，对称轴是，过一、二、四象限的直线（是常数）与抛物线交于轴上一点，则下列结论正确的有( )个． ①，②，③，④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则，⑤为任意实数，则有． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数与一次函数的图象与性质逐项进行分析判断即可． 【详解】解：直线（是常数）的图象过一、二、四象限， ∴， ∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴ 又抛物线的对称轴为， ∴， ∴，故①正确； 令得 ∴直线与轴交点为 ∴抛物线与也交于 ∵抛物线的对称轴为 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∴方程的两根为 ∴； ∴ ∴，故②正确； 由②知，抛物线过点 ∴， ∵ ∴，故③正确； 根据题意知，当时，直线与抛物线的y值相等， ∴ ∴ 由②得 ∴，故④正确； 当时，抛物线取得最小值，最小值为： 当时，代入得， 两边同时加上得， ∴ ∵ ∴ ∴，故⑤正确， ∴正确的结论有5个， 故选：D 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 二、填空题（每小题3分，10个小题，共30分） 11. 已知数轴上的点、点所对应的实数分别是、，那么=________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断点A和点B的相对位置，再根据数轴上两点间距离公式求解即可． 【详解】解：∵数轴上的点A、点B所对应的实数分别是、，且， ∴点B在点A的左侧． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，实数与数轴，二次根式的加减运算，熟练掌握这些知识点是解题关键． 12. 因式分解：______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 【答案】且##且 【解析】 【分析】需满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个不相等实数根要求根的判别式大于0，据此列不等式求解． 【详解】解：∵该方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式计算得， ∴， 解得， 综上，m的取值范围是且． 14. 将点 P（ 2 ，1）先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后，则平移后点 P 的坐标是______． 【答案】（0，2） 【解析】 【分析】直接利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此可得． 【详解】解：将点P（-2，1）向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度， 则平移后点的坐标是（-2+2，1+1），即（0，2）， 故答案为：（0，2）． 【点睛】本题考查了坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 15. 如图，切于点B，交于点C，过点B作交于点D，连接．若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，由切线的性质得，由，得，，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线向下平移b个单位后与反比例函数交第一象限于点A，交x轴于B点，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作x轴垂线交于点C，根据直线AB是由直线向下平移b个单位后得到，推出∠ABC=45°，求出BC=AC=1，根据∠AOB=30°，求出OC=，得到点A坐标即可求出k的值． 【详解】解：过点A作x轴垂线交于点C，如图所示 ∵直线AB是由直线向下平移b个单位后得到 ∴∠ABC=45° ∵AB= ∴BC=AC=1 ∵∠AOB=30° ∴OC= ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数结合、含30°角直角三角形三边的关系、含45°角直角三角形三边的关系、求反比例函数解析式等知识点，正确作出辅助线，掌握这些知识点是解题的关系． 17. 2022年5月，黔西南州爆发地区性流感，1名感染者每天传染2人，某校九年级（3）班某天有2名学生感染流感，经过2天的传播一共有______ 名学生被感染． 【答案】 【解析】 【分析】初始有2名感染者，1人每天传染2人，每天总感染数为前一天总感染数乘以传染人数，依次计算得到两天后的总感染数. 【详解】解：∵初始有名已感染的学生，人天可以传染人， ∴第一天传播结束后，总感染人数为 ， ∵第二天由所有已感染的学生继续传播， ∴第二天传播结束后，总感染人数为 . 18. 如图，小明站在一盏路灯下，他在这盏路灯下的影子AD的长度和其身高DE的长度相等，测量出他距路灯电杆的距离DC为3.8米，已知他的身高为1.7米，试计算路灯灯泡的高度约为 _____米． 【答案】5.5 【解析】 【分析】由题意易证，得出，代入数据即可求出BC的长， 【详解】∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴ ∴． 故答案为：5.5． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质的应用．根据题意得出，从而得出比例式是解题关键． 19. 如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，，勾股定理求出，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵三角形是等腰三角形，，点D为的中点， ∴，， ∴， ∵于点E， ∴ 即， ∴． 20. 某校图书阅览室按如图所示的规律摆放桌椅（矩形表示桌子，圆点表示椅子），八年级（3）班42人到这个阅览室参加读书活动恰好坐满，需要桌子_________张． 【答案】18 【解析】 【分析】根据摆放规律得出桌子数与座位数的关系式，进而求解即可． 【详解】解：设桌子数为n，根据桌子摆放的规律，可得座位数为2n+6， ∵学生人数为42人，且刚好坐满， ∴2n+6=42，解得：n=18， ∴需要桌子18张， 故答案为：18． 【点睛】本题考查图形类规律探究、解一元一次方程，理解题意，找到摆放规律是解答的关键． 三、解答题（6个小题，共80分） 21. 按要求完成下列各题： （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， 当时，原式． 22. 2022年4月23日是第27个世界读书日．某书店为了答谢顾客，当日进店消费的顾客均可进行摸球游戏，参与免费赠书活动．该书店门口放一个不透明的袋子，里面装有4个小球，小球上分别标记数字1、2、3、4，其中四个数字分别代表1．《三国演义》，2．《红楼梦》，3．《西游记》，4．《水浒传》，这四个小球除标记的数字外，其余完全相同游戏规则：顽客随机摸出一个小球，记录小球上的数字，便可免费获得相应的图书．小明和小强都参与了此次活动． （1）将袋子里的小球摇匀后，小明随机摸出一个小球，．则他能免费获得《西游记》的概率为_________． （2）将袋子里的小球摇匀后，小明随机摸出一个小球，记下数字后放回，继续摇匀后，小强随机摸出一个小球，记下数字后放回，请利用列表或画树状图的方法，求小明和小强能免费领取同一本书的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率的计算公式直接解答； （2）列树状图表示所有等可能的结果，以及小明和小强能免费领取同一本书的可能结果，根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：随机摸出一个小球，则他能免费获得《西游记》的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 列树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小明和小强能免费领取同一本书的有4种， ∴P（小明和小强能免费领取同一本书）=． 【点睛】此题考查了求事件发生的概率，概率的计算公式，用列举法求事件的概率，解此类问题需注意是放回事件还是不放回事件． 23. 如图，AB是的弦，AC经过圆心O交于点D，． （1）求证：BC是的切线； （2）设的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）可知，则有，然后可得，进而根据割补法可求解阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是⊙的切线； 【小问2详解】 解：∵由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查切线的判定、三角函数及扇形面积，熟练掌握切线的判定、三角函数及扇形面积是解题的关键． 24. 北京2022年冬奥会于2月4日开幕，2月20日闭幕．冬奥会期间实行闭环管理，所有在闭环内的冬奥会参与者不会与外界有任何接触，大家都会在闭环中得到很好的保护．为使住宿、餐饮、医疗、交通等各项服务保障更充分，城市防疫与冬奥防疫一体推进工作体系更加优化，某场馆给此次冬奥会志愿者每人采购了一顶印有“2022北京冬奥志愿者”的御寒帽，利于防寒防疫与服务时识别．该场馆组委会决定购买A型红色和B型蓝色两种帽子共100顶，并制定了几种购买方案，这些方案满足：A型不能少于B型的一半，也不能多于B型的，负责采购的同志核算了一下，若按A型最多的方案买，需付款884元，若按A型最少的方案买，需要868元． （1）试求出A型和B型两种帽子的单价． （2）由于所购货物较多，商家决定给予优惠，A型帽子在九折的基础上再降价m元；(0＜m≤2)，问在组委会制定的几种方案中，哪种方案在给予了优惠后费用最少？请说明理由． 【答案】（1）A型10元/顶；B型8元/顶 （2）见解析 【解析】 【分析】(1) 设A型帽子有a顶，其单价为x元/顶；B型帽子的单价为y元/顶；列出不等式组，解出不等式组的即可； (2) 设优惠后费用为W元，购A型帽子a顶，根据一次函数性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设A型帽子有a顶，其单价为x元/顶；B型帽子的单价为y元/顶； 列不等式组得： 解这个不等式得：≤a≤；且a为正整数； 所以，A型帽子最多方案可卖42顶，最少可卖34顶； 列方程组得： 解这个方程组得：x=10； y=8 A型帽子的单价为：10元/顶；B型帽子的单价为：8元/顶． 【小问2详解】 解：设优惠后费用为W元，购A型帽子a顶． 则W=(9－m)a+8(100－a)=(1－m)a+800 ①当0＜m＜1时，0＜1－m＜1， 由一次函数性质可知，W随a的增大而增大， 当a=34时，W最小值=834－34m＞800 ②当m=1时，W=800； ③当1＜m≤2 1－m＜0 由一次函数性质可知，W随a的增大而减小， 当a=42时，W最小值=842－42m 且当m=2时，最小值为W=758元； 综上，当A型帽子九折的基础上再降价m=2元时，购买A型帽子42顶，B型帽子58顶时，费用最少． 【点睛】本题考查二元一次方程组合一次函数的性质，由此进行解答即可． 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为______． （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为______． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【答案】（1）1 （2） （3）证明：过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 即． 【解析】 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到．，然后证明出，得到，即可得到； （2）设与交于点G，根据矩形的性质得到，即，进而得到，然后证明出，即可得到； （3）过点C作交的延长线于点H，得出四边形为矩形，证明出，得到，然后即可得出． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 略； 26. 抛物线过点A（－3，0），点B（1，0）与y轴交于点C，顶点为D，点E在y轴负半轴上． （1）求抛物线的表达式及点D的坐标； （2）若△ADE是直角三角形，求点E的坐标； （3）点P是抛物线在第一象限内的点，连接AP交y轴于点H，连接AE交抛物线于点F，点G在线段OA上，且AG＝CE，连接GH，若∠EAO＝2∠OGH，，求点F的坐标． 【答案】（1），D（-1，-4）； （2）E（0，-1），（0，-3）或（0，） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，化为顶点式即可得到点D的坐标； （2）△ADE是直角三角形，所以需要分类讨论，利用E在y轴的负半轴，得到∠DAE为锐角，得到∠AED=90°或∠ADE=90°分别求出，利用勾股定理求出Ｅ点坐标． （3）作HG的垂直平分线交y轴于点N，连接NG，求出，再求出，设AG=CE=a＞0，利用等量关系求出OH=CE=a，利用，求出，得到，即，得到，再求出，利用∠GON=90°，得到，所以求出a，得到E的坐标，再得到直线AE的解析式，求出抛物线与直线AE的交点 F的坐标即可． 【小问1详解】 解：将点A、B的坐标代入解析式，得 ，解得， ∴， ∴顶点D的坐标为（-1，-4）； 【小问2详解】 ∵E在y轴负半轴上，∠DAO＞∠DAE，且∠DAO为锐角， ∴∠DAE为锐角． ∵△ADE是直角三角形，则∠AED=90°或∠ADE=90°， 设点E（0，y），y＜0， 则， ， 当∠AED=90°时 即 整理得 解得y=-1或y=-3， ∴， 当∠ADE=90°时， 即 解得 ∴ 综上所述：E点坐标为（0，-1），（0，-3）或（0，）． 【小问3详解】 作HG的垂直平分线交y轴于点N，连接NG， ∴GN=HN ∴ 设则 ∴ 在中，令x=0，则y=-3， ∴，又∵A(-3，0) ∴OA=OC=3 设AG=CE=a＞0 ∴OE=OC+CE=a+3 OG=OA-AG=3-a， 又∵OH+OA=OE ∴OC+CE=OH+OA 又∵OA=OC ∴OH=CE=a， ∵ ∴ ∴ 即 ∴， ∴OH+ON= ∴ 又∵∠GON=90°， ∴ ∴ 化简得 即 解得a=1或a=-3＜0（舍） ∴OE=3+1=4 ∴E(0，-4) 设直线AE表达式为 ∴解得∶ ∴ 联立 ∴ 化简得： 解得（舍） ∴当x=时，y= ∴ ∴点F的坐标为. 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定即性质、勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $