精品解析：2022年湖南省娄底市初中毕业学业作业冲刺（五）数学试题

娄底市2022年初中毕业学业作业冲刺（五） 数学 考生注意： 1、本学科试卷满分120分，考试时量120分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 1. 的倒数的相反数是（ ） A. B. C. 2022 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的定义可得的倒数是，再由相反数的定义，即可求解． 【详解】解：的倒数是， ∴的倒数的相反数是． 故选：D 【点睛】本题主要考查了倒数，相反数，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不相同的两个数互为相反数是解题的关键． 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 3. 新冠病毒（）平均直径约为（纳米），即米，米用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. （ab2）2=ab4 C. 2a+3a=6a D. a•a3=a4 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、被开方数不能相加，故A错误； B、积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，（ab2）2=a2b4故B错误； C、系数相加字母部分不变，2a+3a=5a故C错误； D、底数不变指数相加，故D正确； 故选D． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方；实数的运算；合并同类项；同底数幂的乘法． 5. 若长度分别为的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解． 【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3， 即2＜a＜8， 由此可得，符合条件的只有选项C， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是能根据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 6. 某青年足球队10名队员年龄情况如下：18，19，18，19，21，19，20，19，22，20．则这10名队员年龄的众数、中位数分别是（　　） A. 18，19 B. 19，19 C. 19，19.5 D. 18，19.5 【答案】B 【解析】 【分析】将数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解可得． 【详解】解：将这组数据重新排列为18，18，19，19，19，19，20，20、21，22， 所以这组数据的众数为19，中位数为=19， 故选：B． 【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 7. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当，时，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当，时，无法判定四边形是平行四边形，符合题意； C、当，时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意． 8. 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（ ） A. 40° B. 43° C. 45° D. 47° 【答案】B 【解析】 【分析】过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线， ∵直尺的两边互相平行， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 9. 将x克含糖10的糖水与y克含糖30的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ） A. 20 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解． 【详解】解：混合之后糖的含量：， 故选：D． 【点睛】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键． 10. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝66°，则∠OAC的度数为（　　） A. 24° B. 29° C. 33° D. 132° 【答案】A 【解析】 【分析】先计算∠AOC＝132°，再利用灯光要三角形的性质计算底角即可． 【详解】∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠B＝66°， ∴∠AOC＝132°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠OAC=， =， =24°， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆心角定理是解题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 【详解】解：作PM⊥x轴于点M， ∵P（3，4）， ∴PM=4，OM=3， 由勾股定理得：OP=5， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜边之比． 12. 如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点． 下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】设，则的中点为，，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④． 【详解】解：动点在反比例函数的图象上， 设， 的中点为，， 的图象经过点， ，故①正确； 过点作轴交函数的图象于点， 的纵坐标， 把代入得，， ， ， ，故②正确； 如图，过点作轴于． ，，，， 过点作轴交函数的图象于点，交轴点， ， 直线的解析式为，直线的解析式为， 由，解得， ，， ， ， ， ，故③正确； ，，，，， 是的中点， ， ， 轴， ， ， 若，则， ， ．故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，反比例函数系数的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线的性质，平行线的性质，解题的关键是利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13. 已知则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件，结合完全平方公式，计算出2ab的值即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴2ab＝24 ∴ab＝12 故答案为：12． 【点睛】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 14. 若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ① ② ③ ④ ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 【答案】④ 【解析】 【分析】根据数轴的意义，得到，计算判断即可； 【详解】解：根据题意，得，， ，，，，， 故①②③⑤错误；④正确； 15. 如图所示，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE，若DE=5，则BC=_____． 【答案】10． 【解析】 【详解】∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE=BC． ∵DE=5，∴BC=10． 16. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解． 【详解】解：共有3种等可能结果，其中符合题意的情况有1种， ∴蚂蚁获得食物的概率． 17. 如图，将沿边向右平移得到，交于点G．若，，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】由平移的性质得到：，由，得到，由，推出，即可求出． 【详解】解：由平移的性质得到：， ， ， ， ， ， ， ， ． 18. 如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为________． 【答案】 【解析】 【分析】设正六边形的中心为，连接，判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再求出，然后根据“极坐标”的定义写出即可． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为，连接， ， 是等边三角形， ， ， 正六边形的顶点的极坐标应记为． 三、计算题（本大题共2小题，每小题6分，满分12分） 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】根据负指数幂、零次幂、二次根式的运算及特殊三角函数值可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查负指数幂、零次幂、二次根式的运算及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 四、简答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 21. 某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题： （1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有 人； （2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ； （3）将条形统计图补充完整； （4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率． 【答案】（1）40；（2）90°； （3）条形统计图为： （4）. 【解析】 【分析】（1）利用鼓励奖的人数除以它所占的百分比得到的总人数； （2）用360°乘以二等奖人数占被调查人数的比例即可得； （3）计算出一等奖和二等奖的人数，然后补全条形统计图； （4）画树状图（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】解：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有（人）， 故答案为40； （2）扇形统计图中获三等奖的圆心角为， 故答案为90°． （3）获二等奖的人数，一等奖的人数为（人）， 图略； （4）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人， 画树状图为：（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生） 共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4， 所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率． 【点睛】考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图． 22. 某数学测量小组准备测量体育场上旗杆AB的高度．如图所示，观礼台斜坡CD的长度为10米，坡角为26.5°，从斜坡的最高点C测得旗杆最高点A的仰角为37°，斜坡底端D与旗杆底端B的距离是9米，求旗杆AB的高度．（结果保留整数，参考数据：sin26.5°≈，cos26.5°≈，tan26.5°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈） 【答案】18米 【解析】 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，作CF⊥BD延长线于点F，根据锐角三角函数定义求出CF，DF，根据正切的定义求出AE，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，作CF⊥BD延长线于点F，则四边形ECFB是矩形， 在Rt△CDF中，∠CDF=26.5°，CD=10米， ∴CF=CD×sin26.5°≈10×=4.5（米），DF=CD•cos∠CDF≈10×=9（米）， ∴BF=BD+DF=9+9=18（米）， ∵四边形ECFB是矩形， ∴CE=BF=18米， ∴AE=CE•tan37°≈18×=13.5（米）， ∴AB=AE+BE=13.5+4.5=18（米）， 答：旗杆AB的高度为18米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义，构造直角三角形解决问题． 23. 2013年第十二届全国运动会将在辽宁召开，某市掀起了全民健身运动的热潮．某体育用品商店预测某种品牌的运动鞋会畅销，就用4800元购进了一批这种运动鞋，上市后很快脱销，该商店又用10800元购进第二批这种运动鞋，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每双鞋进价多用了20元． （1）求该商店第二次购进这种运动鞋多少双？ （2）如果这两批运动鞋每双的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每双鞋售价至少是多少元？ 【答案】（1）60（2）208 【解析】 【分析】（1）设该商场第一次购进这种运动鞋x双，则第二次购进数量为2x双，根据关键语句“每双进价多了20元”可得等量关系：第一次购进运动鞋的单价+20=第二次购进运动鞋的单价，根据等量关系列出方程，求出方程的解，再进行检验即可得出答案． （2）设每双售价是y元，根据数量关系：（总售价﹣总进价）÷总进价≥20%，列出不等式，解出不等式的解即可 【详解】解（1）设该商场第一次购进这种运动鞋x双，由题意得： ， 解得：x=30 经检验，x=30是原方程的解，符合题意 则第二次购进这种运动鞋是30×2=60（双） 答：该商场第二次购进这种运动鞋60双 （2）设每双售价是y元，由题意得： ， 解这个不等式，得y≥208． 答：每双运动鞋的售价至少是208元． 24. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，小明和他小组的同学思考四边形是否为垂美四边形，请你助力： ，， ∴点A、C都在线段的________（填空），再利用下列选项中的________（选择序号）就能够得到：，即得四边形是垂美四边形； ①两点之间，线段最短；②两点确定一条直线；③垂线段最短． （2）性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点O，． 小明和他小组的同学思考得到：，并写出了证明： ∴在、、、中，分别有： ，，， ， 请你用简洁的语言概括垂美四边形的性质：________； （3）应用性质，解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、交于点N，交于点M，连接．已知，，求的长． 【答案】（1）垂直平分线上；② （2）垂美四边形的两组对边的平方和相等 （3） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线可得答案； （2）根据题中定义和勾股定理推导出的结论可得答案； （3）连接、，先证明得到，利用三角形的内角和定理可证明，则，根据题中定义可得四边形是垂美四边形，由（2）中结论可得，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， ∴， 由题意，， ∴在、、中，分别有： ， ， ， ∴，解得． 六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25. 如图1，四边形内接于，对角线为的直径，过点C作的垂线交的延长线于点E，点F为的中点，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）如图2，在（2）的条件下，若点D是优弧的中点，连接、，请你判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：连接， 为的直径， ， ， 又是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）的半径为3 （3）四边形是菱形，理由如下： 在中，， ， 又 ，， ， 是等边三角形 ， ， 点D是优弧的中点． ， ， ， 是等边三角形 ， ， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）连接，利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出答案； （2）说明，根据对应边成比例列式计算即可； （3）在中，利用特殊角的三角函数值求出的度数，进而确定，都是等边三角形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， 的半径为3． 【小问3详解】 略 26. 如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，D是的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，与x轴交于点G，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：四边形为平行四边形 理由如下 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，的长度最大，且最大值为，此时，，． ， ， ∵， ∴四边形为平行四边形 （3）存在，点F的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设直线的解析式为，将、代入直线的解析式得到直线的解析式为：．设点P的坐标为，则点Q的坐标为，继而得到，配方后得到，根据二次函数的性质解答即可． （3）先确定点，直线的表达式为；过点Q作轴于点H，得到直线和直线关于直线对称，确定直线的表达式为；根据题意，得 得到点E的坐标为，设点F的坐标为，根据题意，得，，，分，，求解即可； 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． 解得 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵D是的中点，且，则点， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 当时，， ∴点A在直线上， 过点Q作轴于点H， 则， 故， 而，， ∴， ∴直线和直线关于直线对称， ∵点，， ∴点， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 根据题意，得 解得，， ∴点E的坐标为，另一组解与点Q重合， 设点F的坐标为， 根据题意，得，， ， 当时，此时有，故，，故，此时方程无实数解； 当时，此时有，故，故， 解得； 当时，此时有，故， 解得； 故在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，并且点F的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 娄底市2022年初中毕业学业作业冲刺（五） 数学 考生注意： 1、本学科试卷满分120分，考试时量120分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 1. 的倒数的相反数是（ ） A. B. C. 2022 D. 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 新冠病毒（）平均直径约为（纳米），即米，米用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. （ab2）2=ab4 C. 2a+3a=6a D. a•a3=a4 5. 若长度分别为的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 6. 某青年足球队10名队员年龄情况如下：18，19，18，19，21，19，20，19，22，20．则这10名队员年龄的众数、中位数分别是（　　） A. 18，19 B. 19，19 C. 19，19.5 D. 18，19.5 7. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（ ） A. 40° B. 43° C. 45° D. 47° 9. 将x克含糖10的糖水与y克含糖30的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ） A. 20 B. C. D. 10. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝66°，则∠OAC的度数为（　　） A. 24° B. 29° C. 33° D. 132° 11. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点． 下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13. 已知则______ ． 14. 若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ① ② ③ ④ ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 15. 如图所示，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE，若DE=5，则BC=_____． 16. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是________． 17. 如图，将沿边向右平移得到，交于点G．若，，则的值为________． 18. 如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为________． 三、计算题（本大题共2小题，每小题6分，满分12分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 四、简答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 21. 某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题： （1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有 人； （2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ； （3）将条形统计图补充完整； （4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率． 22. 某数学测量小组准备测量体育场上旗杆AB的高度．如图所示，观礼台斜坡CD的长度为10米，坡角为26.5°，从斜坡的最高点C测得旗杆最高点A的仰角为37°，斜坡底端D与旗杆底端B的距离是9米，求旗杆AB的高度．（结果保留整数，参考数据：sin26.5°≈，cos26.5°≈，tan26.5°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈） 23. 2013年第十二届全国运动会将在辽宁召开，某市掀起了全民健身运动的热潮．某体育用品商店预测某种品牌的运动鞋会畅销，就用4800元购进了一批这种运动鞋，上市后很快脱销，该商店又用10800元购进第二批这种运动鞋，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每双鞋进价多用了20元． （1）求该商店第二次购进这种运动鞋多少双？ （2）如果这两批运动鞋每双的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每双鞋售价至少是多少元？ 24. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，小明和他小组的同学思考四边形是否为垂美四边形，请你助力： ，， ∴点A、C都在线段的________（填空），再利用下列选项中的________（选择序号）就能够得到：，即得四边形是垂美四边形； ①两点之间，线段最短；②两点确定一条直线；③垂线段最短． （2）性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点O，． 小明和他小组的同学思考得到：，并写出了证明： ∴在、、、中，分别有： ，，， ， 请你用简洁的语言概括垂美四边形的性质：________； （3）应用性质，解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、交于点N，交于点M，连接．已知，，求的长． 六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25. 如图1，四边形内接于，对角线为的直径，过点C作的垂线交的延长线于点E，点F为的中点，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）如图2，在（2）的条件下，若点D是优弧的中点，连接、，请你判断四边形的形状，并说明理由． 26. 如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，D是的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，与x轴交于点G，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $