第24讲 函数y=Asin（ωx+φ）（六大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第24讲 函数y=Asin(ωx+φ)（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 匀速圆周运动的数学模型 我们知道，单位圆上的点，以(1,0)为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画.对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢?下面先看一个实际问题. 【知识点1 匀速圆周运动的数学模型】 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-1).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律. 【题型1 匀速圆周运动的数学模型】 【例1】（25-26高一上·山东聊城·期末）如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，由，可求得、的值，由题意得出函数的最小正周期，可求得的值，然后由结合的取值范围可得出的值，由此可得出与时间（单位：）之间的关系式. 【解答过程】设， 由题意可知，，，解得，， 函数的最小正周期为， 则， 当时，，可得， 又因为，则，故， 故选：A. 【变式1-1】（25-26高一下·四川成都·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定的信息设出函数解析式，再逐一求出参数值即可. 【解答过程】依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘半径为，得，由最低点距离地面高度为，得，解得， 由转一周大约需要，得，解得，又当时，， 即，而，解得， 因此，或，A正确，BCD错误. 故选：A. 【变式1-2】（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处． (1)根据条件具体写出关于的函数表达式： (2)在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？ 【答案】(1)； (2)4分钟． 【解题思路】（1）由中心点到地面距离得值，由摩天轮半径得值，由周期求得，再由初始值求得得表达式； （2）解不等式后可得． 【解答过程】（1）中心点距地面40m，则，摩天轮的半径为30m，即，，， 最低点到地面距离为10 m， 所以，，又，则， 所以所求表达式为； （2），， 取一个周期内，有，，． 所以在摩天轮转动一圈内，点有4分钟的时间距离地面超过55m． 【变式1-3】（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），一个半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2米，且按逆时针方向匀速转动，每12s转动1圈．如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为（，，）．（在水面下则为负数）      (1)求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)若水面下降，在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据已知条件依次求得，从而求得. （2）利用勾股定理，结合图象求得水下时间. 【解答过程】（1）已知水轮半径为米，水轮圆心距离水面米.根据的性质，为振幅，为平衡位置的值.则，. 因为水轮每转动圈，根据周期的定义，.又因为， 所以，此时函数为. 当时，点从水面浮现，即.将，代入中，得到. 化简可得，又因为，所以. 综上，. （2）若水面下降，则新的水面高度为， 如下图所示，则， 此时三角形是等边三角形，所以， 所以点在水面下方的时间为.    模块三 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 【知识点2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)φ对的图象的影响 函数（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或 伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (ω>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即 ，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 4．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标x0，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【题型2 三角函数图象的变换过程】 【例2】（25-26高一上·天津·期末）为得到函数的图象，只需将函数图象上（    ） A．各点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位 B．各点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位 C．各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位 D．各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位 【答案】B 【解题思路】根据三角函数的变换规则一一判断即可. 【解答过程】对于A：将各点的横坐标缩短为原来的倍得到， 再向左平移个单位得到，故A错误； 对于B：将各点的横坐标缩短为原来的倍得到， 再向左平移个单位得到，故B正确； 对于C：将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到， 再向左平移个单位得到，故C错误； 对于D：将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到， 再向左平移个单位得到，故D错误. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·云南昭通·期末）为了得到的图象，只需要把图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的2倍 B．向右平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的倍 C．向右平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的2倍 D．向右平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的倍 【答案】A 【解题思路】根据三角函数图象变换逐项分析. 【解答过程】对于A：将图象上所有的点向左平移个单位长度得到， 再将纵坐标变为原来的倍，得到，A正确； 对于B：将图象上所有的点向右平移个单位长度得到， 再将纵坐标变为原来的倍，得到，B错误； 对于C：将图象上所有的点向右平移个单位长度得到， 再将纵坐标变为原来的倍，得到，C错误； 对于D：将图象上所有的点向右平移个单位长度得到， 再将纵坐标变为原来的倍，得到，D错误； 故选：A. 【变式2-2】（25-26高一上·山西阳泉·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象上（   ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 【答案】A 【解题思路】根据三角函数的平移伸缩变换即得结果. 【解答过程】由余弦函数的图象的平移伸缩变换规律可知： 将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象， 再向右平移个单位，可得函数的图象. 故选：A. 【变式2-3】（25-26高一上·北京东城·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（   ） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 【答案】D 【解题思路】先从伸缩变换排除AB选项，再从左右平移排除C选项，D选项满足题意. 【解答过程】，将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到；而将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到，AB选项排除； C选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 再向左平移个单位长度，得到,不符合要求； D选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 再向左平行移动个单位长度，得到，满足要求，故D选项正确. 故选：D. 【题型3 求图象变化前（后）的解析式】 【例3】（25-26高一上·河北沧州·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用三角函数的伸缩变换结合题目条件即可判断选项. 【解答过程】函数的图象向左平移个单位长度，则， 横坐标缩短到原来的，则， 纵坐标伸长到原来的倍，则. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·广东湛江·期末）将函数的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到图象，再将向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用伸缩和平移变换法则得到答案. 【解答过程】函数的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 再将向右平移个单位，得到的图象. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·江苏镇江·期末）把函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标、纵坐标都变为原来的倍，所得到的图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据三角函数图像平移方法，直接求解函数解析式即可. 【解答过程】把函数的图象向右平移个单位长度后， 可得， 再将横坐标、纵坐标都变为原来的倍，可得. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高一上·安徽·期末）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据三角函数图象的变换规律即得答案. 【解答过程】将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变）， 即得函数的图象，再将函数的图象向右平移个单位长度， 即得函数的图象. 故选：C. 【题型4 由部分图象求函数的解析式】 【例4】（25-26高一上·甘肃定西·期末）函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可以是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据最值可得，根据周期性可得，代入点求，即可得函数解析式. 【解答过程】设函数的最小正周期为， 由图可得：，且，即， 且，可得，解得，则， 代入点可得，即 则，即， 所以． 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（   ）    A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递减 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【答案】B 【解题思路】根据图象得到解析式，根据三角函数图象变换和三角函数性质逐项验证. 【解答过程】由图，，因为过点，所以， 结合图象的单调性可得，又，所以， 又过点，所以， 结合五点作图法可得，解得， 所以. 对于A：由的图象向左平移个单位得到，A错误； 对于B：由得，令， 因为在单调递减，所以在单调递减，B正确； 对于C：因为，所以图象不关于直线对称，C错误； 对于D：因为， 所以不是的对称中心，D错误； 故选：B. 【变式4-2】（25-26高三上·天津河西·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C．的对称中心为 D．若，且，则 【答案】D 【解题思路】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移、伸缩变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【解答过程】已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，则， 则，故A错误； 将的图象向右平移个单位，可得的图象，再将所有点的横坐标变为原来2倍，可得的图象，即，故B错误； 令，则，即对称中心为，故C错误； 因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象，可知， 则，则，故D正确. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【答案】B 【解题思路】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答． 【解答过程】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B. 【题型5 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 【例5】（25-26高一上·江苏南京·期末）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解题思路】由函数和的关系可以求得的一条对称轴，即可求解. 【解答过程】由题意，函数的一条对称轴为：. 由，. 因为，所以当时，取得最小值为. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据辅助角公式，把函数化为正弦型函数，利用周期计算公式，和偶函数性质求得. 【解答过程】因为函数， 函数的最小正周期是且，则，解得， 所以 将的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则， 若为偶函数，则，， 解得，，可知当时，正实数取得最小值. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）若将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．图象的一条对称轴为直线 D．图象的一个对称中心为 【答案】D 【解题思路】根据题意函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数，即可求出最小正周期，把看成是整体，分别求的单调递减区间、对称轴、对称中心，在分别验证选项即可得到答案. 【解答过程】由于函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），故函数的解析式为，再将所得图象向左平移个单位长度，.，故A错误；的单调减区间为，故在区间内不单调递减；图象的对称轴为，不存在使得图象的一条对称轴为直线，故C错误；图象的对称中心的横坐标为，当时，图象的一个对称中心为，故D正确. 故选：D. 【变式5-3】（25-26高三上·天津·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列四个结论： ①是的一个解析式； ②是最小正周期为的奇函数； ③的单调递减区间为，； ④点是图象的一个零点． 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据余弦函数的性质计算依次判断即可求解. 【解答过程】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，故①错误； 函数的最小正周期，但是， 故为非奇非偶函数，即②错误； 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，，故③正确； 因为，所以不是零点，故④错误； 故选：A. 【题型6 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 【例6】（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由图象变换的规律求得，进而根据已知可得，计算可求得的最小值. 【解答过程】由函数， 将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 因为的图象关于轴对称，可得， 解得， 又因为，所以的最小值为． 故选：A． 【变式6-1】（2026·四川攀枝花·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数m的取值范围是 【答案】C 【解题思路】利用三角恒等变换将已知函数化为的形式，再结合该函数的性质逐项分析判断即可. 【解答过程】 . 选项A：最小正周期，故A错误； 选项B：求的单调递增区间： 令，，解得，， 所以区间包含（递增）和（递减），故B错误； 选项C：的图象向左平移个单位长度后得到： ， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 选项D：令，即， 则，，即，， 当时，；当时，； 若在区间上恰有一个零点，则， 所以实数的取值范围为，故D错误. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·安徽·期末）设函数，其中，已知. (1)求的值； (2)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，由结合的取值范围可得出的值； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可求出函数的增区间. 【解答过程】（1）因为 . 由题设知，所以，解得， 又，所以. （2）由（1）得， 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 可得到函数的图象， 再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 所以. 由，解得， 所以的单调递增区间为. 【变式6-3】（25-26高一上·安徽六安·期末）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)解不等式； (3)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）通过辅助角公式和二倍角公式将函数化为的结构，利用正弦函数的单调性求解； （2）将看作整体角，原不等式可转化为求解； （3）通过图象伸缩变换与平移变换得到的解析式，借助求解方程. 【解答过程】（1）因为 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）解不等式， 解得：，即， 所以不等式的解集为. （3）由题意可知， 令，则或， 解得或， 满足内的根有，当时，符合，符合， 所以所有符合的根之和为. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一下·陕西渭南·阶段检测）的振幅、频率和初相分别为（     ） A．2，， B．2，， C．2，， D．2，， 【答案】C 【解题思路】根据正弦型函数的的意义判断即可得结论. 【解答过程】由题意知，，初相为． 故选：C. 2．（25-26高一上·安徽六安·期末）为得到的图象，只要把的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 【答案】C 【解题思路】根据平移变换和伸缩变换推理判断即可. 【解答过程】把的图象上所有的点先向右平移个单位长度，得， 再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得. 故选：C. 3．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据图象平移、伸缩变换的方法，即可得答案. 【解答过程】将函数的图象向右平移个单位长度，得， 再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得. 故选：B. 4．（25-26高一上·山东枣庄·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据最值和周期可得，，代入点可得，即可得函数解析式. 【解答过程】设函数的最小正周期为，且，则， 由图象可知：，且， 即，解得，可得， 又因为函数的图象过点，则， 即，且，则， 可得，解得， 所以. 故选：D. 5．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定的信息设出函数解析式，再逐一求出参数值即可. 【解答过程】依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘半径为，得，由最低点距离地面高度为，得，解得， 由转一周大约需要，得，解得，又当时，， 即，而，解得， 因此，或，A正确，BCD错误. 故选：A. 6．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用辅助角公式化简函数，再求出的解析式，利用正弦函数的对称性求出对称轴方程，进而求出最小值. 【解答过程】依题意，，将的图象向右平移个单位长度后 所得图象的函数解析式为，由函数的图象关于轴对称， 得，解得，而， 所以当时，取得最小值. 故选：A. 7．（25-26高一上·湖北武汉·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．该函数的解析式为 C．将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 D．函数的减区间为 【答案】C 【解题思路】由图象可以得出振幅和周期，进而求得和，且有取最大值，结合正弦函数的图象性质，结合，可解得，进而求出，以此判断ABD，对于C，将函数的图象向右平移个单位可得，易得为奇函数，故C正确. 【解答过程】对于AB，由图象，易得，，解得， 则， 因为，则有， 即，因为，所以， 则，故B错误； ，故A错误， 对于C，将函数的图象向右平移个单位，即， 易得为奇函数，故C正确； 对于D，若求的单调递减区间， 则有， 解得， 即的减区间为，故D错误. 故选：C. 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数图像的两条相邻对称轴间的距离为，现将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，下列说法正确的是（    ） A．直线是函数的图像的一条对称轴 B．点是函数图像的对称中心 C．函数在上单调递增 D．函数在上的值域是 【答案】D 【解题思路】求出的周期，即可求出的解析式，根据三角函数的图象变换性质求出的解析式，判断是否等于即可判断选项A；判断是否等于0即可判断选项B；由求出的范围，结合原正弦函数的单调性即可判断C；由，求出的范围，结合原正弦函数的值域即可判断D. 【解答过程】因为的图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以的周期为， 所以，解得，故， 现将函数的图象向左平移个单位长度得， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 对于A，， 所以直线不是函数的图象的一条对称轴，故A错误； 对于B，因为， 所以点不是函数图象的对称中心，故B错误； 对于C，因为，所以，所以函数在上不单调递增，故C错误; 对于D，因为，所以，所以， 所以，所以函数在上的值域是，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一下·内蒙古包头·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【答案】BC 【解题思路】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解. 【解答过程】对于A，将先向右平移个单位长度，可得， 再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，故A错误； 对于B，将先向左平移个单位长度，可得， 再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，故B正确； 对于C，将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得， 再向左平移个单位长度得，故C正确； 对于D，将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得， 再向左平移个单位长度得，故D错误. 故选：BC. 10．（25-26高一上·山西临汾·期末）已知函数的部分图象如下图所示，下列说法正确的有（ ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．该图象对应的函数解析式为 【答案】BCD 【解题思路】先由函数的图象依次求出，即得函数的解析式，再根据正弦函数的图象对称性与单调性逐一代入计算判断即得. 【解答过程】由图可知，，函数的最小正周期，则， 图象经过点，则得，因，则， 故函数的解析式为，故D正确； 对于A，当时，，因函数在上先减后增，故A错误； 对于B，因为函数的最小值，故B正确； 对于C，因，故C正确； 故选：BCD. 11．（25-26高一上·安徽·期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．直线是函数图象的对称轴 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上的值域为 【答案】ACD 【解题思路】根据三角函数图象的平移规律求出的表达式，再根据三角函数的性质逐一分析选项. 【解答过程】，则函数的最小正周期为，故A正确； 因为，则是函数的图象的对称中心，故B错误； 因为在区间上单调递增，则在区间上单调递减，故C正确； 由，得，则，从而， 即在区间的值域为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高一上·云南·期末）函数的部分图象如图所示，则的解析式为___________． 【答案】 【解题思路】根据函数图象求三角函数解析式即可. 【解答过程】由图知：且，则，可得， 所以，而，且， 所以，故. 故答案为：. 13．（25-26高一上·广东广州·期末）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则___________. 【答案】 【解题思路】根据图象的平移与伸缩变换即可得解. 【解答过程】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象， 所以. 故答案为：. 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则函数___________． 【答案】 【解题思路】根据函数的图象求得，再根据函数平移求解. 【解答过程】由图可得，函数的最小正周期， 则， 将点代入得，即， 由，可得，所以， 则． 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数． (1)求最小正周期； (2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，用五点作图法画出函数在的图象并求其在该区间上的单调递增区间. 【答案】(1) (2)作图见解析，单调递增区间为. 【解题思路】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，进而求出最小正周期. （2）由三角函数图象变换求出，再利用五点作图法画出图象并求出单调递增区间. 【解答过程】（1）依题意， 所以函数的最小正周期为. （2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 再将所得函数图象向右平移个单位得到函数， 列表： 描点得函数在的图象： 观察图象得函数在上的单调递增区间为. 16．（25-26高一下·海南三亚·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图象的对称中心和对称轴． 【答案】(1) (2)对称中心，对称轴， 【解题思路】（1）观察图象得到、及图象上点，由求，代入点求，得到解析式； （2）由图象变换得到解析式，整体代换求解对称中心和对称轴. 【解答过程】（1）由图，，，所以，，所以， 又图象过点，所以，所以， 解得，又，所以， 所以. （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数， 再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到， 由，解得；由，解得， 所以图象的对称中心为，对称轴. 17．（25-26高一下·广东佛山·阶段检测） 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．            (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． (2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 【答案】(1)， (2)5分钟或25分钟 【解题思路】（1）利用正弦型函数的一般式结合题意，求出； （2）根据（1）求出的表达式，将化简求得. 【解答过程】（1）设， 由题意知：， ，故， ， ， 可取， ， 故解析式为：，. （2）令，则，即． 因为，则，所以或， 解得或， 故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米. 18．（25-26高一上·新疆巴州·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若函数与的图象关于对称，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题可知，，，解得，根据对称性得到图像过，再代入计算即可求解析式； （2）令即可求单调递增区间； （3）先求得，再利用奇偶性、单调性及周期性解不等式即可． 【解答过程】（1）由图知，，， ，解得， 又过点，即，， ，解得， ，， ； （2）的单调递增区间为， ， 解得， 故的单调递增区间为； （3）函数与的图象关于对称， ， 则函数的最小正周期，且为偶函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 的解集为． 19．（25-26高三上·黑龙江·期中）已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为. (1)求函数的最小正周期及表达式； (2)将函数的图象上各点横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据题设描述函数的对称中心和对称轴确定函数的最小正周期，进而求出相关参数值，即可得解析式； （2）根据函数图象平移得，再由正弦型函数的区间单调性及已知函数的区间零点个数，数形结合求出参数范围. 【解答过程】（1）由于函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为， 所以，故周期，而，所以， 又由函数一条对称轴为，所以有， 又，故，所以函数的表达式为； （2）由题意，得， 因为，所以，且时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且， 因为函数在上恰有一个零点， 即与的图象在上恰有一个交点， 画出图象如下：    由图可知，的取值范围为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲 函数y=Asin(ωx+φ)（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 匀速圆周运动的数学模型 我们知道，单位圆上的点，以(1,0)为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画.对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢?下面先看一个实际问题. 【知识点1 匀速圆周运动的数学模型】 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-1).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律. 【题型1 匀速圆周运动的数学模型】 【例1】（25-26高一上·山东聊城·期末）如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（   ）    A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一下·四川成都·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处． (1)根据条件具体写出关于的函数表达式： (2)在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？ 【变式1-3】（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），一个半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2米，且按逆时针方向匀速转动，每12s转动1圈．如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为（，，）．（在水面下则为负数）      (1)求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)若水面下降，在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间． 模块三 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 【知识点2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)φ对的图象的影响 函数（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或 伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (ω>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即 ，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 4．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标x0，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【题型2 三角函数图象的变换过程】 【例2】（25-26高一上·天津·期末）为得到函数的图象，只需将函数图象上（    ） A．各点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位 B．各点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位 C．各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位 D．各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位 【变式2-1】（25-26高一上·云南昭通·期末）为了得到的图象，只需要把图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的2倍 B．向右平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的倍 C．向右平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的2倍 D．向右平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的倍 【变式2-2】（25-26高一上·山西阳泉·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象上（   ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 【变式2-3】（25-26高一上·北京东城·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（   ） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 【题型3 求图象变化前（后）的解析式】 【例3】（25-26高一上·河北沧州·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·广东湛江·期末）将函数的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到图象，再将向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·江苏镇江·期末）把函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标、纵坐标都变为原来的倍，所得到的图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·安徽·期末）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【题型4 由部分图象求函数的解析式】 【例4】（25-26高一上·甘肃定西·期末）函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可以是（   ）    A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（   ）    A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递减 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【变式4-2】（25-26高三上·天津河西·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C．的对称中心为 D．若，且，则 【变式4-3】（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【题型5 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 【例5】（25-26高一上·江苏南京·期末）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【变式5-1】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）若将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．图象的一条对称轴为直线 D．图象的一个对称中心为 【变式5-3】（25-26高三上·天津·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列四个结论： ①是的一个解析式； ②是最小正周期为的奇函数； ③的单调递减区间为，； ④点是图象的一个零点． 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 【例6】（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·四川攀枝花·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数m的取值范围是 【变式6-2】（25-26高一上·安徽·期末）设函数，其中，已知. (1)求的值； (2)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 【变式6-3】（25-26高一上·安徽六安·期末）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)解不等式； (3)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一下·陕西渭南·阶段检测）的振幅、频率和初相分别为（     ） A．2，， B．2，， C．2，， D．2，， 2．（25-26高一上·安徽六安·期末）为得到的图象，只要把的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 3．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东枣庄·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则的解析式为（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·湖北武汉·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．该函数的解析式为 C．将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 D．函数的减区间为 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数图像的两条相邻对称轴间的距离为，现将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，下列说法正确的是（    ） A．直线是函数的图像的一条对称轴 B．点是函数图像的对称中心 C．函数在上单调递增 D．函数在上的值域是 二、多选题 9．（25-26高一下·内蒙古包头·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 10．（25-26高一上·山西临汾·期末）已知函数的部分图象如下图所示，下列说法正确的有（ ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．该图象对应的函数解析式为 11．（25-26高一上·安徽·期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．直线是函数图象的对称轴 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上的值域为 三、填空题 12．（25-26高一上·云南·期末）函数的部分图象如图所示，则的解析式为___________． 13．（25-26高一上·广东广州·期末）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则___________. 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则函数___________． 四、解答题 15．（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数． (1)求最小正周期； (2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，用五点作图法画出函数在的图象并求其在该区间上的单调递增区间. 16．（25-26高一下·海南三亚·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图象的对称中心和对称轴． 17．（25-26高一下·广东佛山·阶段检测） 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．            (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． (2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 18．（25-26高一上·新疆巴州·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若函数与的图象关于对称，求不等式的解集． 19．（25-26高三上·黑龙江·期中）已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为. (1)求函数的最小正周期及表达式； (2)将函数的图象上各点横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $