导数与函数的单调性专项训练-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦导数与函数单调性的基础应用、参数范围及综合问题，通过分层题型训练构建从概念到应用的逻辑链条，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|3题|直接判定单调区间、已知单调性求参数|导数正负与单调性的对应关系| |参数范围|6题|存在减区间、非单调函数、恒成立问题|含参函数求导后分类讨论思想| |综合应用|10题|零点个数、不等式解集、切线与极值综合|单调性与函数性质（零点、最值）的关联推导|

3.2 导数与函数的单调性（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间是. 2．（25-26高二下·福建漳州·期末）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，求导得． 函数在区间上存在减区间，等价于在内有解， 即在上有解． 当时， ， 故，即实数的取值范围是． 3．（25-26高二下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数求导得，函数在上不是单调函数， 等价于，在内有解， 设，设两根，则，故两根异号， 要使正根在区间内，则， 解得，故实数的取值范围是． 4．（25-26高二下·山东烟台·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，其导函数为，且，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象确定与的符号区间，结合与同号即可求解. 【详解】由的图象可知，当时，；当时，；当或时，； 当时，；当时，；当或时，； 若不等式，则与同号，分情况讨论： ①当且时，交集为； ②当且时，交集为； 因此，不等式的解集为，故D正确. 5．（2026·山东威海·二模）已知函数在上有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究的单调性，结合其区间零点个数列不等式求参数范围. 【详解】由，则， 令，则或，令，则， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 且，，则， 又时有两个零点，且， 若，即时，，此时，不满足题设， 若，即时，， 只需，则，可得，此时， 综上，. 6．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性求解即可. 【详解】令, 则， 当时，单调递增，且， 当时，，当时单调递增， 则函数在上单调递增，符合题意； 当时，的对称轴为， 由题意， 当时，表示开口向下的抛物线，对称轴为， 在上单调递减，不符合题意， 综上，. 故选：A. 7．（25-26高二下·贵州毕节·期中）设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（    ） A．[0,1] B．[－1,1] C． D． 【答案】B 【分析】由在上满足得到是上的单调递增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，转化为二次函数的图像和性质求解. 【详解】，， 在R上满足， 或， 则是上的单调递增函数，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， ， 则转化为， 则转化为在上恒成立， 则需要满足，解得，即， 则实数a的取值范围为，故选项B正确. 8．（25-26高二下·山东·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合题意可得函数是定义在上的偶函数，又当时，在上单调递减，当时，函数在上单调递增，又，可得，即可得出不等式的解集． 【详解】令，则， 当时，， 所以当时，， 即函数在上单调递减， 又，则， ， 由， 得， 即， 则，即是奇函数，所以是偶函数， 则当时，函数在上单调递增， 因为，所以，， 又，所以即，则， 所以不等式的解集为. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·内蒙古锡林郭勒·期末）已知函数（），则（     ） A．函数的图象过点 B．，使得函数是奇函数 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数有三个不同零点，则 【答案】ABD 【分析】根据函数的单调性、奇偶性及零点问题，借助导数，逐一分析各选项判断正误. 【详解】对于选项A，，与的取值无关，因此函数的图象恒过点，故选项A正确； 对于选项B，若为奇函数，则满足对任意成立， 即，化简得，，所以，此时是奇函数，因此存在满足条件，故选项B正确； 对于选项C，，若在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立，所以，故选项C错误； 对于选项D，若有三个不同零点，则有两个不同实根，即， 此时极点为，极大值，时恒大于0； 极小值，解得，因此，故选项D正确. 10．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知函数对任意的，满足，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】构造函数，根据题意，求得在单调递增，结合选项，利用函数的单调性和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】构造函数，可得， 因为，可得， 又因为，所以，在单调递增， 对于A，由，可得，即， 可得，所以，所以A正确； 对于B，由，可得，即， 可得，所以，所以B不正确； 对于C，由，可得，所以， 可得，所以C正确； 对于D，由，可得，所以， 可得，所以D不正确. 11．（25-26高二下·湖北孝感·期中）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的单调递减区间为 B．函数的值域是 C．当时，关于的方程有两个不同的实数解 D．当时，关于的方程有两个不同的实数解 【答案】BC 【分析】求出导函数，确定函数的单调性与极值，确定函数的变化趋势，结合函数图象确定方程根的个数问题． 【详解】由已知的定义域是，， 由得或，因此减区间是和，A错； 得或，因此增区间是和， 是极大值，是极小值， 当时，，且当时，，当且时，，当且时，，当时，， 的大致图象如图所示， 所以的值域是，B正确， 由上讨论知当时，关于的方程有两个不同的实数解， 当时，关于的方程有一个实数解，C正确，D错误； 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为________________． 【答案】 【分析】由导数与函数单调性的关系可知，，参变分离得，利用导数求出在上的取值范围，即可得出实数的最小值. 【详解】由题意得函数在区间上单调递增，则，， 可得，可得， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增，则，即， 故当时，，故，即的最小值为. 13．（26-27高三·全国·一轮复习）设函数，其中．若函数在区间上有三个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】将函数零点问题，转化为函数图像交点问题，利用导数分析函数单调性、最值和极值，通过草图即可得到结果. 【详解】由函数在区间上有三个零点， 可得在上有三个不等的实根， 等价为在上有三个不等的实根． 设，， 令，得，令，得或， 可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则的最小值为，的极大值为，， 画出在的图象，如图， 可得当时，和在上有三个不同的交点． 故的取值范围为． 14．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若不等式恰好有两个整数解，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【分析】利用转化思想将问题转化为研究两个函数与的图像问题，利用导函数研究函数的单调性，数形结合进行分析即可得解． 【详解】要使有意义，须使， 所以， 当时，原不等式，只有一个整数解，不合题意； 令，则， 若，则；若，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，或. 令， 当时，，的大致图像如图： 由图可得满足的整数解只有一个，即，所以不合题意； 当时，，的大致图像如图： 由图可得若满足的整数解恰好有两个，则应该为和， 所以，代入得，解得， 即，所以实数a的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·天津津南·期末）已知函数 . (1)求的定义域; (2)求的单调区间; (3)求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2)单调递增区间是和 ，单调递减区间是 (3). 【分析】（1）由函数解析式即可求解； （2）求导，通过和即可求解； （3）由（2）函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由有意义需满足， 得的定义域为 （2）由 ， 可得 ， 因为定义域为 由，即 ，可得 或 ， 由，即 ，可得 ， 所以函数的单调递增区间是和 ， 单调递减区间是. （3）由（2）知: 函数 在区间 上的单调性为： 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为 ， 又 所以函数在区间上的最小值为. 16．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，且． (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或； (2)当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，在R上单调递增； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． 【分析】（1）设出切点，根据切线斜率得到方程，求出或，进而得到实数的取值； （2）求导，分，和三种情况，得到函数单调区间 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2），令，得或， ①当时，恒成立，所以在R上单调递增； ②当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 综上所述，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，在R上单调递增； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． 17．（25-26高二下·河北·期末）已知函数，，. (1)若在x=1处取得极值，求a的值； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)若在上存在单调递减区间，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先对函数求导，利用极值点处导数为求出参数，再通过导数正负判断函数单调性，进而得到单调区间； （2）方法一：对求导，将导数恒非负的不等式分离参数，构造函数求其在对应区间的最大值得到的范围；方法二：根据单调递增函数的性质，让区间最小值满足不等式，直接解出的取值范围； （3）方法一：将不等式分离参数，结合构造函数在区间的单调性求出最大值，得到的上限；方法二：利用函数单调性求出区间最小值，令最小值小于 解出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，则，得， 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极值，故. （2），则， 由题意得，在上恒成立，即在上恒成立. （方法一）整理得在上恒成立， 所以， 因为在上单调递减，最大值为，所以， 即的取值范围是. （方法二）因为，，所以函数在上单调递增， 所以， 所以，即， 即的取值范围是. （3）由题意得在上有解. （方法一）需在上有解. 因为在上单调递减， 所以， 所以，即的取值范围为. （方法二）函数在上单调递增，所以， 在上有解，所以， 所以，即的取值范围为. 18．（25-26高二下·广东佛山·期末）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)若，在上单调递增；若，在上单调递减，在上单调递增. (2). 【分析】（1）对函数求导，利用导数与单调性关系讨论即可. （2）将恒成立问题转化为最值问题，结合（1）的单调性结论，分情况讨论区间内的最小值即可. 【详解】（1）函数的定义域为，对其求导得，， 当时，恒成立，因此恒成立，故在上单调递增， 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上所述，若，在上单调递增， 若，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递增，因此在上也单调递增， 此时对任意，有， 满足恒成立， 当，在处取得极小值， 根据极小值点与区间的位置关系， 当，即时，在上单调递增， 因此在上的最小值大于， 满足恒成立， 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 因此区间内的最小值为， 要使恒成立，需最小值非负，即，则 令（），求导得， 当时，，故在上单调递增。 又，因此的解为， 结合前提，得， 综上的取值范围为. 19．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线的斜率； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义及初等函数的导数求解即可. （2）根据导数与单调性的关系，结合含参数一元二次不等式的求解方法求解即可. （3）通过分离参数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】（1）当时，. 求导得，. 所以曲线在点处的切线的斜率为. （2）的定义域为. 求导得. 令，则，即. 令，因为，则. 当，即时，恒成立，故， 所以在上单调递增. 当，即时，的两根为，，且. 因为，，所以，. 所以当或时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，. （3）不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立. 令，则. 则. 令，则. 因为，所以，则在上单调递增， 即在上单调递增. 又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，为，所以. 所以实数的取值范围为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 导数与函数的单调性（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建漳州·期末）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·山东烟台·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，其导函数为，且，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 5．（2026·山东威海·二模）已知函数在上有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·贵州毕节·期中）设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（    ） A．[0,1] B．[－1,1] C． D． 8．（25-26高二下·山东·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·内蒙古锡林郭勒·期末）已知函数（），则（     ） A．函数的图象过点 B．，使得函数是奇函数 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数有三个不同零点，则 10．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知函数对任意的，满足，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·湖北孝感·期中）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的单调递减区间为 B．函数的值域是 C．当时，关于的方程有两个不同的实数解 D．当时，关于的方程有两个不同的实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为________________． 13．（26-27高三·全国·一轮复习）设函数，其中．若函数在区间上有三个零点，则的取值范围为______． 14．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若不等式恰好有两个整数解，则实数a的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·天津津南·期末）已知函数 . (1)求的定义域; (2)求的单调区间; (3)求在区间上的最小值. 16．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，且． (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 17．（25-26高二下·河北·期末）已知函数，，. (1)若在x=1处取得极值，求a的值； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)若在上存在单调递减区间，求a的取值范围. 18．（25-26高二下·广东佛山·期末）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围． 19．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线的斜率； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $