第18讲导数与函数的极值、最值专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数工具性，以“求导-判单调-定极值/最值”为主线，系统覆盖基础应用与综合创新题型，培养逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择填空(1-8题)|求导找零点→判断单调性→确定极值/最值|导数概念→单调性判定→极值/最值求解的递进| |综合应用|解答与多选(9-15题)|参数分类讨论、函数性质综合分析|极值点与导函数关系→零点问题→实际应用建模| |创新应用|创新题型(16-17题)|跨情境问题转化、导数几何意义拓展|导数工具性→数学抽象→复杂问题解决的迁移|

第18讲　导数与函数的极值、最值 (时间:45分钟) 1.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.1-e B.-1 C.-e D.0 2.已知函数f(x)=-xex,那么f(x)的极大值是 (　 ) A. B.- C.-e D.e 3.函数f(x)=x3-3x(|x|<1) (　 ) A.有最值,但无极值 B.有最值,也有极值 C.既无最值,也无极值 D.无最值,但有极值 4.函数f(x)=cos x+xsin x在[0,π]上的最大值为 (　 ) A.0 B. C. D.π 5.(多选题)[2024·浙江五校协作体二联] 已知函数f(x)=(x+1)ex,则下列结论正确的是 (　 ) A.f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增 B.f(x)的最小值为- C.方程f(x)=2的解有2个 D.导函数f'(x)的极值点为-3 6.已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)的导函数为f'(x),若g(x)=xf'(x)的图象如图所示,则f(x)的极小值点为　　　　.  7.已知Rt△ABC的斜边BC的长为2,若以直角边AB所在直线为轴,将Rt△ABC旋转一周形成一个圆锥,则该圆锥体积的最大值为　　　　.  8.在同一平面直角坐标系内,定义域为R的函数y=f(x)及其导函数y=f'(x)的图象如图所示,已知两图象有且仅有一个公共点,其坐标为(0,1),则 (　 ) A.函数y=f(x)+x的最大值为1 B.函数y=的最小值为1 C.函数y=f(x)·ex的最大值为1 D.函数y=的最小值为1 9.[2025·哈尔滨九中月考] 拉格朗日中值定理又称拉氏定理:如果函数f(x)在[a,b]上连续,且在(a,b)上可导,那么必存在ξ∈(a,b),使得f'(ξ)(b-a)=f(b)-f(a).已知函数f(x)=,∀a,b∈[0,2](a≠b),λ=,那么实数λ的最大值为 (　 ) A.1 B.- C. D.0 10.(多选题)若函数f(x)=x3-3x2,则 (　 ) A.f(x)的极大值点为2 B.f(x)有且仅有2个零点 C.f(x)的图象关于点(1,-2)对称 D.f+f+f+…+f+f=-8094 11.(多选题)函数f(x)=(kx2+1)ex的图象可能是 (　 ) 12.已知函数f(x)=3x-tln x存在两个零点,则实数t的取值范围为　　　　.  13.已知函数f(x)=ax2-2x+ln x有两个不同的极值点x1,x2,则f(x1)+f(x2)的取值范围为　　　　.  14.[2024·湖南长郡中学月考] 已知函数f(x)=ln x-ax,其中a∈R. (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a的值. (2)是否存在实数a,使得f(x)在(0,e]上的最大值是-3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 15.[2023·北京卷] 设函数f(x)=x-x3eax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1. (1)求a,b的值; (2)设函数g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间; (3)求f(x)的极值点个数. 16.[2024·河北沧州三模] 已知函数f(x)=-ae2x+(a-1)ex+x+a2-(a>0)的值域与函数y=f[f(x)]的值域相同,则a的取值范围是 (　 ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(1,2) D.[1,+∞) 17.(多选题)[2024·江西新余模拟] 已知函数f(x)=ab(x-a)2(b-x)(ab≠0),现添加一个条件,使得f(x)的极大值点同时为其零点,则这个条件可以是 (　 ) A.ab>a2 B.< C.a2+b2-4a+4b+7≤0 D.eb=a+1 参考答案 第18讲　导数与函数的极值、最值 1.B　[解析] f'(x)=-1=,令f'(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,e]时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,e]上的最大值为f(1)=ln 1-1=-1. 2.A　[解析] ∵f(x)=-xex,∴f'(x)=-(x+1)ex,令f'(x)=0可得x=-1,当x<-1时,f'(x)>0,当x>-1时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,∴f(x)极大值=f(-1)=,故选A. 3.C　[解析] f'(x)=3(x2-1)=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上单调递减,无最大值和最小值,也无极值.故选C. 4.C　[解析] 由f(x)=cos x+xsin x得f'(x)=-sin x+xcos x+sin x=xcos x,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在[0,π]上的最大值为f=. 5.ABD　[解析] 由f(x)=(x+1)ex,可得f'(x)=(x+2)ex,令f'(x)<0,得x<-2,令f'(x)>0,得x>-2,故f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,故f(x)的最小值为f(-2)=-,故A,B正确;方程f(x)=2的解的个数,即为g(x)=(x+1)ex-2的零点个数,易知g(x)的单调性与f(x)的单调性相同,且g(-2)=--2<0,g(1)=2e-2>0,即g(1)·g(-2)<0,故由函数零点存在定理得到存在x0∈(-2,1),使得g(x0)=0,而当x→-∞时,g(x)→-2,显然g(x)在(-∞,-2)上无零点,故g(x)=(x+1)ex-2只有1个零点,即f(x)=2只有1个解,故C错误;令h(x)=f'(x)=(x+2)ex,则h'(x)=(x+3)ex,令h'(x)=0,解得x=-3,令h'(x)>0,得x>-3,令h'(x)<0,得x<-3,所以x=-3是h(x)的极值点,即导函数f'(x)的极值点为-3,故D正确.故选ABD. 6.3　[解析] g(x)的定义域为(0,+∞),由图可得当x∈(0,1)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,3)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,故x=1为函数f(x)的极大值点.当x∈(3,10)时,g(x)≥0,则f'(x)≥0,f(x)单调递增,故x=3为函数f(x)的极小值点.当x∈(10,+∞)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,故x=10为函数f(x)的极大值点.所以f(x)的极小值点为3. 7.π　[解析] 由题意,设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有c2+b2=4,该圆锥的体积V=π·b2·c=π·(4-c2)·c.设f(x)=x·(4-x2)(0<x<2),则f'(x)=4-3x2=-3,故当x∈时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0,故f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)max=f,所以Vmax=π××=π. 8.B　[解析] 由图可知,两个函数图象都在x轴及其上方,所以f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增,所以实线为y=f(x)的图象,虚线为y=f'(x)的图象,f(0)=f'(0)=1.对于A,y'=f'(x)+1>0,则y=f(x)+x在R上单调递增,无最大值,A错误;对于B,y'=,则y'|x=0==0,由图可知,当x<0时,f(x)-f'(x)<0,当x>0时,f(x)-f'(x)>0,所以y=在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以当x=0时,函数y=取得最小值=1,B正确;对于C,y'=[f'(x)+f(x)]ex,由图可知f(x)+f'(x)>0,所以y=f(x)·ex在R上单调递增,无最大值,C错误;对于D,y'=,则y'|x=0==0,由图可知,当x<0时,f'(x)-f(x)>0,当x>0时,f'(x)-f(x)<0,所以函数y=在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以当x=0时,函数y=取得最大值=1,D错误.故选B. 9.C　[解析] 由题意得,∀a,b∈[0,2](a≠b),不妨设a<b,则存在ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=,又λ=,所以λ=f'(ξ).因为f'(x)==,所以λ=f'(ξ)=,又ξ∈(a,b)⊆(0,2),所以令g(x)=,x∈(0,2),则g'(x)=,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,当x∈(1,2)时,g'(x)<0,故g(x)=在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故g(x)在x=1处取得极大值,也是最大值,最大值为g(1)=,故实数λ的最大值为. 10.BCD　[解析] 对于A,由题意知f'(x)=3x2-6x.令f'(x)>0,解得x<0或x>2,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(2,+∞)上单调递增;令f'(x)<0,解得0<x<2,所以f(x)在(0,2)上单调递减,所以f(x)在x=0处取得极大值,所以f(x)的极大值点为0,故A错误.对于B,因为f(x)的极小值为f(2)=-4<0,极大值为f(0)=0,所以f(x)有且仅有2个零点,故B正确.对于C,f(2-x)+f(x)=(2-x)3-3(2-x)2+x3-3x2=-4,所以f(x)的图象关于点(1,-2)对称,故C正确.对于D,由C选项可知,f+f+f+…+f+f=-4×=-8094,故D正确.故选BCD. 11.ABC　[解析] f(x)=(kx2+1)ex,当k=0时, f(x)=ex,A选项正确.f'(x)=(kx2+2kx+1)ex,令g(x)=kx2+2kx+1(k≠0),则Δ=4k2-4k,当0<k≤1时,Δ≤0,则f'(x)=(kx2+2kx+1)ex≥0,f(x)=(kx2+1)ex单调递增;当k>1时,Δ>0,则f'(x)=(kx2+2kx+1)ex=0有两个不等根x1,x2,且x1x2=,x1+x2=-2,所以x1<0,x2<0,C选项正确;当k<0时,Δ>0,则f'(x)=(kx2+2kx+1)ex=0有两个不等根x3,x4,且x3x4=,x3+x4=-2,不妨令x3<x4,则x3<0,x4>0,B选项正确.故选ABC. 12.(3e,+∞)　[解析] 由f(x)=3x-tln x=0,x>0,可得=,令g(x)=,依题意,函数f(x)=3x-tln x存在两个零点,等价于函数y=与函数g(x)=的图象有两个交点.g'(x)=,当0<x<e时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x>e时,g'(x)<0,g(x)单调递减,故当x=e时,g(x)取得最大值,且当x→0+时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0且g(x)>0,故要使函数y=与函数g(x)=的图象有两个交点,只需0<<,解得t>3e. 13.(-∞,-3)　[解析] 由f(x)=ax2-2x+ln x(x>0),求导得f'(x)=2ax-2+=,由函数f(x)有两个不同的极值点x1,x2,得方程2ax2-2x+1=0有两个不相等的正实根,则解得0<a<,于是f(x1)+f(x2)=a-2x1+ln x1+a-2x2+ln x2=a[(x1+x2)2-2x1x2]-2(x1+x2)+ln(x1x2)=--1-ln(2a).令h(a)=--1-ln(2a),求导得h'(a)=,当0<a<时,h'(a)>0,故函数h(a)=--1-ln(2a)在上单调递增,则h(a)<h=-3,又当a→0+时,h(a)→-∞,所以f(x1)+f(x2)的取值范围为(-∞,-3). 14.解:(1)f'(x)=-a,则f'(1)=1-a,f(1)=-a,故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y+a=(1-a)(x-1),即y=(1-a)x-1. 当a=1时,切线方程为y=-1,不符合要求;当a≠1时,令x=0,得y=-1, 令y=0,得x=,故=-1,解得a=2.综上,a的值为2. (2)∵f(x)=ln x-ax, ∴f'(x)=-a=(x>0). ①当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,e]上单调递增, ∴f(x)在(0,e]上的最大值是f(e)=1-ae=-3,解得a=>0,舍去; ②当a>0时,由f'(x)==0,得x=,当0<<e,即a>时,当x∈时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0,∴f(x)在上单调递增,在上单调递减, ∴f(x)在(0,e]上的最大值为f=-1-ln a=-3,解得a=e2; 当e≤,即0<a≤时,f(x)在(0,e]上单调递增,∴f(x)在(0,e]上的最大值为f(e)=1-ae=-3, 解得a=>,舍去.综上所述,存在a符合题意,此时a=e2. 15.解:(1)因为f(x)=x-x3eax+b, 所以f'(x)=1-(3x2+ax3)eax+b, 因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1, 所以f(1)=-1+1=0,f'(1)=-1,则解得 (2)由(1)得g(x)=f'(x)=1-(3x2-x3)e-x+1(x∈R), 则g'(x)=-x(x2-6x+6)e-x+1,令x2-6x+6=0,解得x=3±,不妨设x1=3-,x2=3+,则0<x1<x2. 易知e-x+1>0恒成立,所以令g'(x)<0,解得0<x<x1或x>x2,令g'(x)>0,解得x<0或x1<x<x2,所以g(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(-∞,0),(x1,x2)上单调递增, 即g(x)的单调递减区间为(0,3-)和(3+,+∞),单调递增区间为(-∞,0)和(3-,3+). (3)因为f(x)=x-x3e-x+1(x∈R),所以f'(x)=1-(3x2-x3)e-x+1,由(2)知f'(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(-∞,0),(x1,x2)上单调递增. 当x∈(-∞,0)时,f'(x)单调递增,因为f'(-1)=1-4e2<0,f'(0)=1>0,即f'(-1)f'(0)<0,所以f'(x)在(-∞,0)上存在唯一零点,不妨设为x3,则-1<x3<0,此时,当x<x3时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,当x3<x<0时,f'(x)>0,则f(x)单调递增, 所以f(x)在(-∞,0)上有一个极小值点;当x∈(0,x1)时,f'(x)单调递减,因为f'(x1)=f'(3-)<f'(1)=1-2<0,即f'(0)f'(x1)<0,所以f'(x)在(0,x1)上存在唯一零点,不妨设为x4,则0<x4<x1,此时,当0<x<x4时,f'(x)>0,则f(x)单调递增,当x4<x<x1时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,所以f(x)在(0,x1)上有一个极大值点; 当x∈(x1,x2)时,f'(x)单调递增,因为f'(x2)=f'(3+)>f'(3)=1>0,即f'(x1)f'(x2)<0,所以f'(x)在(x1,x2)上存在唯一零点,不妨设为x5,则x1<x5<x2,此时,当x1<x<x5时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,当x5<x<x2时,f'(x)>0,则f(x)单调递增,所以f(x)在(x1,x2)上有一个极小值点;当x>x2=3+>3时,3x2-x3=x2(3-x)<0,所以f'(x)=1-(3x2-x3)e-x+1>0,则f(x)单调递增,所以f(x)在(x2,+∞)上无极值点.综上,f(x)共有3个极值点. 16.D　[解析] f(x)=-ae2x+(a-1)ex+x+a2-(a>0)的定义域为R,且f'(x)=-ae2x+(a-1)ex+1=(aex+1)(-ex+1).当x<0时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,0)上单调递增,当x>0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以当x=0时,f(x)取得最大值f(0)=a2+-,又当x→-∞时,f(x)→-∞,所以函数f(x)的值域为.令t=f(x),则t∈,要使函数y=f[f(x)]的值域为,只需a2+-≥0,解得a≥1或a≤-,又a>0,所以a≥1.故选D. 17.BD　[解析] 易知f(x)的零点为x=a,x=b.①当-ab<0且a<b时,用“穿针引线法”可以得到函数f(x)的大致图象如图,与题意不符; ②当-ab<0且b<a时,用“穿针引线法”可以得到函数f(x)的大致图象如图,与题意相符,此时b<a<0或0<b<a; ③当-ab>0且b<a时,用“穿针引线法”可以得到函数f(x)的大致图象如图,与题意不符; ④当-ab>0且a<b时,用“穿针引线法”可以得到函数f(x)的大致图象如图,与题意相符,此时a<0<b.综上所述,0<b<a或a<0<b或b<a<0. 对于A,若ab>a2,则当a>0时,0<a<b,故A错误;对于B,若<,则当ab>0时,0<b<a或b<a<0,当ab<0时,a<0<b,故B正确;对于C,若a2+b2-4a+4b+7=(a-2)2+(b+2)2-1≤0,则(a-2)2+(b+2)2≤1,所以点(a,b)在圆心为(2,-2),半径为1的圆内(包括边界),所以b<0<a,故C错误;对于D,若eb=a+1,作出函数t(x)=ex和函数m(x)=x+1的图象如图,由图可得,0<b<a或b<a<0,故D正确.故选BD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $