专题3.4 导数与函数的单调性（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 聚焦导数与函数单调性的系统性训练，通过8类题型构建从基础求区间到综合应用的逻辑链条，分层设计实现能力递进，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型专练|8类题型（每类3-4题）|涵盖不含参/含参单调区间、导函数图象关系、单调性应用（比较大小/解不等式）及构造函数等核心考法|以导数正负判定单调性为起点，逐步递进至含参讨论、参数求解及综合应用，形成"概念-方法-应用"完整认知链| |分层突破|A组基础/B组培优/C组真题|基础题巩固定义应用，提升题强化综合分析，真题演练对接考情|匹配一轮复习循序渐进需求，从知识理解到能力迁移，培养理性思维与问题解决能力|

专题3.4 导数与函数的单调性（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 求不含参函数的单调区间】 1 【题型2 函数与导函数图象之间的关系】 3 【题型3 判断不含参函数的单调性】 5 【题型4 含参函数的单调性讨论】 7 【题型5 根据函数的单调性求参数】 13 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 15 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 17 【题型8 导数关系构造函数解不等式】 19 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 求不含参函数的单调区间】 1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定函数的定义域，再利用导数求函数的单调区间即可. 【解答过程】函数的定义域为， 因为，所以， 令，即，所以，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 2．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）函数的递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对函数求导，令导函数大于0构建不等式，其解集为单调增区间. 【解答过程】由，得， 其中，，令，即，解得， 所以函数的递增区间是. 故选：D. 3．（25-26高二下·江西吉安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对函数求导，令，求解即可. 【解答过程】定义域为，由题意得， 令，解得， 所以函数的递减区间为， 故选：D. 4．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由求，解不等式求单调区间. 【解答过程】定义域为，， 所以，解得， 所以，， 由解得， 所以的单调递减区间为. 故选：A. 【题型2 函数与导函数图象之间的关系】 5．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】A 【解题思路】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【解答过程】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 6．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【解答过程】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B. 7．（2026·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【答案】C 【解题思路】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的极值以及函数的单调性，推出结果． 【解答过程】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确； 时，，函数单调递增，，，函数单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 在区间上单调递减，D正确； 当时，函数单调递增，可能，所以C不正确； 故选：C． 8．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据图象找出与的解集，求解作答. 【解答过程】由得，同号． 由图得当时，单调递增，；当，时，单调递减，． 故当时，，，； 当时，，，． 综上，的解集为． 故选：D. 【题型3 判断不含参函数的单调性】 9．（25-26高二下·山东青岛·期末）函数，则，（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递减 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．是奇函数，且在区间上单调递减 【答案】A 【解题思路】根据函数的奇偶性定义判断函数奇偶性，再通过求导判断函数的单调性即得. 【解答过程】的定义域为,且 ，故，即函数是偶函数； 因，当时，，则，即函数在区间上单调递增. 故选：A. 10．（2026·湖北黄冈·二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由奇函数的性质和导数逐一判断即可. 【解答过程】对于A，由题意可得，解得，所以定义域为， 又，所以为减函数，故A错误； 对于B，，， 二者不相等，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，定义域需满足，即，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，定义域为， ，为奇函数； ，为增函数，故D正确. 故选：D. 11．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）已知函数，下列关于函数图象和单调性的说法正确的是（   ） A．关于原点对称，在上先减后增 B．关于轴对称，在上先增后减 C．关于原点对称，在上先增后减 D．关于轴对称，在上先减后增 【答案】C 【解题思路】通过导函数的正负来判断函数的单调性. 【解答过程】因为函数是奇函数，所以关于原点对称， 又，令， 则， 当时，则在上单调递减， 由， 则由零点存在性定理可知，存在，使得， 则当时，当时， 所以函数在上先增后减. 故选：C． 12．（25-26高三上·浙江·阶段检测）下列函数为奇函数且在其定义域上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数的奇偶性和单调性即可判断AB，利用导数研究单调性即可判断CD，进而求解. 【解答过程】易得为奇函数，但其在定义域上不是单调函数，故A错误； 为偶函数，故B错误； 的定义域为，易知为奇函数，由，等号仅在 等离散点处成立，所以在上单调递增，故C正确； 为奇函数，，当时，单调递减，故D错误， 故选：C. 【题型4 含参函数的单调性讨论】 13．（2026·四川广安·二模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，当时，在上的极小值点为，求证：． 注： 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在 上单调递减，在 上单调递增. (2)证明见解析 【解题思路】（1）对函数求导后，根据的取值分类讨论函数的单调性即可； （2）依题意求出，由 可得，利用零点存在定理推理得到，求出并化简得，再利用其单调性即可证明. 【解答过程】（1）由求导得， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，由可得， 当 时，，当 时，. 则函数在 上单调递减，在 上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在 上单调递减，在 上单调递增. （2）证明：当 时，，， 则，因在上的极小值点为， 则，即得①， 因，，由零点存在定理，可得， 将① 代入，得， 因为该函数在上单调递减，则，故得证. 14．（2026·湖南长沙·三模）已知函数，函数 (1)讨论函数单调性 (2)当时， ①求证：； ②设，求证：. 【答案】(1)当时，在定义域上单调递增，当时，的减区间为，增区间为 (2)①证明见解析；②证明见解析 【解题思路】（1）利用导数与函数单调性的关系，分和两种情况，即可求解； （2）①求的单调区间，进而求出的最小值，即可求解；②构造函数，利用导数，求出的单调性，再求出的最小值，从而得到，再分和，裂项相消，即可求解. 【解答过程】（1）易知的定义域为，， 当时，恒成立，此时在区间上单调递增， 当时，令，即，解得， 当时，，当时，， 此时，的减区间为，增区间为， 综上所述，当时，在定义域上单调递增， 当时，的减区间为，增区间为. （2）①当时, 令，易知的定义域为， ，易知在区间上单调递增， 又，所以存在，使，即， 当时，，当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，由，得到，， 所以，当且仅当时取等号， 又，所以，即. ②由①知，令， 则，令，则， 又，则， 所以在区间上单调递增， 所以， 则在区间上单调递增， 则，所以， 则时，，即，所以， 当时，，所以时，， 当时， ， 综上所述，. 15．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：关于方程在区间上有两个根； (3)在（2）的条件下，设方程的两个根为，，其中，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）直接利用导数判断，分四种情况：，，，讨论可得； （2）构造函数，将方程的根转化为函数的零点问题，显然函数有一个根，再用零点存在性定理判断另一个零点可得； （3）由（2）知，根据函数单调性，要证只需证，再通过换元，即只需证，再构造函数，再令，用导数判断，从而可得，进而可得所证不等式. 【解答过程】（1）由函数，所以函数的定义域为， ① 当时：对恒成立， 时，单调递减； 时，单调递增. ② 当时，当时，单调递增；当时，单调递增；当时，单调递减； ③ 当时：恒成立，在单调递增； ④ 当时：当 时，单调递增；当时，单调递增； 时，单调递减； 综上所述，当 时，在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在，上单调递增；在上单调递减； 当时， 在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）令，显然，，所以方程有一个根. 由（1）知当时，在，上单调递增；在上单调递减； 所以是极大值，是极小值，且，即. 又因为， 令，则，所以在上单调递减， 所以，即， 由零点存在定理，在存在唯一一个零点， 因此在上共有两个不同零点，即方程在上有两个根. （3）由（2）知，且在单调递增，且 因此要证，只需证. 令，则，故只需证明. 令 ， , 令， ， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，故，即， 所以，因为在单调递增，因此. 16．（2026·河北张家口·三模）已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)求的零点个数； (3)当时，记与的各零点之和为T，证明：． 参考数据：，． 【答案】(1)答案见解析 (2)一个 (3)证明见解析 【解题思路】（1）求导得，再根据判别式，分，两种情况讨论求解即可； （2）研究函数得单调性，结合零点存在性定理求解即可； （3）根据题意得，进而结合零点存在性定理得，，是函数的零点且，故，再结合，单调性即可证明. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 对于，， 当时，，，单调递增； 当时，， 由，得， 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）因为，， 所以， 设，， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 易知是增函数， 当时，； 所以当时，，单调递增， 又，， 由零点存在定理可知存在，使得， 所以只有一个零点. （3）因为， 所以，， 可知若存在零点，则也为其零点. 由，得， 因为，， 所以在上有唯一零点. 结合（2）可得， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以， 即， 所以得证. 【题型5 根据函数的单调性求参数】 17．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出函数的导数，问题转化为，或求解. 【解答过程】函数，求导得， 由函数在区间上单调，得，或， ①，，令函数， 求导得，函数在上单调递减， 于是，因此； ②，，由①得， 所以的取值范围为. 故选：B. 18．（2026·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，求得，结合的解集为，列出方程组，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 因为函数的减区间为，即不等式的解集为， 所以，且，解得， 所以且，解得. 故选：A. 19．（2026·河北·模拟预测）若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据分段函数的性质结合已知条件对函数进行分段讨论，当，根据对数函数性质得出函数单调性和最大值，当，对函数求导，结合函数单调递增，列出关于的不等式①并得出在上的最小值，再利用时的最小值不小于时的最大值，列出关于的不等式②，合并求出m的取值范围. 【解答过程】若，，因为底数，对数函数为单调递增函数， 在上的最大值为. 若，，求导得， 要使单调递增，则需满足①对所有恒成立，解得， 因为，则，所以， 若在上单调递增，则②，解得， 所以. 故选：C. 20．（2026·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先对函数求导，根据导数的函数性质结合零点取值得出已知条件恒成立时需满足的条件，再讨论的符号得出的取值范围． 【解答过程】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为. 故选：C． 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 21．（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由，可判断大小，构造函数，求导确定单调性，可判断大小，即可求解. 【解答过程】因为，所以，则． 令，则， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 则， 则，即．故． 故选：B． 22．（2026·河南·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】可构造函数，利用导数求得单调性，取，得到大小关系；再根据对数函数单调性和临界值得到大小关系即可. 【解答过程】设，则， 在上单调递减，，， 在上单调递减，，，； ，，； 综上所述：. 故选：C． 23．（2026·陕西咸阳·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造，，可知在内单调递增，结合函数单调性比较大小即可. 【解答过程】构造，，则， 可知在内单调递增， 因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 则，所以， 综上所述：. 故选：C． 24．（2026·陕西延安·三模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，利用同构比较大小. 【解答过程】由于，所以， 设，则，所以在上单调递增， 那么，所以，， ，设，， 所以，在上单调递减，， 即, 由于，那么, ， 综上，. 故选：A． 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 25．（2026·广西桂林·模拟预测）已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求导得到的单调性，再利用单调性结合定义域可得结果. 【解答过程】因为， 所以在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为． 故选：A． 26．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数的单调性和奇偶性结合导数可得. 【解答过程】，定义域为， ，为奇函数， 又，所以在上单调递增， 所以即， 即的取值范围是. 故选：C. 27．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【解答过程】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时， ，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 故选：D． 28．（2026·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数是偶函数列式得出函数解析式，再应用导函数判断函数单调性，最后结合单调性计算求解. 【解答过程】因为，且是偶函数， 所以， 所以，单调递减， 则不等式化简为， 所以，即， 所以或. 故选：B. 【题型8 导数关系构造函数解不等式】 29．（2026·湖南·三模）已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，根据条件得在区间上单调递减，从而可得，即可求解. 【解答过程】令，则， 因为，则，所以， 则在区间上单调递减， 又，由，得到，所以， 解得， 故选：D. 30．（25-26高二下·湖南娄底·期中）已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，求导，结合已知条件得在定义域上单调递增，然后化简已知不等式得，利用单调性即可求解. 【解答过程】设， 则， 因为，所以，又，所以恒成立， 所以在定义域上单调递增． 故原不等式可转化为，又，所以， 所以，所以，故不等式的解集为． 故选：B. 31．（2026·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，，当时，，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，利用导数得到在各区间的符号，再分类讨论即可解出不等式. 【解答过程】构造，则， 因为当时，，则此时，单调递增， 则的正负符号由决定， 又因为，则，因为在上单调递增， 则当时，，所以此时， 当时，，所以此时， 又因为为上的奇函数，则当时，，则， 当时，，则， 且， 则若，则或 即或，解得或， 综上，的解集为. 故选：D. 32．（2026·四川眉山·模拟预测）已知可导函数的导函数为，若对任意，都有，且，则不等式的解集为（  ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求出不等式的解集. 【解答过程】设函数，求导得， 由，得，函数在R上单调递减， ，即， 由，得，因此，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 一、单选题 1．（25-26高二下·四川成都·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．， D． 【答案】B 【解题思路】首先对函数求导，令导数大于0，结合定义域即可求出函数的单调递增区间. 【解答过程】因为，. 所以对函数求导得：. 令，则，解得. 又，所以. 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 2．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，结合导数，逐一判断即可得解. 【解答过程】选项A：，定义域为， 因为在单调递减，在单调递增，且是周期函数，在单调递增，在单调递减， 所以在上不能满足单调递增，所以A错误； 选项B：，定义域为，，是奇函数，所以B错误； 选项C：，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，所以C错误； 选项D：，定义域为，，是偶函数； 又， 且当时，，所以， 所以在上单调递增，所以D正确. 故选：D. 3．（2026·江苏·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解题思路】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即可得到在上恒成立，从而求出的范围. 【解答过程】因为，所以， 因为函数在区间上是减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为时，，所以， 所以的最大值是. 故选：A. 4．（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】易得，，，构造函数，利用导数分析其单调性，进而判断即可. 【解答过程】由，，， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则，即. 故选：C. 5．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；的部分利用二次函数的性质即可判定；分段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案. 【解答过程】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当时，由在上递减， 若，，合题意， 若，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． 6．（2026·重庆渝中·模拟预测）设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，求导可知单调递增. 将不等式转化为，利用单调性得 ，解得. 【解答过程】设函数，由于， 得，则在上单调递增，， 则，即， 于是，解得． 故选：C． 7．（2026·四川眉山·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数，根据为奇函数，得出为偶函数，再结合题干得的单调性，即可得解. 【解答过程】因为是奇函数，所以， 设函数，则，所以是偶函数. 因为，且当时，，所以在上单调递增. 因为是偶函数，所以在上单调递减. 若 ，   ， ， 又因为，所以. 故选：B. 8．（2026·江西新余·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先判断的图象关于直线对称，再利用导数判断当时的单调性，根据定义域和单调性列不等式组求解可得. 【解答过程】由得函数的定义域为， 由于， 所以的图象关于直线对称， ， 当时，单调递增，所以， 又，所以，单调递增， 所以，解得. 故选：D． 二、填空题 9．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是___________. 【答案】（写成，，，同样给分） 【解题思路】根据导数和函数单调性的关系，即可求解. 【解答过程】因为，， 令，得，解得， 所以的单调递减区间是. 故答案为：. 10．（2026·福建泉州·二模）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解题思路】对函数求导并根据单调性得出不等式在恒成立，再构造函数并利用单调性即可求得实数的取值范围. 【解答过程】对于，则， 因为在区间上单调递增， 所以在恒成立， 显然，所以在恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 所以，则或（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 11．（2026·湖北孝感·一模）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则___________． 【答案】 【解题思路】对函数求导，可求解值，分析导函数符号即可得到函数的单调递增以及递减区间，即可求解. 【解答过程】根据题意可知， 则可得，令，即， 解之可得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以可知，，所以. 故答案为：. 12．（2026·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解题思路】构造函数利用函数的单调性解不等式即可. 【解答过程】设则， 故在R上单调递减， 且，即， 即， 故. 故不等式的解集为. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·广西柳州·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先根据函数是定义在上的偶函数得，再求导得，结合函数也是偶函数，得，从而得导函数的解析式，最后利用导函数研究函数的单调性即可解出实数的范围. 【解答过程】由题意，是定义在上的偶函数，则，所以， 即，又也是偶函数，所以， 所以，即， 因为函数是R上的减函数，也是减函数， 所以函数是R上的减函数； 令，即，解得， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减， 又函数是上的偶函数， 所以由，可得，解得， 因此，实数的范围是， 故选：C. 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【答案】C 【解题思路】首先分析哪一个函数图象为、的图象，再根据导数的运算法则求出选项中的导函数，最后分析其正负，即可判断其单调性. 【解答过程】如图，不妨令上面的曲线为，与的轴交点横坐标分别为， ， 下面的曲线为，与的轴交点横坐标为， 由的图象可知，当时函数值小于，当时函数值大于，且的图象从左至右呈上升趋势； 由的图象可知，当时函数值小于，当或时函数值大于，且的图象从左至右呈先下降，后上升趋势； 又这两个函数图象为函数及其导函数的图象， 所以对应的是，对应的是； 所以当时，单调递减，且， 当时，单调递增，且当时，当时； 对于A、B：由，所以， 显然，当时，所以，则在上单调递减， 当时，所以，则在上单调递增，故A、B错误； 对于C、D：，则， 显然，且当时，即， 所以，所以在区间上单调递增，故C正确，D错误. 故选：C. 3．（2026·湖北·二模）定义在的函数满足：，，且时，，若，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令代入，得到的奇偶性，令，可得，并结合题干可推得的单调性，再对、、进行变形，往中凑，最后再令，研究的单调性即可求解． 【解答过程】，，令，则，得， 令得，即函数是奇函数， 下面判断函数的单调性，令，则， ，所以， 所以，即， 所以在单调递增， ，， ， 构造函数，则， 当时，，当时，， 所以在递增，在递减， 则， 即， 所以，又在单调递增， 所以，也即． 故选：D. 4．（2026·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为减函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，① 因为函数为偶函数，则，② 联立①②可得， 令，则在上恒成立， 所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数， 故当时，，所以，函数在上为减函数， 由可得， 即，解得或. 故选：D. 二、解答题 5．（2026·河北沧州·三模）已知． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)当时,在上单调递增；当时,在上单调递增,在(上单调递减. (2)证明见解析 【解题思路】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解单调性； （2）由（1）可得，即可将问题转化为，构造函数，求导确定函数单调性，即可利用最值求解. 【解答过程】（1）函数的定义域为，. ①当时，因为，所以，则恒成立，所以在上单调递增； ②当时，令，解得(舍去). 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由(1)知，当时，在处取得最大值. . 要证，即证. 整理得：. 令，其中. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以. 即恒成立. 故得证. 6．（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增 (2) 【解题思路】（1）对函数求导，通过讨论的范围，得到和，即可得到函数的单调区间； （2）根据（1）的单调区间，对进行分类讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到的取值范围. 【解答过程】（1）的定义域为，， ，则由得，． （ⅰ）当时，则，当时，； 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减． （ⅱ）当时，则，此时，所以在单调递减． （ⅲ）当时，则，当时，； 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减． 综上所述， 当时，在和上单调递减， 在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减， 在上单调递增． （2）（ⅰ）若，则，由得． 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增． ∴当时，取得最小值，最小值为．   ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即． 当时，，，故， 所以，故在有一个零点．   设，，时，单调递增， 所以，即当时，， 故， 所以，因此在有一个零点．   （ⅱ）若，，由（1）知，至多有一个零点； （ⅲ）若，由（1）知，至多有一个零点； （ⅳ）若，，由（1）知，至多有一个零点； 综上，的取值范围为. 7．（2026·天津武清·模拟预测）已知实数，设函数． (1)时，求在点处的切线斜率； (2)当时，求函数的单调区间； (3)证明：当时，对任意恒成立． 【答案】(1) (2)的单调递增区间是，单调递减区间是. (3)证明见解析 【解题思路】（1）由计算即可； （2）求导通分后，对分子有理化，再因式分解，进而求出单调性； （3）现将化简为， 再令，并视其为的二次函数，配方后，再分和两种情况进行讨论即可. 【解答过程】（1）时，，则， 故在点处的切线斜率为. （2）当时，，， ， 令，解得或（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）设 ， 因为，所以证明就等价于证明， 令，， 配方得， （i）当时，， 则， 记， ， 因为，, 则当时，,当时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； （ii）当时，， 令，， 故在上单调递增，所以， ， 由（i）知在上单调递减，故，而 所以，. 由（i）（ii）可得：当时，对任意恒成立， 所以当时，对任意恒成立． 8．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数． (1)记，若在定义域内单调递减，求的最小值； (2)若有两个不同的零点，且． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)1 (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）由恒成立，通过分离参数，结合基本不等式求最值，即可求解； （2）（i）求导，通过讨论和，确定单调性，进而可求解；（ii）由（i）将，转换成，结合单调性再转换成，构造函数，求导确定单调性，进而可证明. 【解答过程】（1）由题得 ， 则． 因为在定义域内单调递减，所以在上恒成立， 即 在上恒成立，则． 因为．当且仅当时等号成立，所以，则的最小值为1． （2）（i）由题意得， 当时，，则在上单调递增， 此时最多有一个零点，不符合题意； 当时，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又当趋向0时，趋向；当趋向时，趋向， 因为有两个不同的零点， 所以．解得． 所以的取值范围为 （ii）由（i）知，且在上单调递增， 要证，即证， 又，即证，即证， 即证， 由 ，得， 即证， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，则， 则 所以，则在上单调递减， 由（i）知． 所以当时， ， 所以得证． 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由奇函数的性质和导数，逐一判断即可. 【解答过程】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 故选：D. 二、多选题 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解题思路】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【解答过程】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 三、填空题 3．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 【答案】； 【解题思路】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果. 【解答过程】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在上单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 故答案为：；. 四、解答题 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii），证明见解析 【解题思路】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合，和函数的单调性以及函数值的情况即可得证. 【解答过程】（1）证明：由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）证明：由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意，， 所以. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)证明见解析 【解题思路】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【解答过程】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）证明：，且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证. 6．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)证明见解析； (3)存在，2 【解题思路】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【解答过程】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）证明：，切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即：存在点使得成立，且满足的有两个. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 导数与函数的单调性（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 求不含参函数的单调区间】 1 【题型2 函数与导函数图象之间的关系】 2 【题型3 判断不含参函数的单调性】 3 【题型4 含参函数的单调性讨论】 4 【题型5 根据函数的单调性求参数】 5 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 5 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 6 【题型8 导数关系构造函数解不等式】 6 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 求不含参函数的单调区间】 1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）函数的递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江西吉安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【题型2 函数与导函数图象之间的关系】 5．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 6．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   7．（2026·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 8．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型3 判断不含参函数的单调性】 9．（25-26高二下·山东青岛·期末）函数，则，（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递减 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．是奇函数，且在区间上单调递减 10．（2026·湖北黄冈·二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）已知函数，下列关于函数图象和单调性的说法正确的是（   ） A．关于原点对称，在上先减后增 B．关于轴对称，在上先增后减 C．关于原点对称，在上先增后减 D．关于轴对称，在上先减后增 12．（25-26高三上·浙江·阶段检测）下列函数为奇函数且在其定义域上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 含参函数的单调性讨论】 13．（2026·四川广安·二模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，当时，在上的极小值点为，求证：． 注： 14．（2026·湖南长沙·三模）已知函数，函数 (1)讨论函数单调性 (2)当时， ①求证：； ②设，求证：. 15．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：关于方程在区间上有两个根； (3)在（2）的条件下，设方程的两个根为，，其中，证明：. 16．（2026·河北张家口·三模）已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)求的零点个数； (3)当时，记与的各零点之和为T，证明：． 参考数据：，． 【题型5 根据函数的单调性求参数】 17．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（2026·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 19．（2026·河北·模拟预测）若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2026·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 21．（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 22．（2026·河南·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 23．（2026·陕西咸阳·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 24．（2026·陕西延安·三模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 25．（2026·广西桂林·模拟预测）已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 26．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（2026·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型8 导数关系构造函数解不等式】 29．（2026·湖南·三模）已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二下·湖南娄底·期中）已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 31．（2026·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，，当时，，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 32．（2026·四川眉山·模拟预测）已知可导函数的导函数为，若对任意，都有，且，则不等式的解集为（  ）. A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高二下·四川成都·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．， D． 2．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 4．（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆渝中·模拟预测）设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·四川眉山·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·江西新余·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是___________. 10．（2026·福建泉州·二模）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________. 11．（2026·湖北孝感·一模）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则___________． 12．（2026·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为___________． 一、单选题 1．（2026·广西柳州·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 3．（2026·湖北·二模）定义在的函数满足：，，且时，，若，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2026·河北沧州·三模）已知． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 6．（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围． 7．（2026·天津武清·模拟预测）已知实数，设函数． (1)时，求在点处的切线斜率； (2)当时，求函数的单调区间； (3)证明：当时，对任意恒成立． 8．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数． (1)记，若在定义域内单调递减，求的最小值； (2)若有两个不同的零点，且． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题 3．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 四、解答题 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 6．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $