正弦定理和余弦定理专项训练-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦正弦定理与余弦定理的系统性应用，覆盖基础计算、形状判断、实际测量及综合范围问题，以题载法构建从定理应用到实践建模的逻辑链条，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|6题（典例3）|定理直接应用、面积计算、解的个数|定理推导→基本量计算→解的存在性| |综合应用|8题（典例7）|范围问题、多条件综合、形状判断辨析|面积公式→边角关系→函数思想求范围| |实际问题|5题（典例5）|测量模型构建、仰角俯角、不可到达点|几何直观→模型抽象→数学语言表达|

4.7 正弦定理和余弦定理（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·河北石家庄·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 2．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知的内角的对边分别为，若满足的有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东广州·期末）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．（2026·广东阳江·二模）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广西桂林·期末）日月双塔是桂林的标志性建筑之一，也是游客的日常打卡地．为测量日塔的高度，某中学研究学习小组选取A，B两处作为测量点，O为日塔底部中心点，且与A，B共水平面，测得的距离为8 m，，，在B处测得日塔顶端C的仰角为，则测量的日塔的高度约为（    ）（参考数据：，） A．36 m B．41 m C．45 m D．48 m 6．（25-26高一下·湖北鄂州·期末）在中，，，所对的边分别为，，，已知且，若面积为1，则（    ） A．2 B． C． D． 7．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·湖北黄石·期末）记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列关系中能确定的形状为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·四川·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若是锐角三角形，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为直角三角形 11．（25-26高一下·重庆·期末）在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学做了一次实地测量活动．如图，、两点都在河的对岸（不可到达），他取了相距100米的、两点作为测量基点（、、、四点在同一平面，点在点的正西方向）测得，，，，点处有一座塔，站在处看塔尖，测得仰角为（身高忽略不计），经过计算得到如下数据，则其中正确的是（     ） A．点在点的北偏西方向上 B．米 C．米 D．塔高米 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·黑龙江·期末）在中，，点D在边BC上，且，则__________． 13．（25-26高一下·河南驻马店·期末）在中，，，若存在且唯一确定，则的取值范围为__________． 14．（25-26高一下·天津滨海新区·期末）在中，角，，所对应的边分别为，，，已知， （1）角__________； （2）若，则的面积的最大值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·安徽·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求． (2)若，，求边上的角平分线的长． 16．（25-26高一下·河南许昌·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若外接圆半径为，求周长的取值范围． 17．（25-26高一下·陕西渭南·期末）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求证：是钝角三角形； (2)若，的面积为，求的值； (3)若，求面积的最大值． 18．（25-26高二下·江苏常州·期中）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设. (1)求； (2)求的面积. 19．（25-26高一下·江西南昌·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.7 正弦定理和余弦定理（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·河北石家庄·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】联立三角形面积公式与余弦定理，等量代换化简得到. 【详解】因为的面积为，所以， 又∵， ， 则. 2．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知的内角的对边分别为，若满足的有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求出，有两解需满足，即可求得b的范围. 【详解】在中，，， 由正弦定理可得， 有两解，则满足，所以， 综上，的取值范围为. 3．（25-26高一下·广东广州·期末）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式，推导三角形内角关系，进而判断三角形形状. 【详解】 根据二倍角余弦公式， ， 在中，，所以， 由正弦定理，则 ， 则 ， 整理得： ，即 ， 即 ， 则由正弦函数的性质，存在两种情况： ，即，此时为等腰三角形； 或，即，则，此时为直角三角形， 因此为等腰三角形或直角三角形. 4．（2026·广东阳江·二模）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式及三角形面积公式即可求解． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以，则，， 的面积为． 5．（25-26高一下·广西桂林·期末）日月双塔是桂林的标志性建筑之一，也是游客的日常打卡地．为测量日塔的高度，某中学研究学习小组选取A，B两处作为测量点，O为日塔底部中心点，且与A，B共水平面，测得的距离为8 m，，，在B处测得日塔顶端C的仰角为，则测量的日塔的高度约为（    ）（参考数据：，） A．36 m B．41 m C．45 m D．48 m 【答案】B 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用两角和差的正切公式求，即可得结果. 【详解】在中，，，，则， 由正弦定理可得，则， 在中，，， 则， 可得，所以测量的日塔的高度约为. 6．（25-26高一下·湖北鄂州·期末）在中，，，所对的边分别为，，，已知且，若面积为1，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合三角变换和正弦定理，可求边，再结合三角形的面积公式和余弦定理，可求，再利用二倍角公式，可求. 【详解】因为. 所以 所以 所以. 由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为1，所以，.① 由余弦定理可得：, 所以： ② ①②可得：，即. 所以. 7．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正余弦定理进行边角转化得到角的余弦值，结合锐角三角形，求出角的大小，以及角或角的取值范围；根据边和角，结合正弦定理将，表示为对应角的正弦函数，将周长转化为关于角或角的三角函数，结合三角函数的单调性即可求出周长的取值范围. 【详解】在中，，得. 由正弦定理得，； 由余弦定理得，； ，得. 是锐角三角形，，得； ，解得. ，，由正弦定理得； ，. . ，； ，得，即. ，即周长的取值范围为. 8．（25-26高一下·湖北黄石·期末）记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到，求得且，由正弦定理得，结合，得到，进而求得的取值范围. 【详解】由，可得，所以， 即， 因为，可得，所以或， 当时，即，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，可得且， 由正弦定理得， 则 ， 又由，可得，所以， 即的取值范围. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列关系中能确定的形状为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A项利用正弦定理边化角进行判定；B项由正弦定理判定直角三角形； C项利用余弦定理和勾股定理进行判定；D项正弦定理和二倍角公式进行判定. 【详解】对于A，由正弦定理可知，，， . 所以，且，，，得， 所以三角形为等边三角形，故A错误； 对于B，根据正弦定理：且， 所以,， 又因为，， 所以，，故三角形为直角三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理得. 又，所以，满足勾股定理，三角形为直角三角形，C正确； 对于D，由正弦定理得： . 当，即，此时三角形为等腰三角形； 当时，即，所以，所以此时为直角三角形. 故可能为等腰三角形，可能为直角三角形，故D错误. 10．（25-26高一下·四川·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若是锐角三角形，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为直角三角形 【答案】ACD 【详解】对于A，由，结合正弦定理得，所以，故A正确； 对于B，因为是锐角三角形，所以，所以， 又因为，，所以， 又在上单调递增，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，又， 所以，所以中一定有一个为负， 所以为钝角三角形，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，所以， 又，所以，所以， 所以，所以为直角三角形，故D正确. 11．（25-26高一下·重庆·期末）在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学做了一次实地测量活动．如图，、两点都在河的对岸（不可到达），他取了相距100米的、两点作为测量基点（、、、四点在同一平面，点在点的正西方向）测得，，，，点处有一座塔，站在处看塔尖，测得仰角为（身高忽略不计），经过计算得到如下数据，则其中正确的是（     ） A．点在点的北偏西方向上 B．米 C．米 D．塔高米 【答案】BCD 【分析】根据点在点的正西方向，，即可判断A；分析判断为等边三角形，得，利用正弦定理判断B；利用余弦定理判断C；结合仰角定义和三角函数定义判断D..D 【详解】对于A，因点在点的正西方向，，故点在点的西偏北方向上，即北偏西方向上，故A错误； 对于B,在中，，故， 由正弦定理：，则,故B正确； 对于C,因，则为等边三角形， 在中，已知， 由余弦定理,米，故C正确； 对于D,设塔高为，因在处看塔尖的仰角为，则，即， 因,则米，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·黑龙江·期末）在中，，点D在边BC上，且，则__________． 【答案】 【分析】根据等面积法，将的面积分为与的面积和，利用三角形面积公式即可计算． 【详解】 因为，所以． 因为，所以，解得． 13．（25-26高一下·河南驻马店·期末）在中，，，若存在且唯一确定，则的取值范围为__________． 【答案】或 【分析】由正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，再利用正弦定理得到关于的式子，最后由限制条件“存在且唯一确定”求解的取值范围. 【详解】已知， 由正弦定理有， 由余弦定理有， 因为，所以，则. 由正弦定理可得， 因为存在且唯一确定，则的值应唯一确定，则或， 当时，，有， 当时，有， 综上，的取值范围为或. 14．（25-26高一下·天津滨海新区·期末）在中，角，，所对应的边分别为，，，已知， （1）角__________； （2）若，则的面积的最大值是__________. 【答案】 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式及诱导公式可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得的最大值，从而求得的面积的最大值. 【详解】（1）由，及正弦定理， 得， ， ， 所以， 因为，所以， 所以，， 因为，所以. （2）若，则由余弦定理， 得， 因为，所以，即. 所以的面积， 所以的面积的最大值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·安徽·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求． (2)若，，求边上的角平分线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理将边化角，再结合和角的正弦公式，特殊角的三角函数值即可求出； （2）结合（1）中的值，根据余弦定理得到的值，再根据角分平线的性质，及三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）由， 则由正弦定理得， 又在中，有， 则， 所以， 即， 又，则，即， 所以，即， 又，则，所以，解得． （2）结合（1）有， 则由余弦定理有， 又，，则，解得， 又边上的角平分线为，则， 又， 则， 即，解得． 16．（25-26高一下·河南许昌·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若外接圆半径为，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理对已知式进行边角互化，并结合两角和的正弦公式及诱导公式进行化简，求得，从而求得； （2）根据正弦定理求得，并利用正弦定理，结合两角差的正弦公式及辅助角公式将转化成的正弦型函数，从而求得周长的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得． 即 又在中，，所以， 所以． 因为，所以，所以， 又，所以． （2）由， 得，，． 因为，所以，即， 所以． ． 是锐角三角形，且， ，， . ， ， ， 所以的周长的取值范围是． 17．（25-26高一下·陕西渭南·期末）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求证：是钝角三角形； (2)若，的面积为，求的值； (3)若，求面积的最大值． 【答案】(1)证明：因为，所以， 因为， 所以，所以由正弦定理得， 故． 由余弦定理得， 又，得，所以是钝角三角形. (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式，正余弦定理求解； （2）利用三角形面积公式求解； （3）利用余弦定理和基本不等式求解. 【详解】（1）略. （2）因为，的面积为，， 所以，故， 因为，所以． （3）因为，， 所以，即， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 则，即，当且仅当时取等号， 则面积， 即面积的最大值为，当且仅当时取得． 18．（25-26高二下·江苏常州·期中）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在中用余弦定理算出，再对使用正弦定理，代入与直接解出； （2）先由同角平方关系求出，再结合三角形内角和得到，利用两角差正弦公式与正弦定理求出，最后由面积公式算出面积． 【详解】（1）在中，，，， 由， 得， 由， 得． （2）由（1）知，所以， 在中，，， 由， 得， 所以． 19．（25-26高一下·江西南昌·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）利用正弦定理，可求角. （2）利用三角形的面积公式和余弦定理列式，可求三角形的周长. （3）利用平面向量和余弦定理可得，再利用正弦定理和三角函数恒等变换求的取值范围即可. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 因为，所以，所以，即， 又，则． （2）由（1）及题设可得，即 整理得，解得． 所以的周长为. （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $