第1周 解三角形（求角度与面积） 每周88分小卷自测综合练习 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦一轮复习基础整合，以88分小卷形式覆盖集合、复数、函数、几何等核心模块，突出向量与解三角形综合应用，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-2题|集合运算、复数模的几何意义|概念辨析与几何直观结合| |函数应用|单选3、6题|声强级公式应用、分段函数零点|实际问题抽象为函数模型| |几何综合|单选7、11题|椭圆焦点三角形、球与二面角|平面与立体几何性质推导| |概率统计|多选9、填空13题|相关系数性质、有放回取球概率|数据处理与古典概型应用| |综合大题|15题|向量与解三角形求角度面积|向量数量积与正余弦定理融合|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每周88分小卷自测综合练习 第1周 本周大题《向量+解三角形（求角度+面积）》 总分：88分（8单选+3多选+3填空+1大题） 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A={0,1,2,3},B={x|2x<7},则A∩B的元素个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 2.已知复数z满足|z-2i|=1,则|z|的最小值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 3.声强级LI(单位:dB)由公式LI=10 lg给出,其中I为声强(单位:W/m2).轻柔音乐的声强一般在10-8~10-6 W/m2之间,则轻柔音乐的声强级范围是(　　) A.0~20 dB B.20~40 dB C.40~60 dB D.60~80 dB 4.(1-2x)4的展开式中x2的系数为(　　) A.24 B.-24 C.-36 D.-40 5.已知θ∈,tan 2θ=,则tan θ=(　　) A. B. C.2 D.3 6.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-a恰有2个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,0) B.(0,1] C.(0,4] D.(4,+∞) 7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与C相交于A,B两点,且|AF1|=|AB|,|BF1|=a,则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 8.已知函数f(x)=sin x+sin 2x+2(x-1)在[-2π,2π]上的所有极值点从小到大依次记为x1,x2,…,xn,则f(xi)=(　　) A.-32 B.-16 C.-8 D.-4 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.一组成对样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥10,n∈N*)的散点位于一条直线附近,它的样本相关系数r=(其中=xi,=yi),由最小二乘法求得经验回归方程=x+(其中=),则(　　) A.若r>0,则>0 B.若zi=yi-2(i=1,2,…,n),则成对数据(xi,zi)的样本相关系数r1等于r C.若zi=2yi(i=1,2,…,n),则成对数据(xi,zi)的样本相关系数r2大于r D.若zi=2yi(i=1,2,…,n),则成对数据(xi,zi)的经验回归方程=2x+2 10.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出:三角形的外心,重心,垂心位于同一直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,4),B(-1,2),C(1,0),其“欧拉线”为l,圆M:(x-a)2+y2=1,则(　　) A.过A作圆M的切线,切点为P,则|AP|的最小值为4 B.若直线l被圆M截得的弦长为2,则a=-1 C.若圆M上有且只有两个点到l的距离都为1,则-1-2<a<-1+2 D.存在a,使圆M上有三个点到l的距离都为1 11.已知A,B是球O的球面上两点,C为该球面上的动点,球O的半径为4,·=0,二面角O-AB-C的大小为120°,则(　　) A.△ABC是钝角三角形 B.直线OC与平面ABC所成角为定值 C.三棱锥O-ABC的体积的最大值为8 D.三棱锥O-ABC的外接球的表面积为π 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若函数f(x)=loga|x-m|(a>0,且a≠1)是偶函数,且f(-2)=2,则a=　　　　.  13.一个袋子里有大小和质地相同的4个球,标号为1,2,3,4,从中有放回地随机取球,每次取1个球,共取4次,把每次取出的球的标号排成一列数,则这列数中恰有3个不同整数的概率为　　　　.  14.在平面四边形ABCD中,AC=AD=4,∠CAD=60°,∠ABC=90°,若△ABD的面积是△BCD的面积的2倍,则BD的长度为　　　　.  四、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分15分)(2025·湖北八市联考)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,向量m=(a,b+c),n=(sin C+cos C,1),m·n=2(b+c). (1)求A; (2)若c=2,=2,AM=2.求△ABC的面积. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每周88分小卷自测综合练习 答案与解析 第1周 本周大题 向量+解三角形（求角度+面积） 总分：88分（8单选+3多选+3填空+1大题） 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 1.答案　B 解析　由2x<7,可得x<log27<log28=3, 所以A∩B={0,1,2,3}∩{x|x<log27}={0,1,2}. 故A∩B的元素个数为3. 故选B. 2.答案　B 解析　设z=x+yi(x,y∈R), ∵|z-2i|=1,∴|x+(y-2)i|=1, ∴=1, ∴x2=1-(y-2)2(y∈[1,3]), 则|z|===≥=1. 当y=1时取等号. 故选B. 3.答案　C 解析　依题意可得10-8≤I≤10-6, 所以104≤≤106, 所以4≤lg ≤6, 所以40≤10lg ≤60, 即轻柔音乐的声强级范围是40~60 dB. 故选C. 4.答案　D 解析　因为展开式(1-2x)4的通项为Tk+1=(-2x)k=(-2)kxk,k=0,1,2,3,4, 所以x2的系数为(-2)1+(-2)3=-40.故选D. 5.答案　A 解析　由θ∈可得sin θ>0,cos θ>0, 所以 = = =sin θ+cos θ, 又易知tan 2θ=, 因此可得==, 即可得=, 所以2tan θ=1-tan θ,解得tan θ=. 故选A. 6.答案　B 解析　易知当x≤0时,函数y=ex单调递增,且y=ex∈(0,1]; 当x>0时,函数y=x-,易知y'=1+=, 显然当a≥0时,y'>0恒成立,即y=x-在(0,+∞)上单调递增; 当x→0时,y→-∞;当x→+∞时,y→+∞, 此时函数f(x)的图象大致如图所示: 若函数g(x)=f(x)-a恰有2个零点, 即函数f(x)的图象与y=a有两个交点, 由上图可知a∈(0,1]; 当a<0时,根据对勾函数性质可知y=x-=x+≥2, 当且仅当x=时,等号成立; 此时其图象大致如下图: 显然函数f(x)的图象与y=a没有交点,不合题意; 综上可知,实数a的取值范围是(0,1]. 故选B. 7.答案　D 解析　由题意作出图形如图所示: 设|AF2|=m,又|AF1|+|AF2|=2a, 所以|AF1|=2a-|AF2|=2a-m, 又|BF1|+|BF2|=2a,|BF1|=a, 所以|BF2|=a,所以|AB|=a+m, 又因为|AF1|=|AB|, 所以a+m=2a-m,解得m=a, 所以|AF1|=2a-a=a, 在△AF1F2中,由余弦定理可得 cos∠AF2F1=, 在Rt△BF2O中,cos∠BF2F1=, 因为cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0, 所以+=0, 整理得12c2-4a2=0,所以=,解得e==.故选D. 8.答案　B 解析　f'(x)=cos x+3cos 2x+2=cos x+3(2cos2 x-1)+2=6cos2 x+cos x-1=0⇒(3cos x-1)(2cos x+1)=0,则cos x=或cos x=-. 如图,画出y=cos x图象, 结合图象可知在xi两侧附近f'(x)正负相反,可得极值点有8个. 则x1与x8;x4与x5;x2与x7;x3与x6互为相反数,因sin x+sin(-x)=0, 则sin xi=sin 2xi=0,又注意到xi=0, 则f(xi)=sin xi+sin 2xi+2xi-16=-16. 故选B. 9.答案　ABD 解析　当r>0时,变量正相关,所以>0,故A正确; 因为zi=yi-2(i=1,2,…,n),所以成对数据(xi,zi)对应点相当于把成对数据(xi,yi)对应的点向下平移2个单位,不改变变量的相关性,故B正确; 因为zi=2yi(i=1,2,…,n),则成对数据(xi,zi)对应点相当于把成对数据(xi,yi)对应的点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,故变量间的相关性不变,故C错误; 当zi=2yi(i=1,2,…,n), 由=可知,新的回归直线方程中斜率变为2,a'=2-2=2(-)=2,则成对数据(xi,zi)的经验回归方程=2x+2,故D正确. 故选ABD. 10.答案　BC 解析　由题意, △ABC的三个顶点坐标分别为A(3,4),B(-1,2),C(1,0), 在圆M:(x-a)2+y2=1中,M(a,0),半径R=|PM|=1, |AM|= =, A项,过A作圆M的切线,切点为P,如图所示, 因为AP⊥PM, 故在Rt△APM中,由勾股定理得, |AP|= = =, 故当a=3时,|AP|取最小值,|AP|min=,故A错误; B项,重心坐标G, 即G(1,2), AB所在直线l1:y-4=(x-3), 即y=x+, 线段AB的中点D(1,3), 所以AB的垂直平分线为:y=-2x+5, 同理可得,AC的垂直平分线为: y=-x+3, 解得: 故外心E, 又l过G(1,2)和E, 故l:y-2=(x-1),即y=x+1, 直线l被圆M截得的弦长为2,恰好为圆的直径, 故直线l过圆心, 所以M(-1,0),即a=-1,B正确; C项,∵圆M上有且只有两个点到l的距离都为1, ∴圆心M(a,0)到直线l:y=x+1的距离小于直径. ∴<2,解得:-2-1<a<2-1,故C正确; D项,由几何知识得, 圆上不可能有三个点到直线l的距离均为半径1,故D错误. 故选BC. 11.答案　ABD 解析　如下图所示: 图1 易知|OA|=|OB|=|OC|=4,由·=0可得OA⊥OB; 固定平面OAB,由二面角O-AB-C的大小为120°可知C为一个与平面OAB夹角为60°的平面与球O的交点(在AB的右侧), 如图1所示: 取AB的中点M,作OP⊥平面ABC,则有∠OMP=60°, 又易知|OM|=2,|PM|=,|OP|=,|AP|=, 如图2所示: 图2 C在劣弧上运动, 对于A,易知∠ACB=π-∠ADB=π-∠APM>,因此可得△ABC是钝角三角形,故A正确; 对于B,设直线OC与平面ABC所成的角为θ, 则tan θ====,为定值,故B正确; 对于C,如图2中,作CH⊥AB,C'为劣弧的中点, 易知三棱锥O-ABC的体积为 VO-ABC=S△ABC·|OP| =×|AB|·|CH|≤×4|C'M| =|C'M|=(-),故C错误; 对于D,设三棱锥O-ABC的外接球的球心为Q,如图3: 图3 由于P是△ABC的外心,则PQ⊥平面ABC,因此O,P,Q三点共线, 设|OQ|=r, 在△BPQ中由勾股定理可得(r-)2+()2=r2,解得r=; 因此三棱锥O-ABC的外接球的表面积为4πr2=4π×=π,故D正确. 故选ABD. 12.答案　 解析　因为f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),可得loga|-x-m|=loga|x-m|, 所以|-x-m|=|x-m|,所以-x-m=x-m或-x-m+x-m=0, 则2x=0(舍去)或m=0, 所以f(x)=loga|x|, 又f(-2)=2,所以2=loga|-2|,所以a2=2,又a>0,解得a=. 13.答案　 解析　每次均有4种不同的取法,故总的取法数有44=256种, 这列数中恰有3个不同整数,则必有一个数取了2次, 故这列数中恰有3个不同整数的取法数有×=144种, 故这列数中恰有3个不同整数的概率为=. 14.答案　2 解析　如图,以D点为原点,取AC中点为F,以DF所在直线为x轴, 以过D点,垂直于DF的直线为y轴,建立平面直角坐标系. 又AC=AD=4,∠CAD=60°. 则D(0,0),A(2,-2),B(x,y),C(2,2). 设AC与BD交于点E, 分别过C,A两点作DB垂线,垂足为G,H, 则===2. 又△AHE∽△CGE,则=2. 设E(x1,y1),则=, 则(x1-2,y1-2)=(0,-4)⇒E. 又B,E,D三点共线,则∥, 则x=2y⇒x=3y. 又AC==4 ⇒2(x-2)2+(y-2)2+(y+2)2=16 ⇒x2-4x+y2+8=0, 消x得7y2-9y+2=0⇒(y-1)(7y-2)=0, 则y=1或y=,又由图可得x>2⇒y=1,x=3,则B(3,1). 则DB==2. 15.解　(1)因为m·n=2(b+c), 所以asin C+acos C=b+c, 所以sin Asin C+sin Acos C=sin B+sin C, 所以sin Asin C+sin Acos C=sin Acos C+cos Asin C+sin C, 所以sin Asin C=sin C(cos A+1), ∵C∈(0,π),sin C≠0, ∴sin A-cos A=1, 即2sin=1, 又A∈(0,π),A-∈, 故A-=,即A=. (2)=2, 所以-=2(-), 则=+, 故||2= =++·, 又AB=c=2,AC=b,AM=2, 即||=2, 所以4=(2)2+b2+b· 2cos , 所以b2+b-6=0, 故b=或b=-2(舍), 故S△ABC=bcsin A=. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $