任意角和弧度制及三角函数的概念专项训练-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦任意角、弧度制及三角函数概念，通过分层题型构建从概念辨析到实际应用的知识逻辑链，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|题2,4,9|判断终边相同角、象限角等概念|从角的基本定义到概念辨析，培养推理能力| |象限角与终边|题1,3,15,16|终边位置判断及集合表示|基于任意角概念，发展几何直观与空间观念| |弧度制与扇形|题5,8,14,19|扇形周长、面积及圆台侧面展开|弧度制与几何量计算结合，体现模型观念| |三角函数定义|题6,7,18|由终边上点求三角函数值|从坐标定义到性质应用，构建知识应用链|

4.1 任意角和弧度制及三角函数的概念（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·阶段检测）的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】因为，所以的终边与的终边相同， 又的终边在第三象限，所以的终边在第三象限. 2．（25-26高一上·宁夏固原·期末）下列说法正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角一定是锐角 C．是第三象限角 D．角度制与弧度制不能互相转换 【答案】C 【分析】根据象限角的定义及终边相同的角，弧度制的概念判断可得. 【详解】对A：如与终边相同，但角不相等，故A错误； 对B：如，所以是第一象限角但不是锐角，故B错误； 对C：因为，所以是第三象限角，故C正确； 对D：角度制与弧度制能互相转换，故D错误. 故选：C. 3．（25-26高一下·上海宝山·阶段检测）点在第二象限，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据点所在象限得出且，再根据三角函数定义得出终边所在位置. 【详解】由题意， 则终边在轴下方，则终边在轴右侧， 所以终边在第四象限， 故选：D. 4．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 B．若是第二象限角，则也是第二象限角 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 【答案】D 【分析】结合任意角的概念、象限角的范围、终边相同的角的表示以及扇形的面积和弧长公式逐一验证各选项． 【详解】对于A，规定逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角， 时钟时针为顺时针旋转，每小时转过的角度为， 4小时转过的角度为，故A错误； 对于B，若为第二象限角，则， 所以，则是第一或第三象限角，故B错误； 对于C，终边落在直线上的角满足，故C错误； 对于D，若圆心角为的扇形的面积为， 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则， 由，故D正确． 5．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用扇形的周长公式和面积公式求解. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，圆心角所对的弧长为， 由题意可得，解得或，所以或. 6．（25-26高一上·山东泰安·期末）已知角的终边过点且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】角的终边过点且， 所以且，解得. 故选：B. 7．（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，， 故. 8．（25-26高一下·四川眉山·期末）折扇始于宋元、盛行于明清，寓向善之意，而扇面书画艺术于明清发展至巅峰．图1为故宫博物院藏明代文徵明的《兰花图》扇页，以金笺为底；水墨写意，格调高洁．若某扇页展开所得扇环恰为一圆台侧面展开图（图2），该扇环圆心角为，扇环外半径与内半径之差为，且圆台侧面积为，则圆台上底面半径与下底面半径之比为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设扇环内半径为，外半径为，圆心角， 扇环面积等于圆台侧面积：，则， 已知，则，即， 解得， 又， 故． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．是第四象限角 B．锐角一定是第一象限角 C．第二象限角大于第一象限的角 D．若角为第二象限角，那么为第一象限角 【答案】AB 【分析】结合象限角的定义逐一分析即可得. 【详解】，故是第四象限角，选项A正确； 锐角是第一象限角，故B正确； 第二象限角为， 第一象限角为， 故第二象限角不一定大于第一象限的角，故C错误； 若角为第二象限角，则， 故， 即可能为第一象限角也可能为第三象限角，故D错误. 故选：AB. 10．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用第四象限角的三角函数符号判断各选项. 【详解】因为是第四象限角，所以，，. A.，正确. B.，与矛盾，错误. C. 由平方关系知，在第四象限不等于，错误. D. 由且得，正确. 【点睛】第四象限：正弦负、余弦正、正切负；开方得绝对值. 11．（25-26高一下·辽宁大连·期中）下列结论正确的有（   ） A．是第三象限角 B．若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9 C．若，为第二象限角，且，则 D．与值域相同. 【答案】AB 【分析】根据终边相同的角可判断A项；利用扇形的弧长面积公式判断B项；举反例可判断C项；确定内层函数的值域，再结合外层三角函数的单调性分别求出两个函数的值域，可判断D项. 【详解】对于A，因，即与的终边相同，故是第三象限角，即A正确； 对于B，依题意，该扇形的弧长为，面积为，故B正确； 对于C ，举反例：取，，二者都是第二象限角，满足， 但，不满足，C错误； 对于D ，求值域：对：，因此，值域包含负数； 对：，因此，值域全为正数， 二者值域不同，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）抛物线的准线l与y轴交于P点，若l绕点以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转，则经过_______秒，l恰好与抛物线第一次相切． 【答案】 【分析】根据抛物线的方程，找出的值，进而得到其准线方程和的坐标，根据直线过点，设出直线l的斜率为时与抛物线相切，表示出此时直线l的方程，与抛物线联立，消去得到关于的一元二次方程，令根的判别式等于0列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，从而确定出直线的倾斜角，用求出的倾斜角除以角速度即可求出此时所用的时间． 【详解】根据抛物线的方程，得到， 所以此抛物线的准线方程为，坐标为. 令恒过点的直线与抛物线相切， 联立直线与抛物线，消去得：， 得到，即，解得：或， 由直线绕点逆时针旋转，不合题意，舍去，则， 此时直线的倾斜角为，且直线的角速度为每秒弧度， 所以直线恰与抛物线第一次相切，则. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据图形先求出终边在角的终边所在直线上的角的集合和终边在角的终边所在直线上的角的集合，从而可求出角的取值范围，进而可求得的取值范围 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是， 所以角的取值范围是， 故答案为： 14．（2026高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，若点P从出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是____. 【答案】 【分析】作出半径为的圆，过作轴于点，则，进而得出点Q的坐标． 【详解】如图，作出半径为的圆， 由题意，，， 过作轴于点，， 则， . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知． (1)把改写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求，使与终边相同，且． 【答案】(1)，第一象限角； (2)和. 【分析】（1）由题意，，根据角的相关概念，即可判断； （2）先根据终边相同的角的关系写出的表达式，再结合的取值范围确定的值，即可求出角. 【详解】（1）因为，又， 所以把写成的形式为， 它是第一象限角． （2）与终边相同的角为， 所以当，或时，，或，满足． 即得所求角为和． 16．（25-26高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】直接利用所给角，表示出范围即可. 【详解】图（1）中角x组成的集合为； 图（2）中角x组成的集合为 或 . 17．（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）已知 (1)把写成的形式，并指出它是第几象限角; (2)求，使与的终边相同，且； (3)已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为，若，，求扇形的弧长． 【答案】(1)；第三象限角 (2) (3) 【分析】（1）根据题中式子写出的分解式，利用终边相同的概念判断象限角； （2）令，根据其变化趋势给赋值即可； （3）将角度化为弧度制，再利用弧长公式计算. 【详解】（1）， 因是第三象限角，则是第三象限角； （2）因与终边相同，与终边相同，则， 因的值随着的增大而增大，且时；时； 时；时， 则满足题意的有； （3）因，则， 则扇形的弧长为. 18．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合. (1)若终边上有一点，求； (2)若角的终边上一点（）求及； (3)点在角的终边上，且，求t的值. 【答案】(1) (2)；当时，；当时， (3) 【详解】（1）由终边上有一点，得. （2）由角的终边上一点，得； 当时，，； 当时，，. （3）由点在角的终边上，得，， 而，则， 整理得且，所以. 19．（25-26高一下·河南南阳·期中）已知扇形的圆心角的弧度为，面积为4． (1)若该扇形的弧长为4，求的值． (2)当多大时，扇形的周长取最小值？并求出该最小值． 【答案】(1) (2)当为2时，扇形的周长取最小值，最小值为8 【分析】（1）利用弧长公式结合扇形面积公式求解； （2）利用扇形面积表示弧长，结合基本不等式求解． 【详解】（1）设扇形所在圆的半径为，则弧长， 扇形的面积， 解得，． （2）扇形的面积，即， 则扇形的周长， 当且仅当时，等号成立，此时， 由得， 故当为2时，扇形的周长取最小值，最小值为8． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 任意角和弧度制及三角函数的概念（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·阶段检测）的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26高一上·宁夏固原·期末）下列说法正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角一定是锐角 C．是第三象限角 D．角度制与弧度制不能互相转换 3．（25-26高一下·上海宝山·阶段检测）点在第二象限，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 B．若是第二象限角，则也是第二象限角 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 5．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 6．（25-26高一上·山东泰安·期末）已知角的终边过点且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 7．（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·四川眉山·期末）折扇始于宋元、盛行于明清，寓向善之意，而扇面书画艺术于明清发展至巅峰．图1为故宫博物院藏明代文徵明的《兰花图》扇页，以金笺为底；水墨写意，格调高洁．若某扇页展开所得扇环恰为一圆台侧面展开图（图2），该扇环圆心角为，扇环外半径与内半径之差为，且圆台侧面积为，则圆台上底面半径与下底面半径之比为（     ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．是第四象限角 B．锐角一定是第一象限角 C．第二象限角大于第一象限的角 D．若角为第二象限角，那么为第一象限角 10．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·辽宁大连·期中）下列结论正确的有（   ） A．是第三象限角 B．若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9 C．若，为第二象限角，且，则 D．与值域相同. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）抛物线的准线l与y轴交于P点，若l绕点以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转，则经过_______秒，l恰好与抛物线第一次相切． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是________． 14．（2026高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，若点P从出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知． (1)把改写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求，使与终边相同，且． 16．（25-26高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 17．（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）已知 (1)把写成的形式，并指出它是第几象限角; (2)求，使与的终边相同，且； (3)已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为，若，，求扇形的弧长． 18．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合. (1)若终边上有一点，求； (2)若角的终边上一点（）求及； (3)点在角的终边上，且，求t的值. 19．（25-26高一下·河南南阳·期中）已知扇形的圆心角的弧度为，面积为4． (1)若该扇形的弧长为4，求的值． (2)当多大时，扇形的周长取最小值？并求出该最小值． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $