4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（全国通用）【4大考点】-2027年高考数学一轮复习专题训练

**基本信息** 聚焦三角函数概念基础，以考点为纲系统覆盖任意角、扇形问题、三角函数定义及符号判断，通过基础辨析与综合应用结合，培养数学抽象与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |任意角的相关概念|8题（含多选、终边范围题）|概念辨析与终边表示|从角的定义到象限角、终边相同角，构建角的分类体系| |扇形的弧长和面积问题|8题（含实际应用、最值题）|公式应用与几何计算|衔接弧度制与扇形公式，体现几何直观与运算能力| |任意角的三角函数的定义|8题（含坐标运算、旋转题）|坐标化定义应用|从终边上点坐标到三角函数值，建立代数与几何联系| |各象限角三角函数值的符号|8题（含符号判断、象限判定）|符号规律辨析|基于三角函数定义推导符号分布，强化逻辑推理|

4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念 4大考点汇总 考点01 任意角的相关概念 考点02 扇形的弧长和面积问题 考点03 任意角的三角函数的定义 考点04 各象限角三角函数值的符号 题型专练 考点01 任意角的相关概念 1．下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【答案】A 【分析】通过举反例否定B，C，D，证明A． 【详解】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 2．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 【答案】D 【详解】选项A.是第一象限角，是第二象限角，但是，错误. 选项B.，但它不是锐角，错误. 选项C.终边相同的角相差的整数倍，不一定相等，错误. 选项D.终边在轴非负半轴上的角，就是加上的整数倍，集合表示为，正确. 3．已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 【答案】 【分析】根据题意，可得出在范围内，终边落在阴影内的角为或；结合周期性进行化简，即可得出答案. 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角为或， 所以终边落在阴影所表示的范围内的角的集合为 . 4．（1）若角的终边与角的终边相同，则在内终边与角的终边相同的角为______. （2）如果是第三象限的角，则角的终边所在位置是__________，角的终边所在位置是______. 【答案】 ，， 第二象限 第一、二象限及y轴的非负半轴 【详解】（1）由题意得，∴. 令，则，， ∴，即在内终边与相同的角为，，. （2）由是第三象限的角，得，， ∴，∴角的终边在第二象限. 由，得， ∴角的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴. 5．（多选）以下表示第四象限角的集合．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】确定第四象限在一个周期内的基础开区间（如270°到360°或到 0°），再给两端加上360°的整数倍以涵盖所有同终边的角即可求解. 【详解】A选项仅仅表示了在范围内的那一部分第四象限角，并没有包含所有终边相同的角， 缺少了周期，表示不完整，故A错误， B选项包含了轴线角，故B错误， C选项以为基础区间，加上周期即表示所有第四象限角，故C正确， D选项以为基础区间，加上周期即表示所有第四象限角，故D正确. 6．若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 【答案】A 【分析】结合三角函数性质可得范围，即可得范围，即可得解. 【详解】由，，则是第三象限角， 即， 所以， 当，即为偶数时， ，此时是第二象限角； 当，即为奇数时， ，此时是第四象限角； 综上是第二或第四象限角. 7．设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】由是第三象限角推断是第二或第四象限角，结合即可判断所在象限. 【详解】因是第三象限角，则， 所以， 当时，，即是第二象限角； 当时，，即是第四象限角. 又由可知， 所以是第二象限角. 8．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先将角度转化为弧度，， 所以终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为. 考点02 扇形的弧长和面积问题 9．已知扇形的圆心角为2弧度，扇形的弧长为8，则扇形的面积为__________． 【答案】 16 【详解】扇形的圆心角弧度数，弧长． 根据弧长公式，解得扇形半径． 代入扇形面积公式，可得． 10．如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是________    【答案】 【分析】设扇形的圆心角为，小扇形半径为，根据弧长公式建立方程组求出半径和圆心角，再利用扇形面积公式作差求解． 【详解】设扇形的圆心角为，小扇形的半径为，则大扇形的半径为． 依题意得 ， 两式相减得，解得． 将代入，解得，则． 所以阴影部分的面积 ． 11．扇形的圆心角是，半径是，则扇形的面积是_________． 【答案】/ 【详解】扇形的面积为． 12．扇面是中国书画作品的一种重要表现形式如图，图为其结构简化图设扇面，间的圆弧长为，，间的弦长为，圆弧所对的圆心角为，则，和所满足的关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接，取的中点为，连接， 由题意可得，，， 设，在 中，，  又，   所以由可得， 即 .      13．如下图，已知是圆心角为的扇形，是扇形弧上的点，四边形是扇形的内接矩形，其中，，则扇形的面积为______． 【答案】 【分析】先根据正切函数的定义求出，再根据勾股定理求出扇形半径，进而根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】在矩形中，有，，且， 则在中，，所以，解得， 所以在中，，所以， 即扇形半径的平方为， 所以扇形的面积为． 14．已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)圆心角，面积的最大值为. 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用扇形的周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， ∴扇形的弧长； （2）由已知得，，所以，因为，所以， 所以扇形的面积，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，圆心角. 15．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若，，求扇形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形面积公式求解； （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）． （2）． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 16．已知角终边上一点， (1)求、的值； (2)化简并求值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解； （2）根据诱导公式，及两角差的余弦公式即可化简求值． 【详解】（1）由角终边上一点，则，． （2）． 考点03 任意角的三角函数的定义 17．若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得：， 所以，解得. 18．平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】由题设，同理， 所以. 19．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得. 20．为坐标原点，角θ的终边经过点，且，则的单位向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点到原点的距离为，则， 由任意角的正弦函数定义，得， 又已知，故. 因为，解得，则得，故向量， 则，故的单位向量为. 21．已知角的终边经过点A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，若点B的坐标为，则点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义设出的坐标，通过旋转得到的坐标，结合列方程组求解. 【详解】由题知，，可设， 由题知，向量绕点逆时针旋转得到， 则，展开得， 解得，则的横坐标为. 22．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第二象限且与单位圆交于点，则__________. 【答案】 【分析】分析可知，根据同角三角函数关系运算求解即可，注意判断三角函数值的符号. 【详解】因为角的终边与单位圆交于点，则， 因为角为第二象限角，所以. 23．已知角的终边经过点，且，则m的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式及三角函数的定义列方程求解即可． 【详解】由角的终边经过点， 则，， 整理得，， 解得或（舍去）， 所以m的值为． 24．已知角，的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，、，角的终边与单位圆交点的横坐标为，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，利用同角三角函数关系求出答案； （2）根据条件推得，结合的符号，得到，求出的值，最后进行拆角，利用差角的余弦公式计算即得. 【详解】（1）由题意，，因，则 ； （2）由，，可得， 又，则， 又因，则， 故， 于是 . 考点04 各象限角三角函数值的符号 25．点在第三象限，则角终边在第二象限.( ) 【答案】正确 【分析】根据三角函数在各个象限的符号进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于点在第三象限， 所以，所以在第二象限， 所以命题正确. 26．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（    ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 【答案】B 【分析】由三角函数式的符号确定角的范围或象限. 【详解】当角的终边不在坐标轴上时，， 所以，所以只需， 又因为，要使， 所以只需，所以角的终边在第二象限或第三象限. 27．已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【详解】由象限角的三角函数符号可知， ，角的终边在第二或第四象限， ，角的终边在第一或第二象限， 综上可知当时，角的终边所在的象限为第二象限. 28．已知平面直角坐标系中点位于第三象限，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，进而确定角所在象限. 【详解】由点位于第三象限，得， 由，得角是第二、四象限角；由，得角终边在轴下方， 所以角为第四象限角. 29．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用同角三角函数关系结合三角函数的正负计算即可. 【详解】因为所以 又因为，所以, 因为，所以，所以. 故选：C. 30．（多选）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据三角函数定义求出、和，结合二倍角公式直接计算判断A和B，通过角的范围可以判断角的终边位于第一象限或第三象限，进而得到或进而判断C，通过并结合正切二倍角公式判断D. 【详解】因为角的终边过点， 所以，，， 所以， ，故A和B正确， 因为， 所以，即角的终边位于第一象限或第三象限， 所以，但或均满足题意，故C错误， 由，得， 解得（舍去）或，故D正确. 故选：ABD 31．若，则为（    ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【答案】B 【详解】由题知，， 若是第一象限角，则，，故，不满足题意； 若是第二象限角，则，，故，满足题意； 若是第三象限角，则，，故，满足题意； 若是第四象限角，则，，故，不满足题意. 综上，为第二或第三象限角. 故选:B. 32．（多选）角为第三象限角的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据三角函数值在各象限的符号即可判断． 【详解】若，则角为第二、三象限角； 若，则角为第三、四象限角； 若，则角为第一、四象限角； 若，则角为第一、三象限角； 由题可知，满足角为第三象限角的必要不充分条件是ABD． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念 4大考点汇总 考点01 任意角的相关概念 考点02 扇形的弧长和面积问题 考点03 任意角的三角函数的定义 考点04 各象限角三角函数值的符号 题型专练 考点01 任意角的相关概念 1．下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 2．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 3．已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 4．（1）若角的终边与角的终边相同，则在内终边与角的终边相同的角为______. （2）如果是第三象限的角，则角的终边所在位置是__________，角的终边所在位置是______. 5．（多选）以下表示第四象限角的集合．正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 7．设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 8．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（   ） A． B． C． D． 考点02 扇形的弧长和面积问题 9．已知扇形的圆心角为2弧度，扇形的弧长为8，则扇形的面积为__________． 10．如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是________    11．扇形的圆心角是，半径是，则扇形的面积是_________． 12．扇面是中国书画作品的一种重要表现形式如图，图为其结构简化图设扇面，间的圆弧长为，，间的弦长为，圆弧所对的圆心角为，则，和所满足的关系为（    ）    A． B． C． D． 13．如下图，已知是圆心角为的扇形，是扇形弧上的点，四边形是扇形的内接矩形，其中，，则扇形的面积为______． 14．已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 15．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若，，求扇形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 16．已知角终边上一点， (1)求、的值； (2)化简并求值． 考点03 任意角的三角函数的定义 17．若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 18．平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D． 19．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 20．为坐标原点，角θ的终边经过点，且，则的单位向量为（   ） A． B． C． D． 21．已知角的终边经过点A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，若点B的坐标为，则点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 22．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第二象限且与单位圆交于点，则__________. 23．已知角的终边经过点，且，则m的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 24．已知角，的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，、，角的终边与单位圆交点的横坐标为，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，求： (1)的值； (2)的值． 考点04 各象限角三角函数值的符号 25．点在第三象限，则角终边在第二象限.( ) 26．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（    ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 27．已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 28．已知平面直角坐标系中点位于第三象限，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 29．若，，则（   ） A． B． C． D． 30．（多选）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 31．若，则为（    ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 32．（多选）角为第三象限角的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $