三角函数的图象与性质专项训练-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦三角函数图象与性质核心考点，通过分层题型构建从概念辨析到综合应用的逻辑训练体系，强化数学眼光下的几何直观与数学思维中的推理运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |周期与对称性|选择1-2、5-6、多选9-11|判断周期、对称中心/轴，结合图象变换|从周期公式推导到对称性代数表达，构建“定义-公式-几何特征”逻辑链| |单调性与最值|选择3-4、填空12、解答16(2)(3)|求解单调区间、最值，含参数范围问题|以复合函数单调性法则为核心，关联定义域与三角函数性质的应用| |图象变换与参数|填空13-14、解答15(1)、19(1)(3)|平移伸缩变换、由性质求参数|遵循“变换规则-新函数性质-参数方程建立”推导路径，体现数学语言的精确表达| |综合应用|解答17-18|零点问题、不等式求解、存在性问题|整合多性质（单调性、最值、对称性），培养数学思维的系统性与问题转化能力|

4.5 三角函数的图象与性质（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一上·河北·期末）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（   ） A．①②④ B．①②③ C．②④ D．③④ 2．（2026·天津武清·模拟预测）若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心可以是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·山东东营·期末）已知函数，则函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D．1 4．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·河北承德·期末）已知函数，则下列关于该函数图象的对称性描述正确的是（    ） A．该函数图象关于直线对称 B．该函数图象关于直线对称 C．该函数图象关于点对称 D．该函数图象关于点对称 6．（2026·山东威海·一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且，，则（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·广西钦州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递增 D．若，则 10．（25-26高一下·河北承德·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度，可得到的图象 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最大值与最小值的乘积为 11．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（   ） A．若的一个对称中心为，则 B．若为偶函数，则 C．若在区间内有三个零点，则 D．若在区间上单调递增，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为________． 13．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知，将的图象向左平移个单位长度得到函数，且为奇函数，同时在上单调递减，则______． 14．（25-26高二下·广东汕头·期末）已知函数（）在区间上恰有两个零点和两个最大值点，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知函数， (1)用五点法作出在一个周期上的图象； (2)根据函数图象，求不等式的解集. 16．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知函数，． (1)求的最小正周期和对称中心； (2)求在区间内的单调递减区间； (3)当时，求的最大值及最小值及相应的取值． 17．（25-26高一下·北京·期末）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集. 18．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 19．（25-26高二下·天津河东·期末）已知函数的最小正周期为，函数的图象关于直线对称． (1)求，的值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设函数，若，，，求实数的取值范围． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 三角函数的图象与性质（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一上·河北·期末）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（   ） A．①②④ B．①②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】通过取特值法验证函数的周期排除①；利用图象的翻折规律判断②；根据诱导公式和余弦型函数的周期性公式计算判断③；利用正切型函数的周期公式计算判断④. 【详解】对于①，设，因， ，显然，故不合题意； 对于②，因的最小正周期为， 函数的图象可由的图象在轴下方的图象向上翻折（原先在轴上方的图象不变）得到，故其周期变为原来的一半，即，故符合题意； 对于③，因为，故函数的最小正周期为，故不合题意； 对于④，因函数的最小正周期为，故函数的最小正周期为，符合题意. 故最小正周期为的所有函数的序号为②④. 故选：C. 2．（2026·天津武清·模拟预测）若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由最小正周期可得，据此可得对称中心，然后验证选项可得答案. 【详解】因最小正周期为，则，结合，可得. 则，其对称中心横坐标满足， 所以对称中心可为：. 选项A：令，得，不符合； 选项B：令，得，不符合； 选项C：令，得，不符合； 选项D：令，得，符合要求. 3．（25-26高二下·山东东营·期末）已知函数，则函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先使用二倍角公式化简，再使用辅助角公式合并为正弦型函数，最后求出函数在上的最小值. 【详解】 所以，， 由，得，故 所以，函数在上的最小值为. 4．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 所以单调递减区间为，解得，. 5．（25-26高一下·河北承德·期末）已知函数，则下列关于该函数图象的对称性描述正确的是（    ） A．该函数图象关于直线对称 B．该函数图象关于直线对称 C．该函数图象关于点对称 D．该函数图象关于点对称 【答案】A 【详解】令，其中，所以，当时，，的图像关于直线对称，故A正确； 因为无整数解，故直线不是函数图像的对称轴，故B错误； 令，其中，所以，因为无整数解，故点不是函数图像的对称中心，同理也不是函数图像的对称中心.故CD错误. 6．（2026·山东威海·一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得平移后的函数解析式，再结合对称中心求解即可. 【详解】函数图象上的所有点向左平移个单位得： ，此函数图象关于点中心对称， 所以，即， 因为，所以，. 故选：C 7．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得的最小正周期，进而可以得出1，2或3，结合进行分类讨论，即可求出的值. 【详解】解：由题知的最小正周期， 因为，所以直线为图象的一条对称轴， 由，则，又为正整数，所以1，2或3， 因为直线为图象的对称轴，所以， 因为，所以或， 若，则， 即，不存在整数使得1，2或3； 若，则， 即，不存在整数，使得1或3， 当时，2，此时，由， 所以当时，. 8．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得的图象关于点对称，关于直线对称，通过在上单调递减可得点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴，可算出. 【详解】的图象关于点对称， 又当时，取得最值，即的图象关于直线对称， 又在上单调递减，， 点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴， 设的最小正周期为，则. ，又的图象关于点对称，且在上单调递减， 由正弦函数的性质，， 时，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·广西钦州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递增 D．若，则 【答案】ABD 【分析】化简的解析式，得，然后根据三角函数的周期性、单调性、对称性等知识判断ABC，利用诱导公式和二倍角公式判断D. 【详解】函数 ， 所以最小正周期为，A正确； ， 故的图象关于点对称，B正确； 当，则， 由于正弦函数在单调递减，故在上单调递减， 正弦函数在单调递增，故在上单调递增， 即在区间上不单调，C错误； 由，即， 则，D正确. 10．（25-26高一下·河北承德·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度，可得到的图象 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最大值与最小值的乘积为 【答案】BCD 【分析】结合正切函数的周期、图象平移规则、单调区间、最值计算等知识点逐一判断选项. 【详解】选项A：函数的最小正周期为，A错误； 选项B：将的横坐标缩短为原来的，得到； 再向右平移个单位，得到，即的图象，B正确； 选项C：当，则. 因为函数在单调递增，所以在区间上单调递增，C正确； 选项D：当时，，在该区间单调递增， 因此最小值为，最大值为，则乘积为，D正确. 11．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（   ） A．若的一个对称中心为，则 B．若为偶函数，则 C．若在区间内有三个零点，则 D．若在区间上单调递增，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据辅助角公式及正弦型函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】. 由题意知，则，又，则，所以， 故. 对于A，若的一个对称中心为， 则， 可得，，所以，. 又，所以，A错误. 对于B，若为偶函数，则，， 所以，， 又，所以，B正确. 对于C，当时，， 且区间的长度为， 若在区间内有三个零点，则，，则，， 又因为，故，C正确. 对于D，当时，， 因为，所以， 若在上单调递增，则， 即，解得，故的最大值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】先利用辅助角公式化简，再结合正弦函数的单调性可得出关于的不等式求解. 【详解】， 若，则且，得， 因为在区间上单调递增，所以，得， 故的取值范围为 13．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知，将的图象向左平移个单位长度得到函数，且为奇函数，同时在上单调递减，则______． 【答案】或 【分析】利用奇函数条件确定相位偏移，再结合单调递减确定符号及的取值范围，最后分类讨论得到两组可能的. 【详解】由题意，得，因为为奇函数，则， 此时. 因为在上单调递减，故，且，故. 又因为，所以或2，因为，故. 当时，，因为，所以. 当时，，因为，所以，综上，或． 14．（25-26高二下·广东汕头·期末）已知函数（）在区间上恰有两个零点和两个最大值点，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用二倍角与辅助角公式将函数化为正弦型，换元后根据零点与最大值点分别对应正弦取与，按给定区间内恰有两次出现建立端点的限制不等式，取交集得参数范围. 【详解】利用二倍角公式和辅助角公式化简得 ， 当，时，令，则. 题目要求恰有两个零点，恰有两个最大值点. 零点满足，即，的解为， 要恰有2个解，需，解得. 最大值点满足，的解为， 要恰有2个解，需，解得. 两个范围的交集为，即的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知函数， (1)用五点法作出在一个周期上的图象； (2)根据函数图象，求不等式的解集. 【答案】(1)列表如下： 作出函数在一个周期上的图象如下图所示： (2) 【分析】（1）根据列表、描点、连线，可作出函数在一个周期内的图象： （2）由可得，解之即可. 【详解】（1）略 （2）由可得，解得， 故不等式的解集为. 16．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知函数，． (1)求的最小正周期和对称中心； (2)求在区间内的单调递减区间； (3)当时，求的最大值及最小值及相应的取值． 【答案】(1)，， (2)， (3)当时，最大值为；当时，最小值为 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数的最小正周期，令，，进而计算可得到函数的对称中心； （2）根据题意，求得，结合正弦函数的单调性，进而求得的单调递减区间； （3）根据题意，求得，结合正弦函数的性质，即可求得函数的最值及相应的取值. 【详解】（1）由函数， 可得函数的最小正周期为， 令，，解得，， 所以函数的对称中心为， （2）由，可得， 令，可得； 令，可得， 所以函数的单调递减区间为，． （3）由，可得， 当时，即时，函数取得最大值，最大值为； 当时，即时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为． 17．（25-26高一下·北京·期末）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式得到，再结合正弦函数单调区间即可求解； （2）由即可求解； （3）不等式转换成，结合正弦函数的单调性即可求解. 【详解】（1）化简函数： 令 ，解得 ，， 函数的单调递减区间是； （2）由 时，， 则，. 存在 使 成立，等价于 ， 故 . （3）， 不等式化为 ，即 . 解得 ，即 ，， 故不等式的解集是. 18．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简函数，代入求出的解析式，采用换元法，结合正弦函数的性质求函数在上的值域； （2）解方程，用换元法转化为，求出的解，利用函数在上恰有2个零点构造不等式求出实数的取值范围． 【详解】（1）， 当时，，令， 由得，故， 所以， 即函数在上的值域为． （2）令，则，即， 设，当时，， 满足的解满足或， 前3个解依次是：， 已知函数在上恰有2个零点，则， 解得，故实数的取值范围是． 19．（25-26高二下·天津河东·期末）已知函数的最小正周期为，函数的图象关于直线对称． (1)求，的值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设函数，若，，，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦函数的图象性质求解. （2）由（1）求出，再利用正弦函数单调性列出不等式求解. （3）分别求出在给定区间上函数的最大值和的最小值，再利用恒成立不等式列式求出的范围. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，因此， 由函数的图象关于直线对称，得，而， 所以. （2）由（1）得，由，得， 由，得；由，得， 所以当时，的单调递增区间是. （3）将的图象向左平移个单位长度，得函数， 当时，，，因此； 由，恒成立，得， 函数，由，得， 当时，，则，解得，因此； 当时，，则，解得，因此； 当时，，则，解得，因此， 所以实数的取值范围为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $