重点强化练(六) 三角函数的图象与性质专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数图象与性质，通过基础应用、综合判断及参数计算，系统覆盖定义域、单调性、周期性等核心考点，以题载法强化逻辑推理与直观想象。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质应用|单选1-5|定义域、对称中心、单调性等基础判断|从三角函数定义出发，结合图象特征推导性质| |图象变换与参数|单选3、7、8|平移伸缩变换、参数ω/φ求解|以图象变换规律为核心，关联周期与对称性| |综合性质判断|多选9-11|周期、对称中心、单调性综合辨析|整合奇偶性、对称性与单调性，构建性质网络| |方程与零点问题|填空12-14|参数方程、零点个数及取值范围|运用函数与方程思想，结合图象解决交点问题|

重点强化练(六) 三角函数的图象与性质 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.[2025·四川绵阳中学模拟] y=lg(tan x-1)的定义域为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 2.函数y=sin的图象的一个对称中心的是 (　 ) A. B.(0,0) C. D. 3.把函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度,再把所得图象的横坐标缩短为原来的一半,得到g(x)的图象,则g(x)= (　 ) A.cos 4x B. -cos x C. -cos 4x D. -sin x 4.[2025·衡水中学月考] 下列函数中在上单调递增,周期为π,且为奇函数的是 (　 ) A.y=cos B.y=sin 2x C.y=tan x D.y=sin 5.[2025·内蒙古呼和浩特质检] 当x∈[0,2π]时,曲线y=cos x与y=2sin的交点个数为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.6 6.已知函数f(x)=sin x+acos x,且f(x)=f,则函数g(x)=asin x+cos x的图象的一条对称轴方程可以为 (　 ) A.x= B.x= C.x= D.x=π 7.[2024·广州二模] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后所得曲线关于y轴对称,则θ的最小值为 (　 ) A. B. C. D. 8.[2024·河南南阳模拟] 若函数f(x)=cos(ωx+φ)的图象关于点中心对称,且x=-是f(x)的极值点,f(x)在区间内有唯一的极大值点,则ω的最大值为 (　 ) A.8 B.7 C. D. 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.[2024·湖南邵阳二联] 已知函数f(x)=sin 3x+cos 3x+,则下列结论正确的有 (　 ) A.f(x)的最小正周期为 B.f(x)的图象关于点对称 C.f(x)的图象关于直线x=对称 D.f(x)在区间上单调递减 10.[2025·武汉调研] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示,则 (　 ) A.φ= B.ω=2 C.f(x)的图象关于直线x=对称 D.f(x)在上的取值范围为[-2,1] 11.[2025·湖北黄冈调研] 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点A(0,1)和B(x0,-2)(x0>0),且满足|AB|min=,则下列结论正确的是 (　 ) A.φ= B.ω= C.当x∈时,函数f(x)的取值范围为[0,1] D.函数y=x-f(x)有三个零点 三、填空题:本题共3小题. 12.已知函数f(x)=sin+|x-2|的图象关于直线x=2对称,则φ可以为　　　　.(写出一个符合条件的φ值即可)  13.[2024·安徽芜湖二模] 已知偶函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于点中心对称,且在区间上单调,则ω=　　　　.  14.[2024·江西重点中学盟校二联] 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象在y轴上的截距为,在y轴右侧的第一个零点为,当x∈时,若方程f(x)=a恰有三个不同的根,分别记为x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围为　　　　.  参考答案 重点强化练(六) 1.A　[解析] 令y=lg t,t=tan x-1,函数t=tan x-1的定义域为,函数y=lg t的定义域为t>0,则tan x-1>0,即,所以y=lg(tan x-1)的定义域为,故选A. 2.D　[解析] 令sin=0,则2x+=kπ,k∈Z,即x=-+,k∈Z,当k=1时,x=,所以其中一个对称中心为,故选D. 3.A　[解析] f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin 2=sin=cos 2x的图象,再把所得图象的横坐标缩短为原来的一半,得到g(x)=cos 4x的图象,故选A. 4.A　[解析] 对于选项A,因为y=cos=-sin 2x,所以其为奇函数,其最小正周期T==π,若x∈,则2x∈,且y=sin x在上单调递减,则y=sin 2x在上单调递减,所以y=-sin 2x在上单调递增,故A正确;对于选项B,由选项A可知y=sin 2x在上单调递减,故B错误;对于选项C,y=tan x在x=处无意义,故C错误;对于选项D,y=sin=cos 2x,若x∈,则2x∈,因为y=cos x在上单调递减,所以y=cos 2x在上单调递减,故D错误.故选A. 5.C　[解析] 当x=0时,y=2sin=,令2x+=,得x=,此时y=2sin=2,令2x+=π,得x=,此时y=2sin=0,令2x+=,得x=,此时y=2sin=-2,令2x+=2π,得x=,此时y=2sin=0,当x=π时,y=2sin=2sin=,函数y=2sin的周期T==π.结合周期,利用五点法作出y=cos x和y=2sin在[0,2π]上的图象,由图知,共有4个交点.故选C. 6.B　[解析] 由题设有f(x)=f,且可知f(x)=g,所以f=g,故g=g,所以g(x)的图象的一条对称轴方程为x==-.又g(x)的周期为2π,所以其图象的一条对称轴方程可以为x=-+2π=.故选B. 7.A　[解析] 由f=1,得sin=,结合图象可知ω+φ=+2kπ,k∈Z.由f=0,结合图象可知ω+φ=π+2kπ,k∈Z,所以ω=2,φ=-+2kπ,k∈Z,而|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin.将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后,得到y=sin的图象,则-2θ-=-kπ,k∈Z,因此θ=-+,k∈Z,而θ>0,所以当k=1时,θ取得最小值.故选A. 8.C　[解析] 由函数f(x)的图象关于点中心对称,且x=-是f(x)的极值点,可得 (k1,k2∈Z),即(k,k'∈Z),其中k=k1-k2,k'=k1+k2=2k1-k,k,k',k1,k2∈Z.因为|φ|≤,当k'=-1时,φ=-,k=2k1+1,k1∈Z,当k'=0时,φ=,k=2k1,k1∈Z.因为f(x)在区间内有唯一的极大值点,所以-0=≤2T=,解得0<ω≤10,即0<≤10,所以-<k≤.当k=6时,ω=,φ=,此时x+∈,此时f(x)有两个极大值点,舍去;当k=5时,ω=,φ=-,此时x-∈,此时f(x)有两个极大值点,舍去;当k=4时,ω=,φ=,此时x+∈,此时f(x)有一个极大值点.所以ω的最大值为.故选C. 9.ACD　[解析] f(x)=sin 3x+cos 3x+=2sin+.对于A, f(x)的最小正周期为,故A正确;对于B, f=2sin+=,故B错误;对于C,f=2sin+=2+为函数最大值,故C正确;对于D,若 x∈,则3x+∈,故f(x)在区间上单调递减,故D正确.故选ACD. 10.BC　[解析] 由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象可知A=2,又因为f(0)=2sin(ω×0+φ)=1,即sin φ=,φ∈(0,2π),所以结合函数的图象可得φ=,故A错误;f=2sin=0,即sin=0,结合函数图象可得ω+=π,所以ω=2,故B正确;f(x)=2sin,当x=时,f=2sin=2sin=-2,所以f(x)的图象关于直线x=对称,故C正确;当x∈时,2x+∈,所以sin∈,即f(x)=2sin∈[-2,],故D错误.故选BC. 11.AD　[解析] 对于A选项,把点A(0,1)的坐标代入得2sin φ=1,则sin φ=,因为|φ|<,所以φ=,A正确;对于B选项,B(x0,-2)(x0>0)为函数图象的最低点,|AB|min=,故=,解得x0=2(负值舍去),则T<2<T,其中T=,故<ω<,又2sin=-2,即sin=-1,由<2ω+<,得2ω+=,解得ω=,B错误;对于C选项,f(x)=2sin,当x∈时,x+∈,故sin∈[0,1],故f(x)=2sin∈[0,2],C错误;对于D选项,画出y=f(x)与y=x的函数图象,如图,两函数图象有三个交点,故y=x-f(x)有三个零点,D正确.故选AD. 12.-(答案不唯一)　[解析] 函数y=|x-2|的图象关于直线x=2对称,则只需y=sin的图象关于直线x=2对称即可,所以+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=-+kπ(k∈Z),令k=0,可得φ=-. 13.　[解析] 因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)为偶函数,所以φ=kπ+,k∈Z,即f(x)=cos ωx或f(x)=-cos ωx.又f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于点中心对称,所以cosω=0,即ω=kπ+,k∈Z,所以ω=3k+,k∈Z.因为f(x)在上单调,所以T≥,即≥,所以0<ω≤4,所以当k=0时,ω=,符合条件. 14.　[解析] 将(0,)代入f(x)=2sin(ωx+φ)得sin φ=,又0≤φ≤,所以φ=.因为在y轴右侧的第一个零点为,所以结合题意可得ω×+=π,解得ω=2,所以f(x)=2sin.令2x+=t,由x∈可得t∈,依题可知方程2sin t=a,t∈恰有三个不同的根,设其分别为t1,t2,t3,且ti=2xi+(i=1,2,3),画出y=a与y=2sin t在上的图象,如图.由图易知t1,t2关于直线t=对称,则t1+t2=π.由图知t3∈,则t1+t2+t3∈,又t1+t2+t3=2(x1+x2+x3)+,所以≤2(x1+x2+x3)+<,解得≤x1+x2+x3<,故x1+x2+x3的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $