2.1等式性质与不等式性质导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦等式与不等式性质，通过类比等式性质及其思想方法导入，构建从等式到不等式的知识支架，引导学生探究不等式基本性质，明确共性与差异，为后续学习奠定基础。 资料突出类比思维与逻辑推理，结合作差作商法比较大小、实际问题转化等，培养学生数学思维与模型意识，习题涵盖选择、证明及应用场景，巩固提升部分强化知识迁移，助力学生形成抽象能力，提升解决问题的能力。

第六讲 等式性质与不等式性质 【学习目标】1.类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质． 2.熟记并应有不等式的性质． 3.会利用不等式的性质证明简单的不等式． 【学习重点】不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异． 【学习难点】类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异． 题型一、不等式的基本性质 知识点 1：不等式基本性质 1.同向可加性：； 2.同正同向可乘：； 3.乘除负数变号：； 4.举反例、特值法快速排除错误选项； 5.幂函数单调性辅助判断大小。 1．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）若，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知，则下列不等式正确的是（        ） A． B． C． D． 4．如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．若，，那么下列不等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 知识点 2：作差法、作商法比较两式大小 作差法：；； 作商法（）：； 6．设，，当时，求证：． 【分析】利用作差法可得，分析可知与同号，可得，即可得结果. 7．，，，则，，，由大到小的顺序是________． 8．（1）作差法：_______，，_____ （2）作商法：_______，，____ 9．比较下列两式大小. (1)与； (2)时，与. 题型二：解分式不等式 分式不等式等价于，分母不为 0； 10．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型三、用不等式表示实际不等关系 1.不小于：；不高于 、不超过：；小于且不小于：； 2.生活场景（身高、收入、黄金分割比例）文字转不等式； 3.销售利润问题：根据售价、销量列利润不等关系式，附带自变量取值范围。 11．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 12．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 13．下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 题型四、常用逻辑用语：充分、必要条件（结合不等式）： 1.若，则是充分条件；若，则是必要条件； 2.小范围推大范围；举反例判断单向推导是否成立； 3.结合不等式大小关系判断条件类型。 14．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．已知，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 巩固提升： 1．已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（多选）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 5．（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（多选）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 7．若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六讲 等式性质与不等式性质 【学习目标】1.类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质． 2.熟记并应有不等式的性质． 3.会利用不等式的性质证明简单的不等式． 【学习重点】不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异． 【学习难点】类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异． 题型一、不等式的基本性质 知识点 1：不等式基本性质 1.同向可加性：； 2.同正同向可乘：； 3.乘除负数变号：； 4.举反例、特值法快速排除错误选项； 5.幂函数单调性辅助判断大小。 1．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，结合的条件逐一验证各选项的恒成立性. 【详解】选项A.已知，则， 已知，则. 因此，故A错误. 选项B.已知，则. 因为，则，故B正确. 选项C.由，所以，进而，故C错误. 选项D.取，左边，右边，，不等式不成立，故D错误. 2．（多选）若，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A，因为，所以，错误. 选项B，因为，所以，又，因此，正确. 选项C，因为，所以，又因为，所以，正确. 选项D，，若，正负性无法确定，错误. 3．已知，则下列不等式正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则，则，故B正确，A错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 4．如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，则. 对于选项A：因为，，所以，故A正确； 对于选项B：因为，则，且，所以，故B正确； 对于选项C：例如满足，但，故C不一定成立； 对于选项D：因为，则，且，所以，故D正确. 5．若，，那么下列不等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 对于选项A：因为，所以，故A正确； 对于选项B：因为，，则，所以，故B正确； 对于选项C：因为，则，所以，故C正确； 对于选项D：可得，故D错误. 知识点 2：作差法、作商法比较两式大小 作差法：；； 作商法（）：； 6．设，，当时，求证：． 【分析】利用作差法可得，分析可知与同号，可得，即可得结果. 【详解】由题意可得： ． 因为，则， 当时，，，当且仅当时，等号成立； 当时，，； 综上所述：与同号，可得，所以． 7．，，，则，，，由大到小的顺序是________． 【答案】 【分析】根据题意，利用作差法判断即可. 【详解】已知，，，则，，，， 由于，所以， 由于，所以， 所以， 综上，. 8．（1）作差法：_______，，_____ （2）作商法：_______，，____ 【答案】 > < > < 【分析】由作差法，作商法定义可得答案. 【详解】故答案为： 9．比较下列两式大小. (1)与； (2)时，与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差比较两式大小； （2）利用作商比较两式大小 【详解】（1）因为，所以 （2）当时，因为，所以 题型二：解分式不等式 分式不等式等价于，分母不为 0； 10．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解分式不等式得到集合A的范围，再结合集合B的范围判断二者的运算结果和包含关系即可。 【详解】对不等式移项得，整理得，等价于，解得或， 即. 已知，，故A错误； ，故B错误； 的所有元素均属于，且中存在小于0的元素不属于， 因此，C正确，D错误. 题型三、用不等式表示实际不等关系 1.不小于：；不高于 、不超过：；小于且不小于：； 2.生活场景（身高、收入、黄金分割比例）文字转不等式； 3.销售利润问题：根据售价、销量列利润不等关系式，附带自变量取值范围。 11．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小于且不小于，. 12．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件，则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得，故. 13．下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错误； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错误； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错误. 故选：C. 题型四、常用逻辑用语：充分、必要条件（结合不等式）： 1.若，则是充分条件；若，则是必要条件； 2.小范围推大范围；举反例判断单向推导是否成立； 3.结合不等式大小关系判断条件类型。 14．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，故充分性成立； 当，时，不等式成立，但，故必要性不成立． 综上，“”是“”的充分不必要条件． 15．已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，，故成立. 若，取，，满足，但，故不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 16．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合重要不等式和赋值法，根据充分条件和必要条件的定义直接判断即可. 【详解】若，则， 所以，故必要性成立. 取，，则，但，充分性不成立. 因此“”是“”的必要不充分条件. 17．已知，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若且，则，故必要性成立； 若，则满足，但不满足，故充分性不成立． 因此“”是“且”的必要不充分条件． 巩固提升： 1．已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. 2．（多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质，可通过特殊值法、作差法逐一验证选项的正确性. 【详解】对于选项A，取，满足，但，故选项A不正确； 对于选项B，因为，，所以，故选项B正确； 对于选项C，因为，所以，又，由不等式的性质，得，故选项C正确； 对于选项D，当，时，，故选项D正确. 3．（多选）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】本题考查不等式的基本性质与幂函数单调性的应用，需结合性质或反例逐项判断命题正误。 【详解】选项A：举反例，取，，满足，但，因此A错误； 选项B：因为，且，所以，即，因此B正确； 选项C：函数在上单调递增，若，则必有，也可作差验证：，因此C正确； 选项D：由得，两边同乘负数时不等号方向改变，得，举反例：，，因此D错误. 4．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，，所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 5．（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 6．（多选）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【详解】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 7．若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取特值寻找ABD的反例,使用同正可乘性验证C即可. 【详解】当，时，ABD显然错误； 由可得，由不等式性质可得，，故C正确. 8．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 9．（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】本题考查不等式的基本性质、幂函数的单调性，可通过性质推导或特值法验证选项. 【详解】选项A：由，两边同乘得， 结合，根据不等式性质：若，，则， 可得，即，所以选项A正确. 选项B：取特值，，，，则，， 此时，所以选项B错误. 选项C：已知，，设幂函数， 因为，所以幂函数在上单调递减， 根据幂函数的单调性，可得，所以选项C错误. 选项D：对进行通分：. 因为，所以，，，则. 所以，即，所以，所以选项D正确. 10．（多选）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BCD 【详解】对于A，，若，则，故A为假命题； 对于B，，，又，，故B为真命题； 对于C，，则，，故C为真命题； 对于D，且，则，，故D为真命题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $