2.1等式性质与不等式性质课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“等式性质与不等式性质”，核心涵盖两实数大小关系的基本事实及等式与不等式性质。课堂导入从生活中的不等关系（如身高对比、屏幕尺寸）切入，引导学生用符号表达，搭建从生活到数学的学习支架，衔接作差比较法与性质探究。 其亮点在于通过对比表格、记忆口诀（如“乘正同，乘反对”）及转化技巧（因式分解、配方法等）深化理解，提分训练结合实际问题（如行李规定、容器游戏）。体现数学眼光观察现实、数学思维推理（性质证明）、数学语言表达（符号化），助学生培养抽象能力和推理意识，为教师提供结构化资源，提升教学效率。

2.1 等式性质与不等式性质 第一章 一元二次函数、方程和不等式 亮亮图文旗舰店 https://liangliangtuwen.tmall.com 目录 contents 1 两实数大小关系的基本事实 2 等式与不等式的性质 3 提分训练 课程导入 生活中的不等关系 01. 身高对比：姚明与潘长江 👉 身高数值差异显著，呈现不等关系 04. 数学思考：符号的表达 👉 提问：用哪些数学符号描述这些关系？ 03. 价值区分：商品售价高低 👉 商品定价各异，反映数值的不等关系 02. 规格不同：手机屏幕尺寸 👉 屏幕大小有别，存在明显的数量不等 如何用符号表示？ 新知探究 1. 两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b； 如果a－b等于零，那么a＝b； 如果a－b是负数，那么a<b. 反过来也成立．这个基本事实可以表示为： a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 新知探究 转化技巧： ① 因式分解：提取公因式，或运用平方差、完全平方公式，将差式化为乘积形式； ② 配方法：构造完全平方式，利用“平方数非负”的特性直接判断差的符号； ③ 通分化简：针对分式形式的差，先通分转化为同分母，再通过分子分析符号； ④ 有理化：对含根式的差式，通过分子或分母有理化，消去根号便于判断。 💡 核心点睛 转化是作差比较法的核心，它将难以直接判断符号的“差式”，转化为积、平方和等直观形式。 小试牛刀 例1、比较代数式的大小 题目：试比较x2+4与4x的大小关系，并说明理由。 解题思路：作差法三步走 ①作差变形：计算两式之差，得x2+4-4x=x2-4x+4； ②配方整理：对差式配方，化为（x-2）2的形式； ③定号判断：平方非负性知差式恒大于0 小试牛刀 【解析】 将两式相减构造差值，即：x2+4-4x=x2-4x+4。 对二次多项式进行配方处理，转化为平方项与常数的和：（x-2）2 根据实数平方的非负性，（x-2）2>0 ，即差值恒为正。 由于两式的差值始终大于0，故可确定x2+4>4x对任意实数x恒成立。 目录 contents 1 两实数大小关系的基本事实 2 等式与不等式的性质 3 提分训练 新知探究 回顾等式的基本性质： 性质名称 数学表述 核心解读 对称性 若a=b，则b=a 左右互换 等式依然成立 传递性 若a=b且b=c，则a=c 等量代换 关系可传递 加减性质 若a=b，则a±c=b±c 同加同减 等式不变 乘除性质 若a=b，则ac=bc； 若c≠0，则a/c=b/c 同乘任意数 除数不为0 核心点拨 特别注意：在运用除法性质时，除数绝对不能为0，这是变形成立的关键前提！ 新知探究 2.等式的性质： ①对称性：等号两边可互换位置，即若 a=b，则b=a； ②传递性：相等关系可传递，即若 a=b 且b=c，则a=c； ③加减性质：两边同时加（减）同一个数或式，等式仍成立； ④乘除性质：两边同时乘同一个数，或除以同一个非零数，等式仍成立。 新知探究 由等式性质引发的思考：不等式是否继承了类似的特性？ ①若a>b，则b>a？→❌ 不成立 ②若a>b 且b>c，则a>c？→✅ 成立 ③若a>b，则a+c>b+c？→✅ 成立 ④若a>b，则ac>bc？→❓不一定成立（与c的符号有关） 不等式与等式在“乘除运算”上表现出截然不同的特性。当两边同时乘以一个负数时，不等号的方向会发生反转，这是不等式性质中最容易出错、也最需要重点掌握的核心规则。 新知探究 3.不等式的性质： ①对称性 性质表述：如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a。 直观理解：不等式两边互换位置时，不等号的方向必须反向，这是不等关系的对称特性。 实例验证：若7>4，则4<7；若-5<0，则0>-5。 ②传递性 基本表述：如果a>b，且b>c，那么a>c。 核心内涵：不等式的大于关系具有传递性，可像链条一样依次推导； 直观示例：因为5>3，且3>1，所以必然有5>1成立。 新知探究 ③加减性质 性质表述：如果a>b，那么a+c>b+c（c为任意实数或整式）。 严谨证明：∵(a+c)-(b+c)=a-b，a>b⇒a-b>0，∴a+c>b+c。 法则解读：不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号的方向保持不变。 ④乘法性质 基本性质：若a>b且c>0，则ac>bc； 若a>b且c<0，则ac<bc。 语言解读：不等式两边同乘一个正数，不等号方向保持不变； 不等式两边乘同一个负数，不等号方向必须改变。 新知探究 ⑤同向可加性 性质表述：若a>b且c>d，则a+c>b+d 核心前提：必须是“同向”不等式才能直接相加，异向不可； 运算本质：相当于不等式两边分别做加法，不等号方向保持一致； ⑥同向同正可乘性 基本性质：若 a>b>0且c>d>0，则ac>bd 逻辑证明：∵a>b>0且c>0，根据“正数乘不等式，方向不变”，得ac>bc； ∵c>d>0且b>0，同理可得bc>bd； 结合不等式传递性（若x>y且y>z，则x>z），即证得ac>bd。 新知探究 ⑦乘方性质 基本性质：若a>b>0，且n为大于或等于2的自然数，则aⁿ>bⁿ 逻辑本质：正数的乘方运算具有“保序性”，即底数的大小关系在同次乘方后依然保持，可看作是同向同正可乘性的推广推论。 实例验证：因为3>2>0，所以3²=9>2²=4；同理3³=27>2³=8，这一规律对任意不小于2的正整数次幂都成立。 新知探究 等式与不等式性质对比 性质 等式性质 不等式性质 对称性 a=b⇔b=a a>b⇔b<a （不等号方向反转） 传递与加减 若 a=b, b=c 则 a=c a±c=b±c 若 a>b, b>c 则 a>c a±c>b±c（规则相同） 乘法性质 ac=bc （c为任意实数） c>0时，ac>bc c<0时，ac<bc 逻辑点睛 易错点与记忆口诀： 不等式最核心的区别在于乘法/除法运算：当两边同时乘（或除以）一个负数时，不等号的方向必须发生反转。 记忆口诀： “乘正同向，乘反对向； 加减运算，方向不变。” 小试牛刀 例2、解一元一次不等式 题目：利用不等式的性质，解不等式3x-5<2x+1 解题思路 依据不等式的基本性质，对不等式进行移项、合并同类项等等价变形操作，逐步将不等式化简为“x<a”或“x>a”（a为常数）的最简形式，以此确定不等式的解集。 小试牛刀 例2、解一元一次不等式 题目：利用不等式的性质，解不等式3x-5<2x+1 【解析】 对原不等式两边同时减去2x，依据“不等式性质3”，化简得到：x-5<1。 在x-5<1 的两边同时加上5，再次应用不等式性质3，进一步化简得到：x<6。 因此，该不等式的解集为 {x|x<6}，即所有小于6的实数都是这个不等式的解。 小试牛刀 例3、不等式性质应用 ①若a>b，c>d，则a+c与b+d的关系？ ②若a>b，c<0，则ac与bc的关系？ ③若a>b，c>0，则ac与bc的关系？ ④若a>b，c<d，则a-c与b-d的关系？ ①答案：>解析：依据不等式性质3（同向可加性），两个同向不等式相加，不等号的方向保持不变。 ②答案：<解析：依据不等式性质4，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向必须反向，此处c为负数。 ③答案：>解析：依据不等式性质4，不等式两边同时乘以同一个正数，不等号的方向保持不变，此处c为正数。 ④答案：>解析：由c<d变形得-c>-d，再与a>b利用同向可加性，两边分别相加得到a-c>b-d。 目录 contents 1 两实数大小关系的基本事实 2 等式与不等式的性质 3 提分训练 提分训练 题型1 利用作差法比较大小 1、已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，则x，y的大小关系为（　　） A．x＜y B．x＞y C．x＝y D．无法确定 A 【解析】 解：x﹣y＝a3﹣b﹣a2b+a＝a2（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+1）， 又a＜b，则a﹣b＜0， 又a2+1＞0，则x﹣y＝（a﹣b）（a2+1）＜0，故x＜y． 故选：A． 提分训练 题型1 利用作差法比较大小 2、现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？ 提分训练 题型1 利用作差法比较大小 【解析】 解：①当x＞y时，则x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D； 在此种条件下取A、B能够稳操胜券． ②当x＜y时，则y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A； 在此种条件下取D、C能够稳操胜券． ③又x3+y3﹣（xy2+x2y）＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）＝（x﹣y）2（x+y）＞0． ∴在不知道x，y的大小的情况下，取A、D能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握． 故可能有1种，就是取A、D． 提分训练 题型2 不等关系的建立 3、铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（　　） A．a+b+c＞M B．a+b+c≤M C．a+b+c≥M D．a+b+c＜M B 【解析】 解：∵长、宽、高之和不超过Mcm，长、宽、高分别为a、b、c， ∴a+b+c≤M． 故选：B． 提分训练 题型2 不等关系的建立 4、下列结论不正确的是（　　） ①用不等式表示某厂最低月生活费a元不低于300元为a≥300； ②完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则满足的关系式是5x+4y＜200； ③设M＝x2+3，N＝3x，则M与N的大小关系为M＞N； ④若x≠﹣2且y≠1，则M＝x2+y2+4x﹣2y的值与一5的大小关系是M＞﹣5． A．① B．② C．③ D．④ B 提分训练 题型2 不等关系的建立 【解析】 解：对于①，可得a≥300，故①正确； 对于②，可得500x+400y≤20000，化为5x+4y≤200，故②错误； 对于③，M﹣N＝x2+3﹣3x＝（x−）2+＞0，可得M＞N，故③正确； 对于④，因为x≠﹣2且y≠1， 所以M﹣（﹣5）＝x2+y2+4x﹣2y+5＝（x+2）2+（y﹣1）2＞0，即M＞﹣5，故④正确． 故选：B． 提分训练 题型3 利用不等式的性质求取值范围 5、已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列各式的取值范围． （1）|a|； （2）a+b； （3）a﹣b； （4）2a﹣3b． 提分训练 题型3 利用不等式的性质求取值范围 【解析】 解：（1）0≤|a|≤3； （2）﹣1＜a+b＜5； （3）依题意得﹣2＜﹣b≤﹣1，又﹣2＜a≤3，相加得﹣4＜a﹣b≤2； （4）由﹣2＜a≤3得﹣4＜2a≤6①， 由1≤b＜2得﹣6＜﹣3b≤﹣3②， ①+②得，﹣10＜2a﹣3b≤3． 追求卓越 $