精品解析：湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期入学测试数学试题

长沙市第一中学高2024级新高一入学测试 数学试卷 时量：120分钟 总分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 古语有云“滴水石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，石头上会形成一个深为0.0000052 cm的小坑．将数据0.0000052用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，相等的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 的平方根是（ ） A. 3 B. ±3 C. D. 4. 数轴上的三点A、B、C所表示的数分别为a、b、c且满足，，则原点在（ ） A. 点A左侧 B. 点A点B之间（不含点A点B） C. 点B点C之间（不含点B点C） D. 点C右侧 5. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如果那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 7. 若（和不相等），那么式子的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在Rt△AOB中，AO⊥BO，AB⊥y轴，O为坐标原点，点A的坐标为（4，m），反比例函数的图象的一支过点A，反比例函数的图象的一支过点B，过点A作AH⊥x轴于点H，若△AOH的面积为12，则k2的值为（ ） A. -24 B. -36 C. -48 D. -54 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，三个选项的每个选项2分，两个选项的每个选项3分，选错得0分） 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数（为常数，且）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．结合图象给出下列结论，其中正确结论的是（ ） A. B. C. 关于的一元二次方程的两根分别为和 D. 11. 已知两个分式：进行以下运算操作：（为方便描述，将记作X0，将记作Y0） 操作一：将两分式相加结果记作X1，相减结果记作Y1；（即） 操作二：将X1，Y1相加结果记作X2；X1，Y1相减结果记作Y2（即）； 操作三：将X2，Y2相加结果记作X3；X2，Y2相减结果记作Y3…（以此类推） 将每一次的操作结果再不断进行相加、相减操作，通过操作，以下结论中（注：以下结论中n均为正整数），正确的是（ ） A. B. 恒成立 C. 恒成立 D. 当时，a=-2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将每道题的答案填写在横线内） 12. 已知关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值为________． 13. 如果两个整数，的和、差、积、商的和等于．那么这样的整数共有________对． 14. 如图，在中，，点D是上一点，以为直径的分别交于E，G两点，且点是AD的中点，过点作的切线，交于点，若，，则线段的长为________ 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分） 15. （1）先化简，再求值：其中． （2）已知方程：的两根为a，b，求的值． 16. 解方程组： （1）； （2）； （3），求的值． 17. 某校舞蹈队共名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下： 名学生的身高： 161，162，162，164，165，165，165，166， 166，167，168，168，170，172，172，175 名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 （1）写出表中的值； （2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是________（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 （3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为________和________． 18. 如图1，已知抛物线交轴于点（在点左侧），交轴负半轴于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知直线交轴于点，交轴于点，过抛物线上一动点作于，求的最小值； （3）如图2，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线交抛物线于另一点．为抛物线的对称轴与轴的交点，为线段上一点，若与相似，并且符合条件的点恰有2个，求的值及相应点的坐标． 19. 如图，在五边形中，，且的中点恰好为的外接圆圆心，若点为的外接圆圆心，与交于点，求证：为中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第一中学高2024级新高一入学测试 数学试卷 时量：120分钟 总分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 古语有云“滴水石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，石头上会形成一个深为0.0000052 cm的小坑．将数据0.0000052用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 2. 下列各组数中，相等的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，与不相等，故A错误； 对于B，与相等，故B正确； 对于C，与不相等，故C错误； 对于D，与不相等，故D错误． 3. 的平方根是（ ） A. 3 B. ±3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，的平方根是． 4. 数轴上的三点A、B、C所表示的数分别为a、b、c且满足，，则原点在（ ） A. 点A左侧 B. 点A点B之间（不含点A点B） C. 点B点C之间（不含点B点C） D. 点C右侧 【答案】B 【解析】 【分析】由数轴结合，可得，然后结合，可判断符号，据此可得答案. 【详解】由数轴可得，又，可得异号，从而. 又，从而. 综上可得：，即原点在点A点B之间（不含点A点B）. 5. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 6. 如果那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于零，则，解得． 7. 若（和不相等），那么式子的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， ，即. 和不相等，. . 8. 如图，在Rt△AOB中，AO⊥BO，AB⊥y轴，O为坐标原点，点A的坐标为（4，m），反比例函数的图象的一支过点A，反比例函数的图象的一支过点B，过点A作AH⊥x轴于点H，若△AOH的面积为12，则k2的值为（ ） A. -24 B. -36 C. -48 D. -54 【答案】D 【解析】 【分析】设与轴交于点，由题设可得坐标及，然后由射影定理及题设可得坐标，据此可得答案. 【详解】因，轴，，则， 由，可得，则， 设交轴于点,因轴，则,又， 由射影定理可得，又由题可得，则得, 又点在第二象限，从而点横坐标为，易得. 因点在反比例函数图象上，则，得. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，三个选项的每个选项2分，两个选项的每个选项3分，选错得0分） 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】A由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； B由图象得，由图象得，故符合题意； C由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； D由图象得，由图象得，故符合题意； 10. 如图，已知二次函数（为常数，且）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．结合图象给出下列结论，其中正确结论的是（ ） A. B. C. 关于的一元二次方程的两根分别为和 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】已知图象开口向下，所以，由对称轴公式，可得， 图象与轴正半轴相交，所以，，故A正确； 根据对称性，抛物线与轴的另一个交点为， 当时，，故B错误； 由于对称轴，于是，即， 当时，，即，，； 把和代入方程得， 即，其两根为和，故C错误； 当时，是最大值，当时，， ，即，故D正确. 11. 已知两个分式：进行以下运算操作：（为方便描述，将记作X0，将记作Y0） 操作一：将两分式相加结果记作X1，相减结果记作Y1；（即） 操作二：将X1，Y1相加结果记作X2；X1，Y1相减结果记作Y2（即）； 操作三：将X2，Y2相加结果记作X3；X2，Y2相减结果记作Y3…（以此类推） 将每一次的操作结果再不断进行相加、相减操作，通过操作，以下结论中（注：以下结论中n均为正整数），正确的是（ ） A. B. 恒成立 C. 恒成立 D. 当时，a=-2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用归纳猜想求出，再逐项分析判断即可. 【详解】依题意，，， ，， ，， ……， 以此类推得，，，， 对于A，，因此，A错误； 对于B，，，因此恒成立，B正确； 对于C，，由，得且， 则且，即，因此恒成立，C正确； 对于D，当时，，解得，经检验，是原方程的解，D正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将每道题的答案填写在横线内） 12. 已知关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【详解】关于x，y的二元一次方程组和有相同的解， 联立，解得， 将代入，得， 解得：，. 13. 如果两个整数，的和、差、积、商的和等于．那么这样的整数共有________对． 【答案】7 【解析】 【详解】两个整数x，y的和、差、积、商的和等于100，， 即，x是y的倍数，设，则，即， ，或4或25或100，或4或1或或或或（0舍去） 这样的整数有，或，，或，或，， 或，，或，，或，共7对． 14. 如图，在中，，点D是上一点，以为直径的分别交于E，G两点，且点是AD的中点，过点作的切线，交于点，若，，则线段的长为________ 【答案】 【解析】 【详解】连接，为的直径，， ，， ，， ，， ，，， ，， 是的切线，，， ，，，，， ，． 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分） 15. （1）先化简，再求值：其中． （2）已知方程：的两根为a，b，求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【详解】（1）， 当时，原式． （2）由韦达定理可知，，所以， 故原式 =. 16. 解方程组： （1）； （2）； （3），求的值． 【答案】（1）； （2）当时，； 当，且时，方程组有无数组解； 当，且时，方程组无解； （3）229. 【解析】 【小问1详解】 由题意得，设，， 则原方程组可化为， 得：，则，把代入得：， 则，即，得：，即， 把代入得：，经检验，方程组的解为； 【小问2详解】 由题意得，得， 当时，，将代入， 得，解得； 当时，变为，若， 则方程组有无数组解，若，则方程组无解. 综上，当时，原方程组的解为； 当且时，方程组有无数组解； 当且时，方程组无解. 【小问3详解】 ， ，得， 则，得，得， ． 17. 某校舞蹈队共名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下： 名学生的身高： 161，162，162，164，165，165，165，166， 166，167，168，168，170，172，172，175 名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 （1）写出表中的值； （2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是________（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 （3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为________和________． 【答案】（1）166；165 （2）甲组 （3）170，172． 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义，中位数的定义求解即可； （2）计算甲乙两组的平均数和方差，然后分析即可得出结论. （3）利用平均数和方差的性质对数据进行分析即可得出结论. 【小问1详解】 将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166， 166，167，168，168，170，172，172，175，出现次数最多的数是165，出现了3次， 即众数， 16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，所以中位数， 所以. 【小问2详解】 甲组身高的平均数为， 甲组身高的方差为， 乙组身高的平均数为， 乙组身高的方差为， 因为，所以舞台呈现效果更好的是甲组. 【小问3详解】 168，168，172的平均数为， 因为所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于， 所以数据的差别较小，数据才稳定， 可供选择的有：170，172，且选择170，172时，平均数会增大， 所以选出的另外两名学生的身高分别为：170，172． 18. 如图1，已知抛物线交轴于点（在点左侧），交轴负半轴于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知直线交轴于点，交轴于点，过抛物线上一动点作于，求的最小值； （3）如图2，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线交抛物线于另一点．为抛物线的对称轴与轴的交点，为线段上一点，若与相似，并且符合条件的点恰有2个，求的值及相应点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）当时，点的坐标为和；当时，点的坐标为和． 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入函数表达式求出参数即可； （2）利用平行的性质，设点结合已知条件，根据三角函数的定义得出的表达式，再利用二次函数的性质求最值； （3）根据题意表示出抛物线的解析式，然后求出点的坐标，再根据三角形相似的性质，将问题转化为二次方程根的情况分类讨论即可. 【小问1详解】 将点的坐标代入函数表达式得：，解得：， 所以抛物线的表达式为：. 【小问2详解】 过点作轴交于点，如图所示： 则， 由直线的表达式知，，则， 则， 设点，则点， 则， 即的最小值为：，当的坐标为时取到． 【小问3详解】 设抛物线的解析式为， 所以， 设，当时，则， 即，所以，① 当时，则， 即，得：，② （i）当方程①有两个相等实数根时， ，解得：（舍去）或， 此时方程①有两个相等实数根，方程②有一个实数根， 则点的坐标为和； （ii）当方程①有两个不相等的实数根时， 把②代入①得：，解得：（舍去）或， 此时，方程①有两个不相等的实数根、，方程②有一个实数根， 所以，此时点的坐标为和； 综上，当时，点的坐标为和； 当时，点的坐标为和． 19. 如图，在五边形中，，且的中点恰好为的外接圆圆心，若点为的外接圆圆心，与交于点，求证：为中点． 【答案】延长交于点，则由可知四点共圆， 故在的外接圆上，且为直径， 又为圆心，故共线，且为中点，所以四边形为平行四边形， 所以，，故，有①， 而为的外接圆圆心，故， 故， 结合可知，，有② 由①②可知，，而为中点，有， 故，即为中点. 【解析】 【分析】延长交于点，根据题意得到四点共圆，再根据，即可证明. 【详解】略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $