湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期入学测试数学试题

**基本信息** 长沙市第一中学新高一入学测试数学卷，通过赵爽弦图、树叶分类项目化学习、高斯函数等设计，衔接初高中知识，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数定义域、赵爽弦图面积计算|结合文化传承，考查几何直观| |多选题|3/18|因式分解、反比例函数折叠|分层设选项，培养推理能力| |填空题|3/15|一次函数性质、角平分线最值|设置多空题，提升空间观念| |解答题|5/77|树叶长宽比统计分析、高斯函数应用|项目化学习情境，强化数据意识与创新思维|

长沙市第一中学高2025级新高一入学测试 数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 贴条形码区 班级： (正面潮上，切勿贴出虚线方框) 正确填涂 ■ 缺考标记 客观题(18为单选题；911为多选题) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 1O[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][c][D] 8[A][B][c][D 填空题 12: ■ 14. 解答题 15. 囚囚■ 16. 囚ㄖ■ 17. ■ ■ 18. I 囚■囚 囚■囚 61 ■ 口 ■长沙市第一中学高2025级新高一入学测试 数学试卷 时量：120分钟 总分：150分 一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求 1.已知对任意实数x,式子m都有意义，则实数m的取值范围是() A.m<4 B.m>4 C.m≤4 D.m≥4 【答案】B 【解答】解：x2-4x+m=(x-2)2+m-4,~(x-2)2≥0，对任意实数式子都有意义， ∴m-4>0,解得m>4.故选A. 2.某校九年级261位学生参加理化实验考试，其中某班35位学生的物理成绩与理化总成绩在全年级中的排名 情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生，则三人中化学成绩最好的是() A.甲B.乙C.丙D.无法确定 261 物 【答案】A 【详解】解：由统计图可知，乙的物理成绩非常靠前，甲的物理成绩非常靠后， 但是甲、乙两人的理化成绩相差不大，则甲的化学成绩非常好，丙的物理成绩非 常靠前，但是理化成绩比乙差，说明丙化学成绩比乙差，三人中化学成绩最好 理化成绩年级名次26 的是甲，故选：A. 3如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形， 设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=24,大正方形的面积为129. 则小正方形的边长为() A.7 B.9 C.10 D.11 【答案】B 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,~ab=24,a2+b2=129, ∴(a-b)2=a2+b2-2ab=129-2×24=81,而a-b>0,a-b=9,故选：B. 4.已知x2+3x+1=0,则4+=() A.81 B.64 C.47 D.30 【答案】C 第1页，共9页 【解答】解：“x2+3x+1=0,“x2+1=-3x,“x+=-3,(x+)2=9, x2+2+2=9,x2+是=7，原式=(x2+2)2-2=72-2=49-2=47. 5.已知方程(x-a)(x-b)+c=0的两个实根为m,n,其中a<b,m<n,c<0,则() A.m<a<b<n B.a<m<b<n C.a<m<n<b D.m<a<n<b 【答案】A 【解析】考虑函数y=(x-a)(x一b)+c是由函数y=(x-a)(x-b)向下平移c个单位，根据图像平移可知， 答案选A 6如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=2,CE=6,CH⊥AF于点H,则CH=() A.2V2 B.5 CV D.5 G 【答案】D H 【详解】解：连接CF、AC.正方形ABCD和正方形CEFG, D ∠B=∠E=90°，∠ACD=∠FCG=45°.BC=2,CE=6, ∴AC=V22+22=2V2,CF=V√62+62=6V2,∠ACF=45°+45°=90°， G AF=VAC2+CF-√(2V22+(6N22-4W5. CH L AF,.SAACF=AC.CF=TAF.CH, 即x2W2×6W2=×4W5×CH,解得CH=V5, 7.如图，在四边形ABCD的中，E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上，且AE=2EB,BF=3FC, CG=2GD,DH=3A,则的值为（） A号 B号 C. D. 【答案】C:【解折】依题意，二-60=名同理=台故“ SABD AB·AD SBCD 6' SABCD 6 类似可得恶-”一专 ≤1SDGH+SBEE=-,因此EF边=1一1_1一7 SABCD SABCD -6-4=五 D G 第2页，共9页 &已知u-海，侧财哈+是+的值为() A.1 B.2 C.3 D.9 【答案】B 【解折】设x-,则a-生-点 2 故始+是+=(c-1)3+30x-12+3x-1)+1-1=x8-1=2 a 二、多选题：本题共2小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.将下列多项式因式分解，结果中含有因式a+1的是() A.a2-1 B.a2+a C.a2+a-2 D.(a+2)2-2(a+2)+1 【答案】ABD 【解析】解：A、原式=(a+1)(a-1),故此选项符合题意；B、原式=a(a+1),故此选项符合题意： C、原式=a2+a-2=(a+2)(a-1),故此选项不符合题意；D、原式=(a+1)2,故此选项符合题意. 10.如图，在直角坐标系xOy中，矩形ABOC的顶点A的坐标为(-6,9)，将矩形ABOC沿直线EF(点E在边AB 上，点F在边OC上)折叠，点A的对应点D恰好是边OB的中点，点C的对应点 P落在反比例函数y=(化≠0)的图象上，下列结论正确的是() A.BE=4 B.CF=4 C.sin-PD0=号 Dk-号 【答案】AD 【详解】解：如图，作PQ1x轴于Q,连接DF,由题意可得：DE=AE,PD=AC,∠PDE=90°，∠AB0=90°， 矩形AB0C的顶点A的坐标为(-6,9)，.AC=0B=6,AB=OC=9, ·PD=6,点A的对应点D恰好是边OB的中点，·.BD=OD=3, 设BE=n,则DE=AE=9-n,在Rt△BDE中，DE2=BE2+BD2, ∴(9-n)2=n2+32,解得：n=4,BE=4,DE=9-4=5,故A正确，符合题意： .∠BDE+∠PDQ=90°，∠BDE+∠BED=90°，∴.∠PDQ=∠BED, ∠DB6=4PQD=0,·DBE·PQD,器=器-是 婴=婴=？∴P0=号QD=等 :.0Q=DQ-OD=PD=PQ2+QD2=6, 第3页，共9页 P仁》PD0路号专故c特误，不符合思意： 点P落在反比例函数y=兰k≠0)的图象上，“k-号×智-兴故D正确， B D OO 符合题意； 设CF=PF=m,则F0=9-m,PD2+PF2=DF2=0D2+0F2,∴.62+m2=32+(9-m)2 解得：m=3,·CF=3,故B错误，不符合题意；故选：AD. 11.已知x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=120,则() A.x的最小值是24 B.z的最大值为10 C.x+y+z的最大值为30 D.x+y+z+w的最小值为24 【答案】BCD 【解析】对于A,由120=5x+4y+3z+6w≤18x,故x≥碧，故A不正确 对于B,则120=5x+4y+3z+6w≥12z+6w≥12z,故z≤10，故B正确 对于C,令z=w+a,y=w+a+b,x=w+a+b+c,则w,a,b,c≥0，且x+y+z=3w+3a+2b+c 则依题意120=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c =4(3w+3a+2b+c)+6w+b+c≥4(3w+3a+2b+c) 因此x+y+z=3w+3a+2b+c≤30，当w=b=c=0时取到 对于D,120=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c =5(4w+3a+2b+c)-2w-3a-b≤5(x+y+z+w) 即x+y+z+w≥24，当且仅当x=24y=z=w=0时取到. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知一次函数y=kx+b,当自变量x的取值范围是-1≤x≤3时，函数y的取值范围是-2≤y≤6， 则k= 【答案】±2 【解析】解：当k<0时，y随x增大而减小，当-1≤x≤3时，-2≤y≤6， 6[5水十书2，k三-2，当k>0时，y随x蹈大蹈大，当-1≤x≤3时，2≤y≤6 当x=-1时，y=-2,当x=3时，y=6,{g+862 k=2,故答案为：土2. 13.如图，在△0AB中，OA=3,OB=4,AB=5,∠0AB的平分线AC交0B于点C,点P,Q分别为线段AC, 边0A上的动点.则(1)0C的长为：（②）0P+PQ的最小值为 第4页，共9页 【答案】，号 【详解】解：OA=3,0B=4AB=5,0A2+0B2=AB2,△OAB是直角 三角形，OA1OB.作CD1AB交AB于点D, D ∴∠0=∠CDA=90°，又AC是LOAB的平分线，C0=CD. S.ABC=AB.CD=BC.AO. 即时×5×0C=BC×3=(0B-0C)×3=(4-0C)×3, 0c=多故答案为：多 (2)AC是∠OAB的平分线，点Q为动点，作点Q关于AC的对称点Q'在AB上，PQ=PQ' 作OQ'1AB交AC于点P,当点O、P、Q'三点共线且OQ'1AB时， OP+PQ=0P+PQ'最小，0Q'为最小值.由(1)可知，△0AB是直角三角形， Sa0B=0B:0A=0Q,AB,×4×3=0Q'×5 2 解得：0Q=号故答案为：号 14已知a,6c为1~9中的三个互不相同的整数，则2二的最小值为 【解析】注意到2+h2+e2-1=a-b2+6-o2+c-o ab+bc+ca 2(ab+bc+ca) ,因此要使得式子最小，则分母越大，分子越小，故(a,b,c)= (9,87刀时，分子最小，分母最大，即2+62+c2-194 ab+bc+ca 191 四、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.先化简，再求值 求(-)÷的值，其中x=(-)2o5+月2-： 【解折】x=-1+号手-23 故原式--当-号 x-1 x(x+2) x-1 x(x+2)x-1x(x+2)1 第5页，共9页 则由x=-2可知，号=月 16【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶 子通常有着不同的特征如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？于是三位同学共同开展了“利用树叶特 征对树木进行分类”的项目化学习活动， 【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽（单位：c) 的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下： 序号 y 3 3 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7 杏树叶的长宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 2.19 a 2.4 0.0949 杏树叶的长宽比 1.51 1.5 b 0.0089 【问题解决】填空： (1)上述表格中：a= ,b= (2)这两种树叶从长宽比的角度看， 树叶的形状差别比较小；一片长为11.5cm,宽为5cm的树叶， 这片树叶来自于 树的可能性比较大。 (③)三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你用列表法或树状图求出 恰好小娟小东被选中的概率为多少？ 【答案】2.151.5杏杨 【解析】解：(1)将杨树叶的长宽比重新排列为1.7、1.8、2、2.1、2.1、2.2、2.4、2.4、2.4、2.8， 所以其中位数a=21+22=2.15,杏树叶的长宽比的众数b=1.5,故答案为：2.15,1.5： (2)由表知，杏树叶的长宽比的方差小于杨树叶长宽比的方差， 所以这两种树叶从长宽比的角度看，杏树叶的形状差别比较小； 11.5÷5=2.3, 所以这片树叶来自于杨树的可能性比较大，故答案为：杏，杨： (3)根据题意画树状图如下： 第6页，共9页 开始 小娟小东 小张 小东小张娟小张小娟小东 由图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好小娟小东被选中的结果有2种. 恰好小娟小东被选中的概率为号=青 17.如图，在平行四边形0ABC中，AB=2,∠BAC=30°，以点0为圆心，作⊙0与直线AC相切，切点为E, 连接0E. (1)求⊙0的半径： (②)延长EO交⊙O于点F,G是射线EC上一点，若△EFG与△EOC相似，请求出EG的长： (③)P是⊙0上的一个动点，连接BP交直线AC于点H在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出 最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】解：(1)~四边形ABCO是平行四边形，·OC=AB=2,OC//AB, ∴.∠AC0=∠BAC=30°，.AC是⊙O的切线，∴.OE⊥AC,∴.∠CE0=90°， 0B=0C=1,⊙0的半径为：1； (2)如图1所示，当△EFG~△EC0时，∠F=∠EC0=30°， ∠FEC=90°，EF=20E=2, EG-EF.tanF-2.tan30*-2x 3, 如图2所示，当△EFG~△E0C时，∠FGE=∠EC0=30°， ∴∠F=90°-∠EC0=60°，EG=EF.tan60°=23，综上所述： G EG=2y3或2W3 0 3 3)如图3所示，作PQ//AB,交AC的延长线于点Q, aPQI~△BAn,品-器 PH=P+a肥，即=+1， BH AB,小丽 2 当PQ最大时， 品最大 平移AQ,使平移后的直线与⊙O相切，设切点为P',作P'Q/AB, 交AQ于Q',连接0P', 当点P在P时，盟最大，由上知，~P'Q=2EP=4,竖+1=3， 2 ÷最大值为3. 第7页，共9页 18将抛物线C1:y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线C2,抛物线C2与x轴交 于A,B两点（点A在左边），与y轴交于点C (1)直接写出抛物线C2的解析式： (2)如图1，E是抛物线C2第四象限上的点，F是第四象限内的点，使四边形ACEF是平行四边形，连接BF, 若△ABF的面积是求点E的横坐标； (3)如图2，直线y=k1x(k1<0)交抛物线C2于M,N两点（点M在左边），直线y=k2x(k2>0)交抛物线C2 于G,H两点（点G在左边，MG,HN分别交x轴于P,Q两点，求品-的值. B x 9 图1 图2 【解析】（①）由题知C2:y=(x-1)2-4,y=x2-2x-3; (2)由(1)得y=x2-2x-3;令x=0,得y=-3,令y=0,得x2-2x-3=0, 解得x=-1或x=3,.A点坐标是(-1,0)，C点坐标是(0，-3)，B点坐标是(3,0). 设点E的坐标是(m,m2-2m-3), 如图，四边形ACEF是平行四边形，·.AC//EF,AC=EF, 月g分点F的坐标是m-1m-2网。 5aMB=×AB×(-y)=x4(2m-m)=4m-2m2=8, 解得：m1=手m=当m1=射，x=-<0, 不符合点F在第四象限的条件，故舍去，“E点的横坐标为 图1 (3)联立直线yMN=k1x与抛物线y=x2-2x-3,得到：x2-(2+k1)x-3=0, “xMxN=-3,同理可得：xGxH=-3.设直线MG的解析式是yMG=k3x+b3 直线HN的解析式是yHw=k4x+b4,联立直线yMG=k3x+b3与抛物线y=x2-2x-3, 得到：x2-(2+k3)x-(3+b3)=0,xM+xG=2+k3,xMxG=-3-b3: 同理可得：组十w=2+k4:xw=-3-b4,又令kx+bg=0得：=一号同理0=-急 第8页，共9页 品0-号+0~kg=w+g-2g=w6-3 k4=XH十Xw-2=三+3-2=-3w3x62w,b4=-XhXw-3=三3-3==93a巡， XG XM XMXG XG XM XGXM -3xM-3XG-2xMXG 1-1=图+4=w+G-2 XMXG “0P00-b3b4-xMxG-3 -9-3xGxM MxG-2-3xM-3xG-2xmxg-9xa -XMXG-3 -9-3XGXM XGXM 19.高斯是德国著名数学家，是被公认的世界最著名的数学家之一，享有“数学王子”的美誉！以高斯命名的“高 斯函数”y=[x]也称为取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[-2.5]=-3，[4.8=4，定义x 的小数部分为x}=x-[x],用「x表示不小于x的最小整数： (1)设a=20242025+20252026 20242024+2025m5,求[网]，[al. (2)求方程[x]2=x{x的所有的正实数根： (3)已知t为正整数，若方程{x·[x]·「x=16的所有不超过t的正实数解为x,x2,,xm,且满足 [x1+x2+…+xm]=1222,求t的值， 【解析】①：a=20202220520250=2025 20242024 20242024+20252025 20242024+20252025, .2024<a<2025,[a=2024,al=2025 (2)由定义可知x=[y+{x,故[x={x(x+[x),即 ①若x}=0,则灯=0，从而x=0,矛盾： ②若x}≠0，则0<{x<1,若[x)]=0,则由x>0可知[x]2=x{x不成立： 若[x]=2,将方程左边[x]=4,而右边x(x<x<3,矛盾： 若[x≥3，将方程左边[x]>(x-1)2>2x-1)>x,而右边x{x<x,矛盾： 因此[网=1，则x+-1=0,即=号，因此x=冈+=1+- 2 同首先xgM,设a<x<a+1aeN),则=品=d<1,故a之4 16 因此，当a<4时，无解；当a≥4时，x=[+{=a+aa+n 16 因此由0<x≤t可知：a=4,5,6,,t-1,故可得： k++…+xn=4+5+6++t-1+胎+总+总++气=2-3+1-当 注意到[x1+名+…+xm]=1223,故t>16,从而5<1 因此[x1+2++x=-3,此时有少-3=1222→2=1225： 2 2 故t=50. 第9页，共9页 长沙市第一中学高 2025 级新高一入学测试 数学试卷 时量:120 分钟 总分: 150 分 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求) 1.已知对任意实数x，式子 都有意义，则实数m的取值范围是( ) A. m<4 B. m>4 C. m≤4 D. m≥4 2.某校九年级261位学生参加理化实验考试，其中某班35位学生的物理成绩与理化总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生，则三人中化学成绩最好的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定 3.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129.则小正方形的边长为( ) A.7 B.9 C.10 D.11 4.已知 则 A.81 B.64 C.47 D.30 5.已知方程(x-a)(x-b)+c=0的两个实根为m,n,其中a<b,m<n,c<0, 则( ) A. m<a<b<n B. a<m<b<n C. a<m<n<b D. m<a<n<b 6.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=2,CE=6,CH⊥AF于点H,则|CH|=( ) A.2 B. C. D. 7.如图,在四边形ABCD的中,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上,且AE=2EB,BF=3FC,CG=2GD, DH=3HA,则 的值为( ) A. B. C. D. 8.已知 则 的值为( ) A.1 B.2 C. D. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，三个选项的每个选项2分，两个选项的每个选项3分，选错得0分)。 9.将下列多项式因式分解，结果中含有因式a+1的是( ) A. a² B. C. D. 10.如图,在直角坐标系xOy中,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-6,9),将矩形ABOC沿直线EF(点E在边AB上，点F在边OC上)折叠，点A的对应点D恰好是边OB的中点，点C的对应点P落在反比例 的图象上，下列结论正确的是( )函数 A. BE=4 B. CF =4 C. D. 11.已知x≥y≥z≥w≥0, 且5x+4y+3z+6w=120, 则( ) A. x的最小值是24 B. z的最大值为10 C. x+y+z的最大值为30 D. x+y+z+w的最小值为24 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将每道题的答案填写在横线内) 12.已知一次函数y= kx+b,当自变量x的取值范围是-1≤x≤3时,函数y的取值范围是-2≤y≤6,则k = . 13.如图,在△OAB中,OA=3,OB=4,AB=5,∠OAB的平分线AC交OB于点C,点P,Q分别为线段AC,边OA上的动点. 则(1)OC的长为 ;(2)OP+PQ的最小值为 . 14.已知a，b，c为1~9中的三个互不相同的整数，则 的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题,第15题13分,第16, 17题15分, 第18, 19题17分,共77分) 15.先化简，再求值 求 的值，其中 16【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征.如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢?于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动. 【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽(单位：cm)的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7 杏树叶的长宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 2.19 a 2.4 0.0949 杏树叶的长宽比 1.51 1.5 b 0.0089 【问题解决】填空： (1)上述表格中: a= , b = ; (2)这两种树叶从长宽比的角度看， 树叶的形状差别比较小；一片长为11.5cm，宽为5cm的树叶，这片树叶来自于 树的可能性比较大. (3)三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少? 17.如图,在平行四边形OABC中,AB=2,∠BAC=30°,以点O为圆心,作⊙O与直线AC相切,切点为E，连接OE. (1)求⊙O的半径; (2)延长EO交⊙O于点F,G是射线EC上一点,若△EFG与△EOC相似,请求出EG的长; (3)P是⊙O上的一个动点，连接BP交直线AC于点H.在点P运动过程中， 是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 18.将抛物线 向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线C₂，抛物线( 与x轴交于A，B两点(点A在左边)，与y轴交于点C. (1)直接写出抛物线C₂的解析式； (2)如图1，E是抛物线C₂第四象限上的点，F是第四象限内的点，使四边形ACEF是平行四边形，连接BF，若△ABF的面积是 求点E的横坐标； (3)如图2,直线. 交抛物线C₂于M，N两点(点M在左边)，直线 交抛物线C₂于G,H两点(点G在左边),MG,HN分别交x轴于P,Q两点,求 的值. 19.高斯是德国著名数学家，是被公认的世界最著名的数学家之一，享有“数学王子”的美誉！以高斯命名的“高斯函数”y=[x]也称为取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[[-2.5]=-3,[4.8]=4,定义x的小数部分为 用表示不小于x的最小整数； (1)设 求[a], (2)求方程的所有的正实数根； (3)已知t为正整数，若方程 的所有不超过t的正实数解为 且满足 求t的值. 学科网（北京）股份有限公司 $