湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题
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2024年长沙市周南中学新高一入学摸底测试
数学试卷
时间:90分钟 分值:100分
一.选择题(共6小题，每题仅有一个选项符合题意，每题4分)
1.计算 
的结果是( )
A. 5x² B. 6x² C. 5x³ D. 6x³
2.若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是( )
A. 1: 2 B. 1: 4 C. 1: 8 D. 1: 16
3.估计 
的值在( )
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
4. 如图, 菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点，连接OE.若OE=3，则菱形的边长为( )
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
5.有A，B两种卡片各4张，A卡片正、反两面分别写着1和0，B卡片正、反两面分别写着2和0，甲、乙两人从中各拿走4张卡片并摆放在桌上，发现各自的4张卡片向上一面的数字和相等，两人各自将所有卡片另一面朝上，则甲的4张卡片数字和减小了1，乙的4张卡片数字和增加了1，则甲拿取A卡片的数量为( )
A. 1张 B. 2张 C. 3张 D. 4张
6. 如图,在等腰Rt△ABC中, ∠BAC=90°,AB=12, 动点E, F同时从点A 出发, 分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F 也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0<x<12)，正方形EFGH 和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y.下列图象能反映y与x之间函数关系的是( )
二.填空题(共6小题，每题4分)
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7.分解因式：x²-3x= .
8.计算 
的结果是 .
9.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点 M，N为圆心，大于 
MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH, 若H(2a-1, a+1), 则a= .
10.若二次函数 
的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 .
11.一般地，n个相同因数a相乘:
记为
, 如 
此时，指数3叫做以2为底的8 的对数, 记为
, (即=3). 请计算 
= .
12.若二次函数 
的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称.则下列说法正确的序号为 .
②当 
时，代数式 
的最小值为3；
③对于任意实数m，不等式 
一定成立；
④P (x₁,y₁),Q(x₂,y₂)为该二次函数图象上任意两点, 且 
当x₁+x₂+2>0时,一定有y₁<y₂.
三. 解答题(共6小题,共52分。第13、14题每题6分; 第15、16每题8分;第17、18题每题12分)
13.先化简，再求值： 
其中x=3.
14.小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图.请根据图中信息，求：
(1)反比例函数表达式；
(2) 点C坐标.
15. 如图, 在△ABC中, AB=AC, D是BC的中点,CE∥AD, AE⊥AD, EF⊥AC
(1) 求证: 四边形ADCE 是矩形;
(2) 若BC=4, CE=3, 求EF的长.
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16.小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值 
叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征.
(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且 
求该介质的折射率；
(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B、C、D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A₁D₁D₂A₂对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出,如图②,已知α=60°, CD=10cm,求截面ABCD的面积.
17.【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
14. 如图,在锐角△ABC中, 探究 
之间的关系.(提示：分别作AB和BC边上的高.)
【得出结论】
(1)【基础应用】
在△ABC中, ∠B=75°, ∠C=45°, BC=2, 利用以上结论求AB的长.
(2)【推广证明】
进一步研究发现， 不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足 
(R为△ABC外接圆的半径).
请利用图1证明： 
(3)【拓展应用】
如图2, 四边形ABCD中, AB=2, BC=3, CD=4, ∠B=∠C=90°. 求过A, B, D三点的圆的半径.
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