湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题

**基本信息** 2024年长沙市周南中学新高一入学摸底数学试卷，通过基础题（如因式分解、相似三角形）与综合题（光的折射应用、抛物线动态问题）的梯度设计，衔接初中知识与高中能力，考查数学抽象、推理及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|相似三角形、菱形性质、函数图像|第5题卡片问题考查逻辑推理，第6题动态几何结合函数图像分析| |填空题|6/24|因式分解、二次函数、尺规作图|第11题新定义对数运算，第12题二次函数平移与性质判断| |解答题|6/52|分式化简、反比例函数、矩形证明、光的折射应用、教材拓广探索、抛物线综合|第16题结合物理折射率考查数学建模，第17题源自教材拓广探索实现知识迁移，第18题动态抛物线问题考查空间观念与创新意识|

2024年长沙市周南中学新高一入学摸底测试 数学试卷 时间:90分钟 分值:100分 一.选择题(共6小题，每题仅有一个选项符合题意，每题4分) 1.计算 的结果是( ) A. 5x² B. 6x² C. 5x³ D. 6x³ 2.若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是( ) A. 1: 2 B. 1: 4 C. 1: 8 D. 1: 16 3.估计 的值在( ) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. 如图, 菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点，连接OE.若OE=3，则菱形的边长为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5.有A，B两种卡片各4张，A卡片正、反两面分别写着1和0，B卡片正、反两面分别写着2和0，甲、乙两人从中各拿走4张卡片并摆放在桌上，发现各自的4张卡片向上一面的数字和相等，两人各自将所有卡片另一面朝上，则甲的4张卡片数字和减小了1，乙的4张卡片数字和增加了1，则甲拿取A卡片的数量为( ) A. 1张 B. 2张 C. 3张 D. 4张 6. 如图,在等腰Rt△ABC中, ∠BAC=90°,AB=12, 动点E, F同时从点A 出发, 分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F 也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0<x<12)，正方形EFGH 和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y.下列图象能反映y与x之间函数关系的是( ) 二.填空题(共6小题，每题4分) 7.分解因式：x²-3x= . 8.计算 的结果是 . 9.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点 M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH, 若H(2a-1, a+1), 则a= . 10.若二次函数 的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 . 11.一般地，n个相同因数a相乘:记为, 如 此时，指数3叫做以2为底的8 的对数, 记为, (即=3). 请计算 = . 12.若二次函数 的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称.则下列说法正确的序号为 . ②当 时，代数式 的最小值为3； ③对于任意实数m，不等式 一定成立； ④P (x₁,y₁),Q(x₂,y₂)为该二次函数图象上任意两点, 且 当x₁+x₂+2>0时,一定有y₁<y₂. 三. 解答题(共6小题,共52分。第13、14题每题6分; 第15、16每题8分;第17、18题每题12分) 13.先化简，再求值： 其中x=3. 14.小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图.请根据图中信息，求： (1)反比例函数表达式； (2) 点C坐标. 15. 如图, 在△ABC中, AB=AC, D是BC的中点,CE∥AD, AE⊥AD, EF⊥AC (1) 求证: 四边形ADCE 是矩形; (2) 若BC=4, CE=3, 求EF的长. 16.小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值 叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征. (1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且 求该介质的折射率； (2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B、C、D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A₁D₁D₂A₂对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出,如图②,已知α=60°, CD=10cm,求截面ABCD的面积. 17.【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 14. 如图,在锐角△ABC中, 探究 之间的关系.(提示：分别作AB和BC边上的高.) 【得出结论】 (1)【基础应用】 在△ABC中, ∠B=75°, ∠C=45°, BC=2, 利用以上结论求AB的长. (2)【推广证明】 进一步研究发现， 不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足 (R为△ABC外接圆的半径). 请利用图1证明： (3)【拓展应用】 如图2, 四边形ABCD中, AB=2, BC=3, CD=4, ∠B=∠C=90°. 求过A, B, D三点的圆的半径. 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A (-1, 0), B两点,交y轴于点 C，抛物线的对称轴是直线 (1)求抛物线的表达式； (2)点P 是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点 P作PD∥x轴交抛物线于点 D, 作 PE⊥BC于点 E, 求 的最大值及此时点 P 的坐标； (3)将抛物线沿射线BC方向平移 个单位，在 取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF-∠ABC=45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标. 2024年长沙市周南中学新高一入学摸底测试数学答案 一、选择题 1-6: DDCACA 二、填空题 7、x(x-3) 8.、1 9、2 11、20 12、①③④. 三、解答题 13、解:原式 当x=3时, 原式 14、解: (1)由图可知点A的坐标为(- 3, 2), ∵反比例函数图象上过点A，设反比例函数关系式为 ∴k=-6, ∴反比例函数解析式为 (2)直线OA的解析式为 由图象可知，直线OA向上平移三个单位得到直线 BC的解析式为 联立方程组 解得 (舍去), 15、【解答】(1)证明: ∵在△ABC中, AB=AC, D是BC的中点, ∴AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°, ∵CE∥AD, ∴∠ECD=∠ADB=90°, ∵AE⊥AD, ∴∠EAD=90°, ∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°, ∴四边形ADCE 是矩形; (2)解: ∵在△ABC中, AB=AC, D是BC的中点, BC=4, 由(1)可知:四边形 ADCE 是矩形, ∵AE=CD=2, ∠AEC=90°, 在Rt△AEC中, AE=2, CE=3, 由勾股定理得： ∴EF⊥AC, 由三角形的面积公式得： 16、【解答】解: ∴如图，设 则c=4x, 由勾股定理得， 又∵β=30°, ∴折射率为： (2)由题意可得α=60°,折射率为 ∵四边形ABCD是矩形，点O是AD中点 ∴AD=2OD, ∠D=90°, 又∵∠OCD=β, 在Rt△ODC中,设( 由勾股定理得， ∴截面ABCD的面积为： 17、【解答】解:【基础应用】 ∵∠B=75°, ∠C=45°, ∴∠A=180°-∠B-∠C=60°, 解得 【推广证明】 作AD⊥BC于点D,作CE⊥AB于点E,连接AO并延长交⊙O于点 F,连接CF,如图所示， 同理可证， ∵AF 是直径, ∴∠ACF=90°, ∵∠B=∠AFC, 【拓展应用】 连接DB，如图所示， ∵BC=3, CD=4, ∠C=90°, ∵∠ABC=∠C=90°, ∴∠ABC+∠C=180°, ∴AB∥CD, ∴∠ABD=∠BDC, 作AE⊥CD交CD于点 E, 则四边形ABCE 是矩形， ∴CE=AB=2, AE=BC=3, ∴DE=2, ∴过A，B，D三点的圆的半径为 18、【解答】解: ∵抛物线 与x轴交于A (-1, 0), B两点, 交y轴于点 C，抛物线的对称轴是直线 解得 ∴抛物线的表达式为 (2) 如图,延长PE交x轴于 G, 过P作PH∥y轴于 H, 在 中, 令y=0得 解得: x₁=-1, x₂=6, ∴B (6, 0), 当x=0时, y=-3, ∴C (0, - 3), ∵PD∥x轴, ∴∠PHE=∠BCO, 由B (6, 0), C (0, -3) 得直线.BC为 设 则 ∵抛物线 的对称轴为直线 ∴当 寸， 取得最大值，最大值为 ,此时P (5, -3); (3)∵抛物线沿射线BC方向平移 个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为 F的坐标为(3, -4),如图，当N在y轴的左侧时，过N作NK⊥y轴于K， 由A (-1, 0), F (3, -4) 得直线AF解析式为y=-x-1, 当 x=0 时, y=-1, ∴M(0, - 1), ∴∠AMO=∠OAM=45°=∠FMK, ∵∠NMF-∠ABC=45°, ∴∠NMK+45°-∠ABC=45°, ∴∠NMK=∠ABC, 设 解得： 或 (舍去), 如图，当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线MT，过N'作NT⊥MT于T， 同理可得∠N'MT=∠ABC, 设 则 T (x, - 1), 同理可得： 或 (舍去), 综上所述，N的坐标为 或 学科网（北京）股份有限公司 $