3.1.1椭圆及其标准方程导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦椭圆及其标准方程，通过细绳固定两点画轨迹的实验导入，对比圆的定义（细绳两端固定同一点），构建从圆到椭圆的知识支架，引导学生抽象椭圆的几何条件。 资料以实验操作引导学生用数学眼光观察轨迹形成，推导过程培养数学思维的逻辑推理，例题变式题层次分明，巩固加练涵盖选择、填空、解答，帮助学生用数学语言表达椭圆性质，提升应用意识与探究能力。

第三章　圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.1椭圆及其标准方程 学习目标1、了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。2、经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程。 问题 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 一、椭圆的定义 知识梳理 （1）定义：平面内一个动点到两个定点、的 ，这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的 ， 叫作椭圆的焦距． （2）注意事项：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则： ①当时，其轨迹为 ； ②当时，其轨迹 。 【例1】（多选）下列说法中正确的是（ ） A．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3）到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆 【变式1-1】曲线的方程是，则曲线的形状是（ ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线 2、 椭圆标准方程的推导 知识梳理 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为 线段的垂直平分为 建立直角坐标系，如图. （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是 ， 又设M与的距离的和等于常数 . 由椭圆的定义，椭圆就是集合P= 因为，所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有 【例2】点P为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ） A．13 B．1 C．7 D．5 【变式2-1】椭圆上点到上焦点的距离为4，则点到下焦点的距离为（ ） A．6 B．3 C．4 D．2 【变式2-2】已知椭圆：的左右焦点分别为，，点M是椭圆C上一点，点N是线段的中点，O为坐标原点，若，则__________. 3、 椭圆的标准方程对比 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 a，b，c的关系 【例3】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1），，焦点在y轴上； （2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 （3）经过两点 【变式3-1】中心在原点，焦点在轴上，焦距为8，且过点（3，0）的椭圆方程为（ ）. A． B． C．或 D．或 【例4】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】“”是“方程表示椭圆”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 易错点提示定义中，将 “大于大于” 改为 “等于大于” 或 “小于大于” 的常数，其他条件不变，点的轨迹是线段或不存在。 巩固加练 1.若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，若，则（ ） A． B． C．1 D．2 3.“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ） A．充要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ） A． B． C． D． 5.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 6.（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（ ） A．当时，点P的轨迹不存在 B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 7.(多选)已知P是椭圆=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且 cos∠F1PF2=,则下列说法正确的是(　　) A.△PF1F2的周长为12 B.△PF1F2的面积为2 C.点P到x轴的距离为 D.=2 8.且经过点和两点的椭圆的标准方程为______． 9.求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）过点，且与椭圆有公共的焦点； （2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.1椭圆及其标准方程 学习目标1、了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。2、经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程。 问题 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 参考答案　轨迹为椭圆，动点到两定点，的距离之和为定值，且定值大于两定点间的距离。 一、椭圆的定义 知识梳理 （1）定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(大于)，这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． （2）注意事项：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则： ①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在。 【例1】（多选）下列说法中正确的是（ ） A．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3）到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆 【答案】AC 【解析】对A，∵|F1F2|＝8， ∴平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，故A正确， 对B，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，故B错误， 对于C，点M（5，3）到F1，F2的距离之和为 |F1F2|＝8，其轨迹为椭圆，故C正确， 对于D，轨迹为线段的垂直平分线，故D错误． 故选：AC 【变式1-1】曲线的方程是，则曲线的形状是（ ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线 【答案】B 【解析】方程表示动点到两定点的距离之和为4． 而，因此的轨迹是以为焦点的椭圆．故选：B 2、 椭圆标准方程的推导 知识梳理 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图. （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数. 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为，所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有 【例2】点P为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ） A．13 B．1 C．7 D．5 【答案】D 【解析】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，故 故选：D 【变式2-1】椭圆上点到上焦点的距离为4，则点到下焦点的距离为（ ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【解析】椭圆，所以，即，设上焦点为，下焦点为，则，因为，所以，即点到下焦点的距离为； 故选：A 【变式2-2】已知椭圆：的左右焦点分别为，，点M是椭圆C上一点，点N是线段的中点，O为坐标原点，若，则__________. 【答案】2 【解析】由得，由椭圆方程得， 故，由于是的中位线， 故. 故答案为：2. 3、 椭圆的标准方程对比 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【例3】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1），，焦点在y轴上； （2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 （3）经过两点 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）由，，得， 焦点在y轴上，其标准方程为. （2）椭圆的焦点坐标为，椭圆过点，， ， 椭圆的标准方程为. （3）设所求的椭圆方程为. 把两点代入， 得：，解得， 椭圆方程为. 【变式3-1】中心在原点，焦点在轴上，焦距为8，且过点（3，0）的椭圆方程为（ ）. A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为焦距为8，所以，即又因为椭圆的焦点在轴上，且过点（3，0）， 所以 ，所以椭圆的方程为.故选：B 【例4】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆， ，解得：．故选：D 【变式4-1】“”是“方程表示椭圆”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若方程表示椭圆，则，， “”是“方程表示椭圆”的必要条件； 反过来，当时，如，或，方程表示圆， “”不是方程“表示椭圆”的充分条件． 综上，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：A 易错点提示定义中，将 “大于大于” 改为 “等于大于” 或 “小于大于” 的常数，其他条件不变，点的轨迹是线段或不存在。 巩固加练 1.若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有. 因为，所以.故选：D 2.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，若，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由，，得：，， ∴.故选：B. 3.“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ） A．充要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则方程表示焦点在轴上的椭圆； 反之，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则； 所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充要条件.故选：A. 4.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，椭圆方程，可得， 所以焦点， 又由椭圆的定义，可得， 因为，所以， 在中，由余弦定理可得, 所以，解得， 又由，所以.故选:C． 5.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立） 6.（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（ ） A．当时，点P的轨迹不存在 B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 【答案】AC 【解析】对A，，故点P的轨迹不存在，A正确；对BC，，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为，故B错误，C正确；对D，，故点P的轨迹为线段AB，D错误.故选：AC 7.(多选)已知P是椭圆=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且 cos∠F1PF2=,则下列说法正确的是(　　) A.△PF1F2的周长为12 B.△PF1F2的面积为2 C.点P到x轴的距离为 D.=2 【答案】BCD【详解】A．因为，所以，故错误；B．因为，，所以， 所以，所以，故正确；C．设点到轴的距离为，所以，所以，故正确；D．因为，故正确。 8.且经过点和两点的椭圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】设椭圆方程为：， 由得：，椭圆的标准方程为：. 故答案为：. 9.求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）过点，且与椭圆有公共的焦点； （2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设所求椭圆的标准方程为（） 由，得，即．① 又点在所求椭圆上，所以，② 由①②得，，即所求椭圆的标准方程是． （2） 设椭圆的方程为（，，）． 依题意有，解得． 所以所求椭圆的方程为，故椭圆的标准方程为 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $