25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

课题

25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系

授课人

教学目标

1.（2022新课标）熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.

2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．

3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.

4.通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现、完成归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程.

教学重点

一元二次方程根与系数的关系及其推导过程.

教学难点

一元二次方程根与系数的关系的推导过程及其应用.

授课类型

新授课

课时

1

教学步骤

师生活动

设计意图

情境导入

在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系.

学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究.

探究新知

一元二次方程根与系数的关系

1.解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和方程的系数有什么联系？

（1）2x2－5x－12＝0；（2）x2＋2x＋1＝0；

通过问题引发学生思考，引导学生探究.

（3）x2＋2x－1＝0.

思考：观察一元二次方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？

当二次项系数是1时，两根之和为负的一次项系数，两根之积为常数项；当二次项系数不为1时，两根之和为负的一次项系数除以二次项系数，两根之积为常数项除以二次项系数.

运用你所发现的规律，你能解答下列问题吗？已知方程2x2－3x－2＝0的两根分别是x1和x2，则x1＋x2＝　　，x1·x2＝　－1　.

思考：如何证明以上发现的规律呢？

2.论证结论：教师与学生共同整理证明过程：

证明：当Δ>0时，由求根公式得

x1＝， x2＝，

所以x1＋x2＝＋＝－＝－，

x1x2＝·

＝＝；

当Δ＝0时，x1＝x2＝－，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.

归纳：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.

任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.

通过探究，总结一元二次方程的根与系数的关系.

师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结.

典例精析

【例1】根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积：

（1）  ；

（2）    ；

（3）

【解】（1）∵，

∴，，，

∴，；

（2）∵，

∴，，，

∴，；

（3）∵，即

∴，，，

∴，．

【方法总结】求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式，再整体代入．

【针对训练】已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则＋的值是（　　）

A．  B．−   C．   D．−

【解析】∵a2－6a＋4＝0和b2－6b＋4＝0两个等式的形式相同，且a≠b，

∴a，b可以看成是方程x2－6x＋4＝0的两个根，

∴a＋b＝6，ab＝4，

∴＋＝＋＝＝．

答案：A.

通过例题，加强一元二次方程的根与系数的关系的应用，发展计算能力.