25.2.3因式分解法 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题

25.2.3　因式分解法

授课人

教

学

目

标

　　1.了解因式分解法的概念,会用因式分解法解一元二次方程.

2.学会观察方程的特征,选用适当的方法解一元二次方程.

3.体会转化思想:把一个一元二次方程降次转化为两个一次方程求解.

教学

重点

　　用因式分解法解某些一元二次方程.

教学

难点

　　针对不同形式的一元二次方程选择适当的解法.

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

　　问题:1.对于一元二次方程我们学习了哪些解法?一般步骤是什么?

2.什么叫作因式分解?因式分解的方法有哪些?把下列各式分解因式.

(1)x2-25;(2)x2-2x;(3)x2-6x+9;(4)4x(x+3)+3(x+3).

学生独自思考,回答,教师点评.

　　复习前面所学习的一元二次方程的几种解法和因式分解的基本方法,为进入新课做好准备.

活动

一:

创设

情境

导入

【课堂引入】

根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s后的离地高度(单位:m)约为10x-5x2.根据上述规律,物体经过多少秒落回地面?

分析:设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0 m,则得到

　　让学生用两种方法分别解一元二次方程,一方面达到复习巩固的目的,另一方面便于后面对比因式分解法,使学生充

新课

方程10x-5x2=0.请大家分别用配方法和公式法求解该方程.

教师选派两名学生分别板演出两种解法的解题过程,并提出疑问:除了配方法和公式法外,是否能找到更简便的方法?

教师板书:用因式分解法解一元二次方程.

分体会因式分解法的优越性.

活动

二:

探究

与

应用

【探究1】 因式分解的理论依据

问题1:当a,b分别取什么值时,等式ab=0成立?

学生交流,讨论,得出结论.

教师板书:若ab=0,则a=0,或b=0.

问题2:依据问题1,你能解[课堂引入]中的一元二次方程10x-5x2=0吗?对比配方法和公式法,这种解法有什么优点?

教师点拨,指导;学生思考,求解,回答,板演过程.

将方程的左边分解因式,得x(10-5x)=0.于是x=0,或10-5x=0,解得x1=0,x2=2.

思考:解方程10x-5x2=0时,二次方程是如何降为一次的?

可以发现,在上述解法中,由10x-5x2=0到x=0或10-5x=0的过程,不是用开平方降次,而是先分解因式,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.

【探究2】 用因式分解法解一元二次方程

应用探究:

(1)若(x+1)(x-2)=0,则x1=　-1　,x2=　2　; 

(2)若(2x-1)(3x+5)=0,则x1= 　,x2=　-　; 

(3)解方程x2-x=0时,方程可以变形为　x(x-1)　=0,则x1=　0　,x2=　1　; 

(4)解方程4x(x+3)+3(x+3)=0时,方程可以变形为　(4x+3)(x+3)　=0,则x1=　-　,x2=　-3　. 

学生自主解答问题,教师进行个别指导,然后学生进行做法讲述,教师进行点评与总结.

　　1.设置ab=0的探讨,培养学生分析问题、归纳问题的能力及勇于探索的精神,为因式分解法解一元二次方程提供理论依据.

2.学生在问题1的基础上探索用因式分解法解一元二次方程,更容易办到.

活动

　　教师板书:利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:

二:

探究

与

应用

①将方程的右边化为0;

②将方程的左边分解因式;

③令每个因式为0,得到两个一元一次方程;

④解一元一次方程,得到方程的解.

【探究3】 用合适的方法解一元二次方程

思考:学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后,你能说说它们各自的特点吗?

配方法要先配方,再开方,进而降次;通过配方法可以推出求根公式,公式法直接利用求根公式解方程;因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.

配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便.总之,解一元二次方程的基本思路是:先将二次方程化为两个一次方程,即降次,再分别解两个一次方程.

学生小组讨论,教师巡视并适时点拨,最后师生共同归纳总结,如下表:

【理解应用】

例1　用因式分解法解下列方程:

(1)x(x-2)+x-2=0;(2)5x2-2x-=x2-2x+.

解:(1)左边分解因式,得(x-2)(x+1)=0.

于是x-2=0,或x+1=0,即x1=2,x2=-1.

　　通过两道利用因式分解法解一元二次方程问题的教学,可以巩固所学新知,同时培养学生良好的观察能力和分析、解决问题的能力.