25.2.3因式分解法 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“因式分解法解一元二次方程”核心知识点，通过物理情境（竖直上抛物体落回地面）引出方程10x - 5x² = 0，让学生先用配方法、公式法求解，再对比引出因式分解法，衔接旧知（因式分解、配方法等），构建学习支架。 此资料亮点在于注重转化思想（降次）与方法选择，通过“ab=0则a=0或b=0”理论依据培养推理意识，对比不同解法发展运算能力，如例1、例2巩固因式分解法步骤。助力学生提升问题解决能力，为教师提供清晰教学流程与分层练习，提升课堂效率。

25.2.3　因式分解法 　　　　　　　　　　　　 课题 25.2.3　因式分解法 授课人 教 学 目 标 　　1.了解因式分解法的概念,会用因式分解法解一元二次方程. 2.学会观察方程的特征,选用适当的方法解一元二次方程. 3.体会转化思想:把一个一元二次方程降次转化为两个一次方程求解. 教学 重点 　　用因式分解法解某些一元二次方程. 教学 难点 　　针对不同形式的一元二次方程选择适当的解法. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　问题:1.对于一元二次方程我们学习了哪些解法?一般步骤是什么? 2.什么叫作因式分解?因式分解的方法有哪些?把下列各式分解因式. (1)x2-25;(2)x2-2x;(3)x2-6x+9;(4)4x(x+3)+3(x+3). 学生独自思考,回答,教师点评. 　　复习前面所学习的一元二次方程的几种解法和因式分解的基本方法,为进入新课做好准备. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s后的离地高度(单位:m)约为10x-5x2.根据上述规律,物体经过多少秒落回地面? 分析:设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0 m,则得到方程10x-5x2=0.请大家分别用配方法和公式法求解该方程. 教师选派两名学生分别板演出两种解法的解题过程,并提出疑问:除了配方法和公式法外,是否能找到更简便的方法? 教师板书:用因式分解法解一元二次方程. 　　让学生用两种方法分别解一元二次方程,一方面达到复习巩固的目的,另一方面便于后面对比因式分解法,使学生充分体会因式分解法的优越性. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 因式分解的理论依据 问题1:当a,b分别取什么值时,等式ab=0成立? 学生交流,讨论,得出结论. 教师板书:若ab=0,则a=0,或b=0. 问题2:依据问题1,你能解[课堂引入]中的一元二次方程10x-5x2=0吗?对比配方法和公式法,这种解法有什么优点? 教师点拨,指导;学生思考,求解,回答,板演过程. 将方程的左边分解因式,得x(10-5x)=0.于是x=0,或10-5x=0,解得x1=0,x2=2. 思考:解方程10x-5x2=0时,二次方程是如何降为一次的? 可以发现,在上述解法中,由10x-5x2=0到x=0或10-5x=0的过程,不是用开平方降次,而是先分解因式,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 【探究2】 用因式分解法解一元二次方程 应用探究: (1)若(x+1)(x-2)=0,则x1=　-1　,x2=　2　;  (2)若(2x-1)(3x+5)=0,则x1= 　,x2=　-　;  (3)解方程x2-x=0时,方程可以变形为　x(x-1)　=0,则x1=　0　,x2=　1　;  (4)解方程4x(x+3)+3(x+3)=0时,方程可以变形为　(4x+3)(x+3)　=0,则x1=　-　,x2=　-3　.  学生自主解答问题,教师进行个别指导,然后学生进行做法讲述,教师进行点评与总结. 　　1.设置ab=0的探讨,培养学生分析问题、归纳问题的能力及勇于探索的精神,为因式分解法解一元二次方程提供理论依据. 2.学生在问题1的基础上探索用因式分解法解一元二次方程,更容易办到. 活动 二: 探究 与 应用 　　教师板书:利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤: ①将方程的右边化为0; ②将方程的左边分解因式; ③令每个因式为0,得到两个一元一次方程; ④解一元一次方程,得到方程的解. 【探究3】 用合适的方法解一元二次方程 思考:学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后,你能说说它们各自的特点吗? 配方法要先配方,再开方,进而降次;通过配方法可以推出求根公式,公式法直接利用求根公式解方程;因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便.总之,解一元二次方程的基本思路是:先将二次方程化为两个一次方程,即降次,再分别解两个一次方程. 学生小组讨论,教师巡视并适时点拨,最后师生共同归纳总结,如下表: 基本思路 将二次方程化为两个一次方程,即降次 基 本 方 法 直接开 平方法 用平方根的意义直接进行降次 适用于部分一元二次方程 配方法 先配方,再用直接开平方法降次 适用于全部一元二次方程 公式法 直接利用求根公式 因式 分解法 先将方程一边化为两个一次因式相乘,另一边为0,再根据“若ab=0,则a=0,或b=0”来解 适用于部分一元二次方程 【理解应用】 例1　用因式分解法解下列方程: (1)x(x-2)+x-2=0;(2)5x2-2x-=x2-2x+. 解:(1)左边分解因式,得(x-2)(x+1)=0. 于是x-2=0,或x+1=0,即x1=2,x2=-1. (2)移项、合并同类项,得4x2-1=0. 左边分解因式,得(2x+1)(2x-1)=0. 于是2x+1=0,或2x-1=0,即x1=-,x2=. 师生活动:教师指导学生观察方程的特点,学生经历观察、思考后,阐述做题的思路,然后学生书写解题过程,教师做好评价、辅导以及总结. 例2　用适当的方法解下列方程: (1)3x(x+5)=5(x+5);(2)(5x+1)2=1; (3)x2-12x=4;(4)3x2=4x+1. 解:(1)移项,得3x(x+5)-5(x+5)=0. 左边分解因式,得(3x-5)(x+5)=0.于是3x-5=0,或x+5=0, 即x1=,x2=-5. (2)根据平方根的意义,得5x+1=±1,即5x+1=1,或5x+1=-1, 即x1=0,x2=-. 　　通过两道利用因式分解法解一元二次方程问题的教学,可以巩固所学新知,同时培养学生良好的观察能力和分析、解决问题的能力. 活动 二: 探究 与 应用 (3)配方,得x2-12x+62=4+62,(x-6)2=40. 由此可得x-6=±2,x1=6+2,x2=6-2. (4)移项,得3x2-4x-1=0. ∵a=3,b=-4,c=-1, ∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=28>0. 方程有两个不相等的实数根x=, 即x1=,x2=. 师生活动:学生自主进行解答,选四名学生进行板演,然后教师引导学生进行对比,总结出较为简便的方法. 归纳:解一元二次方程的方法主要有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法,其中直接开平方法和因式分解法较为简便,但是不适用于所有方程,配方法和公式法适用于所有方程,故在解一元二次方程时,先考虑用直接开平方法和因式分解法,再考虑用配方法和公式法. 【拓展提升】 例3　用因式分解法解下列方程: (1)(x-1)2-2(x2-1)=0;(2)2(t-1)2+t=1. 答案:(1)x1=1,x2=-3　(2)t1=1,t2= 教师总结:整体思想的运用. 例4　我们知道x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x2-(a+b)x+ab=0就可以转化为(x-a)(x-b)=0,请你用上面的方法解下列方程: (1)x2-3x-4=0;(2)x2-7x+6=0. [答案:(1)x1=-1,x2=4　(2)x1=1,x2=6] 　　通过拓展练习,及时反馈学生的学习情况,及时查漏补缺,进一步提升教学效果. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【当堂训练】 1.方程x(x-1)=x的根是 (D) A.x=2　　　　　　　　　 B.x=-2 C.x1=-2,x2=0 D.x1=2,x2=0 2.一元二次方程(x-2)2=x-2的根是　x1=2,x2=3　.  3.方程x(x-1)=2(x-1)的根是　x1=1,x2=2　.  　　设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 活动 三: 课堂 总结 反思 4.用因式分解法解下列方程: (1)x2-1=2(x+1);(2)(x+3)2=(1-2x)2. 解:(1)移项,得x2-1-2(x+1)=0. 左边分解因式,得(x+1)(x-3)=0. 于是x+1=0,或x-3=0,即x1=-1,x2=3. (2)移项,得(x+3)2-(1-2x)2=0. 左边分解因式,得(-x+4)(3x+2)=0. 于是-x+4=0,或3x+2=0,即x1=4,x2=-. 5.用适当的方法解下列方程: (1)(x-3)2-25=0;(2)x(x-2)+x-2=0;(3)x2+8x+15=0. 解:(1)移项,得(x-3)2=25. 由此可得x-3=±5,x-3=5,或x-3=-5, 即x1=8,x2=-2. (2)左边分解因式,得(x-2)(x+1)=0. 于是x-2=0,或x+1=0, 即x1=2,x2=-1. (3)移项,得x2+8x=-15. 配方,得x2+8x+42=-15+42, (x+4)2=1. 由此可得x+4=±1, x1=-3,x2=-5. 学生进行当堂训练,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在复习回顾的环节中,复习好因式分解是顺利完成本节课的重要环节,教师给予学生充分的时间进行回顾和练习,是本课时顺利完成、学生有效学习的保障.教学过程中,教师注意引导学生发现方程的特点,判断采用的方法,使学生明确用因式分解法解一元二次方程的简便性和灵活性. ②[讲授效果反思] 引导学生注意:(1)乘积为0的等式,每一个因式都可能等于0;(2)根据一元二次方程的特征选用恰当的解法. ③[师生互动反思] 整个教学流程较为顺利,学生充分发挥自主性,回答问题积极,问题难度适中,层次有序,学生学习效果显著. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $