25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过回顾因式分解法及求根公式，引导学生观察根与系数关联，搭建起方程解法与韦达定理的知识桥梁，形成学习支架。 此资料亮点在于双路径推导韦达定理，结合求根公式代数推理与多项式恒等变形验证，培养学生推理能力，分层练习含“美丽方程”等综合题，渗透应用意识，逆向构造方程训练提升创新意识，助力学生完善知识体系，便于教师高效开展教学。

教学设计 《25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课是一元二次方程章节的拓展提升课，承接前面求根公式、四种解方程方法，搭建起方程系数与根之间的桥梁，完善学生对方程的认知体系．本节课推导韦达定理，实现不解方程直接判断、计算两根的和与积，简化代数式求值运算；同时逆向运用两根构造方程，打通正向解方程与逆向造方程的双向思维．韦达定理是后续二次函数、分式化简、一元二次综合应用题的核心工具，也是中考高频考点．课堂依托求根公式代数推导，训练学生整式加减、乘法化简推理能力，渗透整体代换、数形结合思想，串联因式分解、多项式恒等变形旧知，拓宽代数解题思路，为高中高次方程根与系数的学习埋下铺垫，提升学生代数逻辑推理与综合运算素养． 学习者分析 学生，已熟练掌握求根公式，能规范使用四种方法解一元二次方程，具备整式加减、乘法、分式化简运算基础．但学生存在明显认知短板：对带根号的两根进行加减、乘积化简存在畏难心理，代数推导能力薄弱；使用韦达定理时，极易混淆中的负号，忘记先把方程化为标准一般式；面对含的代数式，不会灵活变形转化为两根和、积的整体形式；逆向根据两根构造方程时，容易忽略二次项系数a，正向、逆向综合运用的逻辑思维有待例题分层引导训练． 教学目标 1．通过求根公式推导韦达定理，掌握两根之和、两根之积． 2．不解方程，利用根与系数关系求两根和、积，以及含两根简单代数式的值． 3．能已知两根，构造对应的一元二次方程，体会方程根与系数内在联系． 教学重点 掌握韦达定理、，能不解方程求两根和、积，会利用两根构造一元二次方程． 教学难点 自主借助求根公式完成韦达定理代数推导，灵活对含两根的代数式变形，整体代入两根和与积求值． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1．通过求根公式推导韦达定理，掌握两根之和、两根之积． 2．不解方程，利用根与系数关系求两根和、积，以及含两根简单代数式的值． 3．能已知两根，构造对应的一元二次方程，体会方程根与系数内在联系． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性． 环节二：新知导入 教师活动2： 问题：1．上节课我们学习了哪种解一元二次方程的简便解法？解一元二次方程的核心思路是什么？ 答案：因式分解法，核心是降次，把二次方程转化为一次方程． 2．解方程． 解：左边分解因式，得 于是 即 导言：由一元二次方程的解法可知，当时，方程的根可由系数确定.由求根公式可知，通过对系数进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方等运算，可以得到方程的根.求根公式反映了一元二次方程的根与系数的关系，这种关系还有其他表现形式吗? 学生活动2： 学生积极回答问题并进行计算 活动意图说明： 回顾前序解方程知识，借助求根公式计算出方程两根，引导学生观察根与系数的关联，设置悬念激发探究欲望，自然过渡到韦达定理的推导学习，同时为本课代数推导做好知识铺垫． 环节三：新知讲解 教师活动3： 思考：观察求根公式，它有什么特点?由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 分析：整体上看，两个根分别是“”和“”的形式，而且式子“”中含有根号.这种形式的式子相加可以消去“”，相乘可以去掉“”中的根号，从而使形式简洁. 解：因为 所以 归纳：由此得出，一元二次方程的两个根与其系数有如下关系: 指出：这种表示方式中，交换的位置，不影响它们的和、积的值.随着后续的学习，研究一元次方程的根与系数的关系时，我们会认识到这种表示更具一般性. 讲解：上述关系还可以用如下方法得出. 我们知道，如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两个根为和.反过来，如果一元二次方程的两个根为和，那么 即 由此可得 因此 注意： 1．在使用两根之和关系式时，不要漏写“－”； 2．能用根与系数的关系的前提条件为b2－4ac≥0 ； 3．方程不是一般式的要先化成一般式． 例：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积: (1)；(2)；(3). 解:(1). (2). (3)方程化为，所以. 归纳：利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的和与积的两点注意： （1）一元二次方程必须有两个实数根(Δ≥0)． （2）两根之和中的负号与方程中a，b的符号不要混淆． 学生活动3： 学生分小组合作探究后班内汇报，然后听老师的点评和讲解 活动意图说明： 依托求根公式代数推导得出韦达定理，辅以多项式恒等变形验证结论，搭配分层例题巩固两根和、积的基础计算，拓展含两根代数式整体代换求值，增设由两根构造方程题型. 全程渗透推理与整体思想，打通方程正向求解与逆向构造思路，完善一元二次方程知识体系，提升学生代数综合运算能力. 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系． 板书设计 课题：25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 一、两根之和 二、两根之积 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 答案：B 2．一元二次方程的两根为，，则______． 答案： 3．已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，求的值． 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为、， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或． 选做题： 4．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类练习】 5．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 解：（1）已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 答案：C 2．写一个二次项系数为1的一元二次方程，让它的两个根分别为5，（化为一般形式）：______． 答案： 3．若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 解：（1）由题意得， ， 解得； （2）由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 选做题： 4．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 答案：A 【综合拓展类作业】 5．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 解：（1）①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3），理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 教学反思 本节课由求根公式引入，带领学生分步化简推导韦达定理，多数学生能记忆两根和、积公式，完成基础题型计算．但课堂暴露出不少问题，学生极易漏掉两根之和公式中的负号，做题时常忽略先整理方程为标准形式；代数式整体变形时思路单一，不会转化构造x1+x2、x1x2的结构．后续可增加符号辨析专项练习，设计梯度代数式求值题，强化整体代换思想，补充逆向构造方程习题，完善双向解题思维． 学科网（北京）股份有限公司 $