25.2.2公式法 教学设计 2026——2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程公式法，核心包括求根公式推导、应用及根的判别式。课堂先回顾配方法步骤，通过“小强快速判断方程无实根”情境激发兴趣，为新知学习搭建前后知识联系的支架。 资料以学生自主探究为特色，通过配方法推导求根公式培养推理能力，小组讨论总结解题步骤提升数学语言表达，例题梯度设计（如含参数的拓展题）发展数学思维。既帮助学生构建知识体系，又为教师提供清晰教学流程和分层资源，提升课堂效率。

25.2.2　公式法 　　　　　　　　　　　　　 课题 25.2.2　公式法 授课人 教 学 目 标 　　1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程. 3.能够理解一元二次方程根的判别式,并能运用根的判别式进行相关的计算或推理. 4.引导学生熟记一元二次方程的求根公式x=,并理解公式成立的条件为b2-4ac≥0. 教学 重点 一元二次方程求根公式的推导和公式的简单应用以及利用根的判别式进行相关的判断和计算. 教学 难点 　　一元二次方程求根公式的推导. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　提出问题:用配方法解一元二次方程的步骤有哪些? 学生回答,教师点评,并做好指导工作. (1)移项.(2)二次项系数化为1. (3)配方(方程两边同时加上一次项系数一半的平方). (4)变形:原方程变形为(x+n)2=p的形式. (5)开平方:如果p是非负数,那么可以直接开平方求出方程的根;如果p是负数,那么一元二次方程无实数根. (6)求解.(7)定解. 　　总结用配方法解一元二次方程的一般步骤,为推导一元二次方程的求根公式做准备. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 张老师要求同学们解一元二次方程2x2+x+1=0,大家才动笔,小强突然站起来说这个方程无实数根,同学们都用愕然、怀疑的目光看向老师,只见张老师微笑地点了点头,你知道小强是如何快速作出判断的吗?下面让我们一起探究今天的新知吧! 　　通过情境,使学生产生悬念“如何快速判断方程根的情况”,激发深入探究新知的欲望,从而顺利完成本课知识的学习. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 根据根的判别式判断方程根的情况 问题:你能利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗? 学生自主解方程,找一名学生进行板演. 教师点拨:我们不妨把a,b,c也当成一个具体的数字,根据配方法的解题步骤一步步推下去,解题过程如下: 移项,得　ax2+bx=-c　.  二次项系数化为1,得　x2+x=-　.  配方,得　x2+x+2=-+2　,  即x+2=.① ∵a≠0,∴4a2>0. 式子b2-4ac的值有以下三种情况: (1)当b2-4ac>0时,>0,由①得　x+=±　.  方程有两个不相等的实数根x1=,x2=. (2)当b2-4ac=0时,=0,由①可知,方程有两个相等的实数根x1=x2=-. (3)当b2-4ac<0时,<0,由①可知x+2<0,而x取任何实数都不能使x+2<0成立,因此方程无实数根. 教师提示: (1)在开平方环节能直接开平方吗?需要注意什么? (2)等号右边的值可能为负吗? 学生小组内交流、讨论,达成共识. 教师: 可以发现,式子b2-4ac可以判别一元二次方程的根的情况,因此把它叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示,即Δ=b2-4ac. 归纳总结: 当Δ>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根; 当Δ=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根; 当Δ<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根. 【探究2】 用公式法解一元二次方程 教师提示:当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为x=的形式,这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法. 　　1.学生回顾用配方法解一元二次方程的过程,从数字系数过渡到字母系数进行配方,推导公式. 2.通过学生亲自解方程的感受与经验,体会数式通性,进而通过对b2-4ac的值的讨论感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 活动 二: 探究 与 应用 　　请同学们总结用公式法解一元二次方程的步骤及注意事项,小组内讨论交流,学生回答. 教师做好总结: 用公式法解一元二次方程的步骤: ①把方程化成一般形式,确定a,b,c的值. ②求出b2-4ac的值. ③若b2-4ac≥0,则代入求根公式计算;若b2-4ac<0,则原方程无实数根. ④写出方程的解. 用公式法解一元二次方程时应注意:①把方程化成一般形式;②方程有实数根的前提条件是“Δ≥0”;③若方程有根,则它应该有两个根;④求解得出的根应适当化简. 　　3.小组的讨论有利于培养学生的语言表达能力和逻辑思维能力,有利于发挥集体的优势,有利于突破重难点. 4.帮助学生自己构建知识,体验获取知识的过程,感受获得知识的喜悦. 【理解应用】 例1　利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况: (1)2x2-3x-=0;(2)16x2-24x+9=0; (3)x2-4x+9=0;(4)3x2+10=2x2+8x. [答案:(1)有两个不相等的实数根　(2)有两个相等的实数根 (3)无实数根　(4)有两个不相等的实数根] 例2　当k取何值时,关于x的一元二次方程kx2-12x+9=0有两个不相等的实数根? 分析:已知方程有两个不相等的实数根,则该方程根的判别式Δ>0,用含k的代数式表示出Δ,然后列出含未知数k的不等式,求出k的取值范围. 解:∵关于x的一元二次方程kx2-12x+9=0有两个不相等的实数根, ∴k≠0,Δ=(-12)2-4k×9=144-36k>0, 解得k<4, ∴当k<4且k≠0时,方程有两个不相等的实数根. 教师做好总结: 利用根的判别式判断方程根的情况时应注意:①考虑“二次项系数不为0”这一条件;②“一元二次方程有根”与“一元二次方程有两个不相等的实数根”的区别. 例3　用公式法解下列方程: (1)x2-4x-7=0;(2)2x2-2x+1=0; (3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x. 师生活动:教师指导学生观察方程的特点,指导学生阐述做题的思路,然后学生书写解题过程,教师做好评价和辅导. 解:(1)∵a=1,b=-4,c=-7, ∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0. 方程有两个不相等的实数根x==2±, 即x1=2+,x2=2-. (2)∵a=2,b=-2,c=1, ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0. 方程有两个相等的实数根x1=x2=-=-. 　　题目的设置存在梯度,给予学生层次递进的学习过程. 活动 二: 探究 与 应用 (3)方程化为5x2-4x-1=0,此时a=5,b=-4,c=-1, ∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0. 方程有两个不相等的实数根x=, 即x1=1,x2=-. (4)方程化为x2-8x+17=0,此时a=1,b=-8,c=17, ∴Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0.方程无实数根. 【拓展提升】 例4　已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0,当a为何非负整数时, (1)方程只有一个实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程有两个不相等的实数根? [答案:(1)a=2　(2)a=3　(3)a=1或a=0] 教师重点关注:学生对问题的分析能力(本题涉及了哪些知识点);给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到解答方法;鼓励学生大胆猜想,发表见解. 　　学生不断质疑、解惑,不但完善了思维,而且锻炼了能力,使学生形成对知识的总体把握. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 【当堂训练】 1.利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况: (1)2x2+3x-4=0;(2)9y2+16=24y;(3)5(x2+1)-7x=0. 解:(1)∵a=2,b=3,c=-4, ∴Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=9+32=41>0, ∴原方程有两个不相等的实数根. (2)原方程化为9y2-24y+16=0. ∵a=9,b=-24,c=16,∴Δ=b2-4ac=(-24)2-4×9×16=0, ∴原方程有两个相等的实数根. (3)原方程化为5x2-7x+5=0. ∵a=5,b=-7,c=5, ∴Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=49-100=-51<0, ∴原方程无实数根. 　　设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 活动 三: 课堂 总结 反思 2.用公式法解下列方程: (1)x2-7x-18=0;(2)x2+3=2x;(3)(x-2)(1-3x)=6. 解:(1)∵a=1,b=-7,c=-18, ∴Δ=b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)=121>0. 方程有两个不相等的实数根x=, 即x1=9,x2=-2. (2)方程化为x2-2x+3=0, 此时a=1,b=-2,c=3, ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=0. 方程有两个相等的实数根x1=x2=-=-. (3)方程化为3x2-7x+8=0, 此时a=3,b=-7,c=8, ∴Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0. 方程无实数根. 3.已知关于x的方程x2-2x+k-1=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围. 解:∵关于x的方程x2-2x+k-1=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=(-2)2-4(k-1)>0,解得k<2. 学生进行当堂训练,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在复习回顾的环节中,复习用配方法解一元二次方程的过程,为学习公式法打下基础;在探究新知的环节中,引导学生积极思考,配方的关键是添项,学生能够明确添加的常数项即可突破难点. ②[讲授效果反思] 重点内容做到重点讲解:(1)用公式法解一元二次方程的步骤;(2)公式的记忆和理解;(3)一元二次方程根的判别式的应用. ③[师生互动反思] 从学生课堂表现,师生互动分析,学生能够对基本知识进行掌握,同时对根的判别式有一定的了解. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $