25.2.3因式分解法（讲义）2026-2027学年人教版九年级上册数学

本讲义聚焦一元二次方程求解，核心知识点包括因式分解法（方程一边为0且另一边可分解为一次因式乘积，转化为一元一次方程）、换元法（整体代换复杂代数式为新元，化归为一元二次方程）及方法选择（据方程特点选直接开平方法、因式分解法等），构建从具体方法到综合应用的学习支架。 资料特色在于典例剖析与分层作业设计，通过例题思路点拨和方法总结培养推理能力，如例3用十字相乘法分解因式体现数学思维，变式训练巩固运算能力。课后A组基础巩固、B组能力提升，助力学生查漏补缺，提升应用意识，课中辅助教师高效教学，课后支持学生自主复习强化。

25.2.3 因式分解法 讲义新知精讲 1.1 知识点1：因式分解法解一元二次方程 【概念定义】 当一元二次方程的一边为 ，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，就可以把方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 【符号表示/公式表达】 若 （），则方程的根为 或 。 【理解要点】 1. 使用因式分解法的前提是方程的一边必须等于 ，另一边能够因式分解。 2. 常用分解方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法。 3. 若方程不能或不易因式分解，应改用配方法或公式法。 1.2 知识点2：换元法解一元二次方程 【概念定义】 把方程中某个重复出现的代数式看作一个整体，用新字母代替，从而把较复杂的高次方程或分式方程转化为关于新字母的一元二次方程来求解，这种方法叫做换元法。 【符号表示/公式表达】 若方程中反复出现代数式 ，可设 ，将原方程化为关于 的一元二次方程 （），求出 后再回代求 。 【理解要点】 1. 换元法的关键是观察方程结构，找到可以“整体代换”的部分。 2. 换元后要确定新字母的取值范围，回代后需检验是否满足原方程。 1.3 知识点3：选择适当方法解一元二次方程 【概念定义】 解一元二次方程有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等多种方法。根据方程的结构特点选择最简便的方法，可以提高解题效率。 【理解要点】 1. 缺少一次项的方程，优先使用直接开平方法；如 （）。 2. 易于因式分解的方程，优先使用因式分解法。 3. 不易因式分解且系数较复杂时，使用公式法或配方法。 4. 含有重复结构的方程，可考虑换元法。 典例剖析 题型一：因式分解法解一元二次方程 例1 方程 的根是__________． 【思路点拨】 方程已经分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于 ，分别求解。 【规范解答】 因为 ，所以 或 ，解得 ，。 【方法总结】 第1步：把方程化为一边为 、另一边为若干因式乘积的形式；第2步：令每个因式等于 ，得到几个一元一次方程；第3步：分别求解这些一元一次方程，即得原方程的根。 【变式训练1】 一元二次方程 的一个根为 ，那么它的另一个根为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由 得 （此时 ），所以 ，。已知一个根为 ，则另一个根为 。 题型二：换元法解一元二次方程 例2 若关于 的一元二次方程 （）有一根为 ，则一元二次方程 有一个根为（　　） A. B. C. D. 【思路点拨】 观察第二个方程，可变形为 ，与第一个方程对比，发现只要把第一个方程中的 换成 即可。 【规范解答】 因为 可化为 ，且 有一根 ，所以 ，解得 。 【方法总结】 第1步：观察方程结构，找到重复出现或可以整体代换的代数式；第2步：通过变形把方程写成关于该整体的熟悉形式；第3步：利用已知方程的根或换元求解，注意回代求出原未知数。 【变式训练2】 用换元法解方程 时，设 ，则原方程可化为关于 的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设 ，则 。原方程化为 ，两边同乘 得 ，即 。 题型三：选择适当方法解一元二次方程 例3 解方程：． 【思路点拨】 方程右边不为 ，先把所有项移到左边，再观察是否易于因式分解。 可十字相分解为 。 【规范解答】 移项，得 。 因式分解，得 。 所以 或 ，解得 ，。 【方法总结】 第1步：观察方程特点，判断能否直接开平方、因式分解或需要配方/公式；第2步：优先选择最简便的方法：能因式分解则用因式分解法，否则用配方法或公式法；第3步：写出方程的根并检验。 【变式训练3】 选择合适的方法解下列方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ，；(2) ，。 【解析】 (1) 移项得 ，配方得 ，开方得 ，所以 ，。 (2) 移项得 ，因式分解得 ，所以 或 ，解得 ，。 课后作业 A组 基础巩固 1. 关于 的一元二次方程 的解为（　　） A. ， B. C. D. ， 2. 方程 的解为（　　） A. B. ， C. ， D. ， 3. 方程 的根是（　　） A. B. ， C. ， D. 4. 解方程： (1) ； (2) 。 5. 解方程： (1) ； (2) 。 6. 解一元二次方程： (1) ； (2) 。 B组 能力提升 1. 关于 的方程 ． (1) 求证：不论 取何值，方程总有两个实数根； (2) 若方程有一个根小于 ，求 的取值范围。 2. 已知关于 的一元二次方程 （）． (1) 若 ，则方程必有一个根为________； (2) 若 ， 满足 ，求一元二次方程的根。 3. 已知实数 ， 满足 ，则 的值为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 4. 已知关于 的方程 （、、 均为常数，且 ）的解是 ，，那么方程 的解是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，方程无实数解 附：课后作业参考答案与解析 A组 基础巩固 1. 答案：B 解析： 移项得 ，即 ，所以 ，解得 。 2. 答案：B 解析： 移项得 ，因式分解得 ，所以 或 ，即 ，。 3. 答案：B 解析： 移项得 ，因式分解得 ，所以 ，。 4. 答案：(1) ；(2) ，。 解析： (1) 因式分解得 ，所以 。 (2) 移项得 ，判别式 ，由公式法解得 。 5. 答案：(1) ，；(2) ，。 解析： (1) 两边同除以 得 ，开方得 ，所以 ，。 (2) 因式分解得 ，所以 ，。 6. 答案：(1) ，；(2) ，。 解析： (1) 因式分解得 ，所以 ，。 (2) 提取公因式得 ，即 ，所以 ，。 B组 能力提升 1. 答案：(1) 证明见解析；(2) 。 解析： (1) 方程 的判别式 所以不论 取何值，方程总有两个实数根。 (2) 因式分解得 ，所以 ，。因为方程有一个根小于 ，且 ，所以 ，解得 。 2. 答案：(1) ；(2) ，。 解析： (1) 由 得 ，代入方程得 。因式分解得 ，所以方程必有一根为 。 (2) 因为 ，所以 ，。方程化为 ，因式分解得 ，所以 ，。 3. 答案：C 解析： 设 （），则方程化为 ，即 。因式分解得 ，所以 或 。因为 ，故 ，即 。 4. 答案：A 解析： 令 ，则方程化为 。已知该方程的解为 ，。所以 或 ，解得 ，。 学科网（北京）股份有限公司 $