4.2.2　第2课时　等差数列前n项和的应用课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和的性质、最值及实际应用，通过自主学习通道的填一填梳理性质与最值方法，练一练巩固基础，搭建从公式到应用的学习支架，衔接前n项和公式核心内容。 其亮点在于以互动探究为核心，结合创业贷款、电影院座位等实例，用数学眼光发现问题中的等差关系，通过性质推导和二次函数法培养数学思维，典题通法与跟踪训练强化数学语言表达。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可依托分层设计高效开展教学。

第四章　数列 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第2课时　等差数列前n项和的应用 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 自主学习通道 最大 最小 最小 最大 自主学习通道 自主学习通道 × × √ × 自主学习通道 C 自主学习通道 自主学习通道 A 自主学习通道 7 260 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 B B 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 C －m－n 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 270 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 A 巩固提升通道 A 巩固提升通道 A 巩固提升通道 S3 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 75 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 000 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AB 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABD 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 204 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并利用等差数列前n项和的性质解决相应的问题.2.掌握求等差数列前n项和的最值的方法． 填一填 1．等差数列前n项和的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为 eq \f(d,2). (2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. 2．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中，当a1＞0，d＜0时，Sn有 eq \o(□,\s\up3(1)) 值，使Sn取到最值的n可由不等式组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))确定； 当a1＜0，d＞0时，Sn有 eq \o(□,\s\up3(2)) 值，使Sn取到最值的n可由不等式组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))确定． (2)因为Sn＝ eq \f(d,2)n2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d＞0时，Sn有 eq \o(□,\s\up3(3)) 值；当d＜0时，Sn有 eq \o(□,\s\up3(4)) 值，且n取最接近二次函数图象的对称轴的正整数时，Sn取到最值． 【提醒】　特别地，若an＞0，d＞0，则S1是{Sn}的最小项；若an＜0，d＜0，则S1是{Sn}的最大项． 练一练 1．判断正误 (1)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn一定同时存在最大值和最小值．(　　) (2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sm，S2m，S3m，…(m∈N*)为等差数列．(　　) (3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d>0，则Sn一定有最小值；若公差d<0，则Sn一定有最大值．(　　) (4)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sp＝Sq(p，q∈N*)，则Sn在n＝ eq \f(1,2)(p＋q)处取得最大值或最小值．(　　) 2．在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，则点(n，Sn)所在的曲线可能为(　　) 解析　因为Sn为等差数列的前n项和，所以Sn＝ eq \f(d,2)n2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，又a1>0，d<0，故点(n，Sn)在开口向下的抛物线上，且S1>0，观察选项可知C中曲线满足． 3．(2023·保定三中月考)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－9，a2＋a4＝－10，则Sn的最小值为(　　) A．－25 B．－35 C．－45 D．－55 解析　设公差为d，则a2＋a4＝2a3＝2(－9＋2d)＝－10，解得d＝2，故Sn＝n×(－9)＋ eq \f(n(n－1),2)×2＝n2－10n＝(n－5)2－25，所以n＝5时，Sn取得最小值，为－25，故选A. 4．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了 支铅笔． 解析　从下向上各层所放铅笔数依次为1，2，3，…，120，从下向上各层所放铅笔数是首项为1，公差为1的等差数列，所以共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝ eq \f(120×(1＋120),2)＝7 260(支). 类型一　等差数列前n项和的性质 【例1】　(1)若数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S10＝20，S30＝90，则S20的值为(　　) A．40 B．50 C．60 D．70 (2)等差数列{an}中，a1＝2 022，前n项和为Sn，若 eq \f(S12,12)－ eq \f(S10,10)＝－2，则S2 024＝(　　) A．2 024 B．－2 024 C．2 023 D．－2 023 [解析]　(1)由题意知，S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，则2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， 即2(S20－20)＝20＋90－S20，解得S20＝50. (2)由题意知，数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，其公差为－1，所以 eq \f(S2 024,2 024)＝ eq \f(S1,1)＋(2 024－1)×(－1)＝2 022－2 023＝－1，所以S2 024＝－2 024. 等差数列的前n项和常用的性质 (1)等差数列的前k项之和为Sk，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． (2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列． [跟踪训练1]　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝63，则a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．71 C．99 D．117 (2)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝m，Sm＝n(n≠m)，则Sm＋n＝ ． 解析　(1)由等差数列{an}的前n项和性质，得S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，又因为S3＝9，S6＝63，解得S9＝162，因此a7＋a8＋a9＝S9－S6＝162－63＝99. (2)∵{an}是等差数列，∴ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列，设其公差为D. ∴ eq \f(Sm＋n,m＋n)－ eq \f(Sm,m)＝nD， eq \f(Sn,n)－ eq \f(Sm,m)＝(n－m)D， ∴ eq \f(\f(m,n)－\f(n,m),n－m)＝ eq \f(\f(Sm＋n,m＋n)－\f(n,m),n)，解得Sm＋n＝－m－n. 类型二　等差数列前n项和的实际应用 【例2】　为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策．现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，并且第n年的超市维护和工人工资等费用为an万元，其中{an}是首项为12，公差为4的等差数列． (1)该超市第几年开始盈利？ (2)该超市经营多少年时，年平均盈利最大？最大是多少？ [解]　(1)设该超市前n年的总利润为y万元，则y＝50n－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12n＋\f(n(n－1),2)×4))－72＝－2n2＋40n－72.由y>0，得n2－20n＋36<0，解得2<n<18，又n∈N*，所以该超市第3年开始盈利． (2)由(1)可知，当2<n<18时该超市盈利． 因为 eq \f(y,n)＝－2n－ eq \f(72,n)＋40＝－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(36,n)))＋40≤－2×2 eq \r(n·\f(36,n))＋40＝16，当且仅当n＝ eq \f(36,n)，即n＝6时，等号成立，所以该超市经营6年时年平均盈利最大，最大为16万元． 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： ①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． ②深入分析题意，确定是求通项an，前n项和Sn，还是求项数n. [跟踪训练2]　某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数比前一排多2，第1排有18个座位，最后一排有36个座位，则该电影院共有 个座位． 解析　从第1排开始每排座位数形成等差数列{an}，其中a1＝18，an＝36，公差为d＝2，则36＝18＋2(n－1)，解得n＝10. ∴该电影院共有 eq \f(10×(18＋36),2)＝270(个)座位. 类型三　等差数列前n项和的最值 【例3】　(2023·长春联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值． [解]　设等差数列{an}的公差为d. 由题意，可知a1＝25，S17＝S9， 则17a1＋ eq \f(17×16,2)d＝9a1＋ eq \f(9×8,2)d，解得d＝－2. 所以Sn＝25n＋ eq \f(n(n－1),2)×(－2)＝－(n－13)2＋169. 故前13项之和最大，最大值是169. eq \x(变式探究) (变条件，变设问)本例中将“a1＝25”改为“a1<0”，其他条件不变，则n为何值时，Sn最小？ 解　∵S17＝S9，∴a10＋a11＋…＋a17＝0， ∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0. ∵a1<0，∴a13<0，a14>0， ∴当n＝13时，Sn最小． 求等差数列前n项和最值的方法 (1)根据等差数列的单调性，只要找到满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))的n，就可以确定数列{an}的前多少项的和最大． (2)利用前n项和的函数特性结合图象求解，注意n∈N*. (3)可先求出an＝0时n的值，由此可得数列{an}的前(n－1)项或前n项和的最值. [跟踪训练3]　设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13 <0. (1)求公差d的范围； (2)数列前几项的和最大？ 解　(1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d， ∵S12>0，S13<0， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(12a1＋66d>0，,13a1＋78d<0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(24＋7d>0，,3＋d<0，))∴－ eq \f(24,7)<d<－3. (2)∵S12>0，S13<0，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a12>0，,a1＋a13<0，))∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a6＋a7>0，,a7<0，)) ∴a6>0，又由(1)知d<0. ∴数列前6项为正数，从第7项起为负数． ∴数列前6项的和最大． 1．知识清单 (1)等差数列前n项和的实际应用． (2)等差数列前n项和的最值问题． (3)等差数列前n项和性质的应用． 2．方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法． 3．常见误区：忽略最值问题中n的个数． 1．设an＝2n－9，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为(　　) A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 解析　由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0，))解得 eq \f(7,2)≤n≤ eq \f(9,2)，故n＝4. 2．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若S10∶S5＝3∶1，则S15∶S5等于(　　) A．6∶1 B．1∶5 C．1∶6 D．5∶1 解析　由S10∶S5＝3∶1，可设S5＝m，S10＝3m，则S10－S5＝2m，可得S15－S10＝3m，所以S15＝6m.所以S15∶S5＝6∶1. 3．(2024·泉州七中月考)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(　　) A．35 B．32 C．23 D．38 解析　由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S9＝9a1＋ eq \f(9×8,2)d＝9a1－108＝207，解得a1＝35. 4．设数列{an}的前n项和为Sn.如果a1＝－5，an＋1＝an＋2，n∈N*，那么S1，S2，S3，S4中最小的为 ． 解析　∵数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－5，an＋1＝an＋2，n∈N*， ∴数列{an}是首项为－5，公差为2的等差数列， ∴a2＝－3，a3＝－1，a4＝1， ∴S1＝－5，S2＝－8，S3＝－9，S4＝－8. 故S1，S2，S3，S4中最小的为S3. 基础巩固 1．在等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为(　　) A．S4 B．S5 C．S6 D．S7 解析　∵ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝a5＋a6<0，,a5>0，))∴a6<0， ∴Sn的最大值为S5. 2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于(　　) A．12 B．16 C．9 D．16或9 解析　由题意可知多边形的内角an＝120°＋5°(n－1)＝5°n＋115°，an<180°，所以n<13，n∈N*.由n边形内角和定理得(n－2)×180°＝n×120°＋ eq \f(n(n－1),2)×5°，解得n＝16或n＝9.又因为n<13，n∈N*，所以n＝9. 3．(2023·青岛期末)已知等差数列{an}的前4项和是2，前8项和是10，则前12项和为(　　) A．12 B．18 C．24 D．42 解析　设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4＝2，S8＝10，由等差数列前n项和的性质，得S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，即2，10－2＝8，S12－10成等差数列，所以2＋(S12－10)＝2×8，解得S12＝24. 4．若在数列{an}中，an＝43－3n，则当其前n项和Sn取最大值时，n＝(　　) A．13 B．14 C．15 D．14或15 解析　∵数列{an}中，an＝43－3n，易得{an}是等差数列，且a1＝40，∴Sn＝ eq \f(n(40＋43－3n),2)＝－ eq \f(3,2)n2＋ eq \f(83,2)n是关于n的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为直线n＝ eq \f(83,6).又n为正整数，与 eq \f(83,6)最接近的一个正整数为14，故Sn取得最大值时，n＝14.故选B. 5．(2023·重庆渝中区联考)等差数列{an}的前n项和是Sn，且满足S5＝S10，若Sn存在最大值，则下列说法正确的是(　　) A．a1＋a16>0 B．a2＋a15<0 C．a1＋a14<0 D．a2＋a14>0 解析　因为Sn存在最大值，所以公差d<0，又S5＝S10，即a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，所以a8＝0，则a1＋a16<a1＋a15＝0，故选项A错误；a2＋a15<a1＋a15＝0，故选项B正确；a1＋a14>a1＋a15＝0，故选项C错误；a2＋a14＝a1＋a15＝0，故选项D错误． 6．若等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，记bn＝ eq \f(Sn,n)，则(　　) A．数列{bn}是等差数列，{bn}的公差为d B．数列{bn}是等差数列，{bn}的公差为2d C．数列{an＋bn}是等差数列，{an＋bn}的公差为d D．数列{an－bn}是等差数列，{an－bn}的公差为 eq \f(d,2) 解析　由题可得an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ eq \f(n(n－1),2)d，则bn＝ eq \f(Sn,n)＝a1＋ eq \f(n－1,2)d＝a1＋(n－1) eq \f(d,2)，则数列{bn}是公差为 eq \f(d,2)的等差数列，故A、B错误；由an＋bn＝2a1＋(n－1) eq \f(3d,2)，可知数列{an＋bn}是公差为 eq \f(3d,2)的等差数列，故C错误；由an－bn＝(n－1) eq \f(d,2)，可知数列{an－bn}是公差为 eq \f(d,2)的等差数列，故D正确．故选D. 7．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前10项和为 ． 解析　因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝ eq \f(n(3＋2n＋1),2)＝n2＋2n，所以 eq \f(Sn,n)＝n＋2，所以 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋ eq \f(10×9,2)×1＝75. 8．某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为 米． 解析　将20个树坑依次编号为1，2，…，20. 设在第n个树坑旁放置树苗，1≤n≤20，且n∈N*， 则路程总和S＝2×10×[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＋1＋2＋…＋(20－n)] ＝20× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n(n－1),2)＋\f((21－n)(20－n),2))) ＝20(n2－21n＋210). 所以当n＝10或n＝11时，S取得最小值，为2 000米． 9．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn的最小值． 解　(1)设{an}的公差为d， 由已知，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－7，,S3＝3a1＋3d＝－15，))所以d＝2， 所以{an}的通项公式为an＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝－7n＋ eq \f(n(n－1),2)×2＝n2－8n＝(n－4)2－16，所以当n＝4时，Sn取得最小值－16. 10．甲、乙两人分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动几分钟后相遇？ (2)如果甲、乙在到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后两人第二次相遇？ 解　(1)设开始运动n分钟后两人相遇，由题意， 得2n＋ eq \f(n(n－1),2)＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0， 解得n＝7或n＝－20(舍去). 所以甲、乙在开始运动7分钟后相遇． (2)由(1)知两人在开始运动7分钟后第一次相遇，设k分钟后两人第二次相遇，则k>7， 由题意，得2k＋ eq \f(k(k－1),2)＋5k＝3×70， 整理得k2＋13k－420＝0. 解得k＝15或k＝－28(舍去). 所以第二次相遇是在开始运动15分钟后． 能力提升 11．(多选)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且S6>S7>S5，则下列命题中正确的是(　 　) A．d<0 B．S11>0 C．S12<0 D．数列{Sn}中的最大项为S11 解析　∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，故A正确；S11＝ eq \f(11,2)(a1＋a11)＝11a6>0，故B正确；S12＝ eq \f(12,2)(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，故C不正确；{Sn}中最大项为S6，故D不正确．故选AB. 12．(多选)(2024·辽宁沈阳期末)已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若S15>0， eq \f(a9,a8)<－1，则下列结论正确的是(　 　) A．|a9|>a8 B．当n＝8时，Sn最大 C．使Sn>0的n的最大值为16 D．数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))中的最小项为第9项 解析　∵在等差数列{an}中，S15＝ eq \f(15,2)(a1＋a15)＝15a8>0，∴a8>0，又∵ eq \f(a9,a8)<－1，∴a9<－a8<0，即a8＋a9<0，∴|a9|>a8，A正确；∵a8>0，a9<0，∴当n≤8时，an>0，当n≥9时，an<0，所以当n＝8时，Sn最大，B正确；∵a8＋a9<0，∴S16＝ eq \f(16,2)(a1＋a16)＝ eq \f(16,2)(a8＋a9)<0，又S15>0，∴使Sn>0的n的最大值为15，C错误；∵当n≤15时，Sn>0，当n≥16时，Sn<0，且当n≤8时，an>0，当n≥9时，an<0，∴当1≤n≤8或n≥16时， eq \f(Sn,an)>0；当9≤n≤15时， eq \f(Sn,an)<0，此时an<0且递减，Sn>0且递减，∴ eq \f(S9,a9)最小，D正确．故选ABD. 13．某公司今年年初用196万元引进一条生产线，第一年需要人工等费用24万元，如果从第二年起，包括人工等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元，那么引进该生产线 年后总盈利最大，最大是 万元．(盈利＝产值－费用) 解析　设引进设备n年后总盈利为f(n)万元，由题意知除去设备引进费用，每年的费用构成以24为首项，8为公差的等差数列，则除设备引进费用外前n年费用之和为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(24n＋\f(n(n－1),2)×8))万元，故f(n)＝100n－[24n＋4n(n－1)＋196]＝－4n2＋80n－196＝－4(n－10)2＋204，n∈N*，所以当n＝10时，f(n)max＝204，所以引进该生产线10年后总盈利最大，为204万元． 多元数学 14． eq \a\vs4\al(（结构不良题）)在①a4＋a5＝－4，②a2＋a6＝－6，③S7＝14这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题． 问题：等差数列{an}的前n项和为Sn，a7＝3.若 ，是否存在实数k，使得Sk－1>Sk且Sk<Sk＋1？若k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由． 解　若存在k，使得Sk－1>Sk且Sk<Sk＋1，则ak<0，ak＋1>0. 设等差数列{an}的公差为d. 若选择条件①：由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a7＝3，,a4＋a5＝－4，)) 得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋6d＝3，,2a1＋7d＝－4，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－9，,d＝2，)) 所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11(n∈N*). 令an<0，得n< eq \f(11,2)， 所以当k＝5时，满足a5<0，a6>0， 所以k＝5满足题意． 若选择条件②：由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a7＝3，,a2＋a6＝－6，)) 得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋6d＝3，,2a1＋6d＝－6，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－9，,d＝2，)) 所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11(n∈N*). 后同选择条件①. 若选择条件③：由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a7＝3，,S7＝14，)) 得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋6d＝3，,7a1＋21d＝14，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝\f(1,3)，)) 所以an＝1＋ eq \f(1,3)(n－1)＝ eq \f(1,3)n＋ eq \f(2,3)(n∈N*). 易知an>0恒成立， 所以不存在满足条件的实数k. $