3.2.1 双曲线及其标准方程（第2课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线定义的应用、轨迹问题及实际应用，通过例题解析与探究活动，承接双曲线标准方程知识，以定义转化、几何关系分析为学习支架，帮助学生深化对双曲线核心概念的理解。 其亮点在于结合逻辑推理与数学运算，通过神舟十八号救援等实际问题（例3）培养数学建模能力，利用轨迹问题（例2）引导学生用数学眼光抽象几何关系，采用问题驱动式教学。学生能提升知识应用能力，教师可借助系统例题与巩固题提高教学效率。

内容导航 课时学案 课后巩固 Content Navigation 01 02 3.2.1　双曲线及其标准方程 (第2课时) 素养目标 利用双曲线的定义解决轨迹问题及实际应用问题．(逻辑推理、数学运算) 课时学案 4 例 1 题型一　 双曲线定义的应用 第页 5 第页 探究1 第页 √ 第页 例 2　设动圆M的半径为r，分别求满足下列条件的动圆的圆心M的轨迹方程． (1)与圆C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2，0)； 题型二　 与双曲线有关的轨迹问题 第页 9 (2)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切． 第页 探究2 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种： ①列出等量关系，化简得到方程． ②寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程． (2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意： ①双曲线的焦点所在的坐标轴． ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 第页 【思路分析】　建立坐标系后利用正弦定理与双曲线的定义确定轨迹方程． 第页 第页 例 3　神舟十八号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距离P远，在4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求P相对于A的方位角． 题型三　 双曲线的实际应用 第页 14 第页 第页 探究3 实际问题中，涉及到两定点距离的差为常数的点的轨迹问题首先考虑所求轨迹是否为双曲线(或其一支)，一般地，利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下： (1)建立适当的坐标系． (2)求出双曲线的标准方程． (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)． 第页 思考题3　如图所示，某接报中心O接到其正西、正东、 正北方向三个观测点A，B，C的报告：A，C两个观测点同 时听到了一声巨响，B观测点听到的时间比A观测点晚4秒， 假定当时声音传播的速度的大小为v米/秒，各观测点到该 中心的距离都是3v米，设发出巨响的位置为点P，且A，B，C，O，P均在同一平面内．请你确定该巨响发生的点P的位置． 【解析】　以接报中心O为原点，正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立直角坐标系． 则A(－3v，0)，B(3v，0)，C(0，3v)， 设P(x，y)为巨响发生点，连接PB，PA，PC，PO，AC，由A，C同时听到巨响，得|PA|＝|PC|， 故P在AC的垂直平分线OP上，OP的方程为y＝－x. 第页 返 回 课后巩固 20 √ 第页 2．相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速为k千米/秒，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是(　　) A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．抛物线 √ 第页 √ 第页 √ 第页 第页 －4 返 回 请做：课时作业（三十四） 教师备用资料 【思路分析】　eq \x(利用双曲线的定义对|MA|＋|MB|进行转化)→ eq \x(最小值一般在三点共线时取得) 　如图，已知双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，点A的坐标为(－eq \r(5)，0)，B是圆x2＋(y－eq \r(5))2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值． 【解析】　记点D的坐标为(eq \r(5)，0)，则点A，D是双曲线的焦点，如图，连接MD，BD，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2. ∴|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|. 又点B是圆x2＋(y－eq \r(5))2＝1上的点，圆的圆心为C(0，eq \r(5))，半径为1，连接CD，故|BD|≥|CD|－1＝eq \r(10)－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥eq \r(10)＋1， 当点M，B在线段CD上时，上式取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为eq \r(10)＋1. 设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q(x0，y0)为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点． (1)若定点Q(x0，y0)在双曲线右支的内侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF1|－2a，最大值不存在． (2)若定点Q(x0，y0)在双曲线右支的外侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF2|，最大值不存在． 【解析】　如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝eq \r([3－（－3）]2＋12)＝eq \r(37).因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2eq \r(5)，故|AP|＋|AF2|的最小值为eq \r(37)－2eq \r(5). 思考题1　已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点，点P(3，1)，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　) A.eq \r(37)＋4　　　　　　　 B.eq \r(37)－4 C.eq \r(37)－2eq \r(5) D.eq \r(37)＋2eq \r(5) 【解析】　(1)连接MC，MA，∵圆C与圆M内切，点A在圆C外， ∴|MC|＝r－eq \r(2)，|MA|＝r，∴|MA|－|MC|＝eq \r(2)， 即动点M到两定点A(2，0)，C(－2，0)的距离之差为常数eq \r(2)，且eq \r(2)<|AC|＝4， ∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支， ∴点M的轨迹方程是2x2－eq \f(2y2,7)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(\r(2),2))). 【解析】　(2)连接MC1，MC2，∵圆M与圆C1外切，与圆C2内切， ∴|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1，∴|MC1|－|MC2|＝4<|C1C2|＝6， ∴点M的轨迹是以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点的双曲线的右支， ∴点M的轨迹方程是eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥2)． 【解析】　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)． 由正弦定理，得sin A＝eq \f(|CB|,2R)，sin B＝eq \f(|CA|,2R)，sin C＝eq \f(|AB|,2R)(R为△ABC外接圆的半径)． 思考题2　如图，在△ABC中，已知|AB|＝4eq \r(2)，且内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． ∵2sin A＋sin C＝2sin B， ∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|， 从而有|CA|－|CB|＝eq \f(1,2)|AB|＝2eq \r(2)<|AB|. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)． ∵a＝eq \r(2)，c＝2eq \r(2)，∴b2＝c2－a2＝6，则顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1(x>eq \r(2))． 【解析】　如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系， 则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2eq \r(3))．连接PA，PB，PC，BC，设D为BC中点，连接PD， 由题可知|PB|＝|PC|， ∴点P在线段BC的垂直平分线上， 又易知kBC＝－eq \r(3)，D(－4，eq \r(3))， ∴直线PD的方程为y－eq \r(3)＝eq \f(1,\r(3))(x＋4)，① 又|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|， ∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，b＝eq \r(5)， 即点P在曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥2)上，② 联立①②，得P点坐标为(8，5eq \r(3))， ∴kPA＝eq \f(5\r(3),8－3)＝eq \r(3)，因此P在A的北偏东30°方向上． 因为B点比A点晚4秒听到巨响， 故|PB|－|PA|＝4v，由双曲线定义知P点在以A，B为焦点的双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左支上， 依题意得a＝2v，c＝3v，∴b2＝c2－a2＝(3v)2－(2v)2＝5v2， 故双曲线方程为eq \f(x2,4v2)－eq \f(y2,5v2)＝1，将y＝－x代入上式，得x＝－2eq \r(5)v(正值舍去)， ∴y＝2eq \r(5)v，即P(－2eq \r(5)v，2eq \r(5)v)， 故|PO|＝2eq \r(10)v.故巨响发生在接报中心的西偏北45°方向且距接报中心2eq \r(10)v米处． 1.如图，双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,10)＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．4 C．6 D．8 解析　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|AF1|＝|AF2|＋2a，,|BF1|＝|BF2|＋2a，))得|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋4a＝|AB|＋4a. 所以|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝2|AB|＋4a.而|AB|＝m，则△ABF1的周长为2m＋4a. 3．已知双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为(　　) A．2a＋2m B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m 4．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　) A.eq \f(x2,8)＋y2＝1 B．x2＋eq \f(y2,8)＝1 C.eq \f(x2,8)－y2＝1(x≥1) D．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1) 解析　设动圆M的半径为r，连接MC1，MC2，因为动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋3，|C1C2|＝6，则|MC2|－|MC1|＝2<|C1C2|.故动圆圆心M的轨迹是以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点的双曲线的左支．又因为c＝3，a＝1，解得b＝2eq \r(2)，故其轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)． 5．已知定点A(－5，0)，B(5，4)，点P为双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1右支上任意一点，则|PB|－|PA|的最大值为________． 解析　依题意可知a＝4，b＝3，所以c＝eq \r(a2＋b2)＝5，所以A(－5，0)为双曲线的左焦点，设右焦点为F(5，0)，连接PF，BF，所以|PB|－|PA|＝|PB|－(|PF|＋2a)＝|PB|－|PF|－8≤|BF|－8＝4－8＝－4.当且仅当P，F，B三点共线时，取等号． $