2.5.1第2课时直线与圆的位置关系的应用课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系的应用，通过自主学习通道的填一填梳理坐标法步骤，练一练巩固基础判断，衔接互动探究的实际问题分析，构建从知识回顾到应用拓展的学习支架。 其特色在于以问题情境驱动，结合数学眼光分析几何图形，数学思维推理坐标法应用，如船触礁问题、卡车过隧道等实例。课堂小结通过知识清单和方法归纳，帮助学生系统掌握，教师可直接用于分层教学，提升学生应用能力和教学效率。

第二章　直线和圆的方程 2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 第2课时　直线与圆的位置关系的应用 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 平面几何 代数 自主学习通道 √ √ × √ 自主学习通道 C 自主学习通道 D 自主学习通道 自主学习通道 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 C 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 D 巩固提升通道 D 巩固提升通道 B 巩固提升通道 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2x－4y＋3＝0 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.97 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.能用坐标法及直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.2.会用“数形结合”的数学思想解决问题． 填一填 用坐标法解决几何问题分为三步： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，把 eq \o(□,\s\up4(1)) 问题转化为 eq \o(□,\s\up4(2)) 问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 练一练 1．判断正误 (1)圆心到圆的切线的距离等于半径．(　　) (2)点到圆上的点的距离的最大值为点到圆心的距离与半径之和．(　　) (3)利用坐标法解决实际问题时，若建立的平面直角坐标系不同，则所得结果不同．(　　) (4)同一圆的两条弦的垂直平分线的交点为圆心．(　　) 2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是(　　) A．8 B．－4 C．6 D．无法确定 解析　因为圆上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，所以直线x－y＋3＝0过圆心 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0))，从而－ eq \f(m,2)＋3＝0，即m＝6. 3．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4在x轴上方所围成的图形的面积是(　　) A． eq \f(π,4) B． eq \f(3π,4) C． eq \f(3π,2) D．π 解析　如图，可知所求面积是圆x2＋y2＝4面积的 eq \f(1,4)，即 eq \f(1,4)×π×22＝π. 4．如图是一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为 m. 2 eq \r(51) 解析　如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，设圆心为C，半径为r，则圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2，设水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)，将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝ eq \r(51)，∴当水面下降1 m后，水面宽为2x0 ＝2 eq \r(51) m． 类型一　直线与圆的方程的实际应用 【例1】　如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向且距O岛40 eq \r(2)千米处，B岛在O岛的正东方向且距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向且距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 解　(1)由题意，得O(0，0)，A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(F＝0，,402＋402＋40D＋40E＋F＝0，,202＋20D＋F＝0，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－20，,E＝－60，,F＝0，)) ∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0. (2)该船初始位置为点E， 则E(－20，－20 eq \r(3))， 且该船航线所在直线l的斜率为1， 故该船航线所在的直线为l：x－y＋20－20 eq \r(3)＝0， 由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r＝10 eq \r(10)， 由于圆心C到直线l的距离d＝ eq \f(|10－30＋20－20\r(3)|,\r(12＋12))＝10 eq \r(6)<10 eq \r(10)， 故该船有触礁的危险. 解决直线与圆的方程实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． [跟踪训练1]　一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过(　　) A．1.4米 B．3.0米 C．3.6米 D．4.5米 解析　可画出示意图如图所示，通过勾股定理解得此卡车的篷顶距离地面的高度为OD＝ eq \r(OC2－CD2)＝ eq \r(4.52－2.72)＝3.6(米). 类型二　坐标法的应用 【例2】　在△ABO中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值． 解　以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，设△AOB的内切圆的半径为r，点P(x，y). 由等面积法知3×4＝r(3＋4＋5)，∴r＝1. ∴内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 即x2＋y2－2y＝2x－1.① 又|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25，　② ∴将①代入②，得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1) －8x＋25＝－2x＋22. ∵P(x，y)是内切圆上的点，∴0≤x≤2， ∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18. 又三个圆的面积之和为π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PA|,2))) eq \s\up42(2)＋π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PB|,2))) eq \s\up42(2)＋π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PO|,2))) eq \s\up42(2)＝ eq \f(π,4)(|PA|2＋|PB|2＋|PO|2)， ∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为 eq \f(11π,2)，最小值为 eq \f(9π,2). 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则 (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得． [跟踪训练2]　在平面四边形ABCD中，连接对角线BD，已知CD＝9，BD＝16，∠BDC＝90°，sin ∠BAD＝ eq \f(4,5)，求对角线AC的最大值． 解　如图所示，由于sin ∠BAD＝ eq \f(4,5)，BD＝16为定值， 故A在以BD为弦的圆上运动，设该圆的半径为R， 由正弦定理得2R＝ eq \f(16,\f(4,5))＝20，R＝10，故圆心的坐标为 (8，－6)，AC的最大值即为CA′的值，也即是CO＋R的值，由两点间的距离公式有CO＋R＝ eq \r(82＋152)＋10＝27. 故对角线AC的最大值为27. 类型三　与圆有关的最值问题 【例3】　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1) eq \f(y,x)的最大值和最小值； (2)y－x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 解　如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以C(2，0)为圆心， eq \r(3)为半径的圆． (1)设 eq \f(y,x)＝k，即y＝kx，当圆心(2，0)到直线y＝kx的距离为半径， 即直线与圆相切于点P，P′时，斜率分别取得最大值、最小值． 由 eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝ eq \r(3)，解得k2＝3， ∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x))) eq \s\do7(max)＝ eq \r(3)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x))) eq \s\do7(min)＝－ eq \r(3). (2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切时，直线在y轴上的截距b取最小值和最大值， 由点到直线的距离公式，得 eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝ eq \r(3)， 即b＝－2± eq \r(6)， 故(y－x)min＝－2－ eq \r(6)，(y－x)max＝－2＋ eq \r(6). (3)x2＋y2表示圆上的点与原点的距离的平方．设圆C与x轴交于B，C′两点(点B在点C′左边)，如图，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋ eq \r(3))2＝7＋4 eq \r(3)，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－ eq \r(3))2＝7－4 eq \r(3). 与圆有关的最值问题的常见解法 (1)形如μ＝ eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． (3)形如s＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. [跟踪训练3]　已知实数x，y满足y＝ eq \r(3－x2)，试求m＝ eq \f(y＋1,x＋3)及b＝2x＋y的取值范围． 解　y＝ eq \r(3－x2)表示以原点为圆心， eq \r(3)为半径的上半圆． 设P(－3，－1)，则m＝ eq \f(y＋1,x＋3)表示过点P与半圆上的点的直线的斜率，如图1，kPB＝ eq \f(1,\r(3)＋3)＝ eq \f(3－\r(3),6)，当直线y＋1＝m(x＋3)与半圆相切时，m＝ eq \f(3＋\r(21),6)(负值舍去). 故 eq \f(3－\r(3),6)≤m≤ eq \f(3＋\r(21),6). 如图2， 当直线2x＋y＝b通过(－ eq \r(3)，0)时，b＝－2 eq \r(3)； 当直线2x＋y＝b与半圆相切时，b＝ eq \r(15)(负值舍去). 所以－2 eq \r(3)≤b≤ eq \r(15). 1．知识清单 (1)直线与圆的方程的实际应用． (2)坐标法的应用． (3)与圆有关的最值问题． 2．方法归纳：数学建模、坐标法． 3．常见误区：不能正确进行数学建模． 1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是(　　) A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝25(y≥0) C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0) D．随建立直角坐标系的变化而变化 2．圆(x＋1)2＋y2＝2上的点到直线y＝x＋3的距离的最大值为(　　) A．1 B．2 C． eq \r(2) D．2 eq \r(2) 解析　由题意可知圆心坐标为(－1，0)，半径为 eq \r(2)，故圆上的点到直线y＝x＋3的最大距离d＝ eq \f(|－1－0＋3|,\r(2))＋ eq \r(2)＝2 eq \r(2)，故选D. 3．已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点，则 eq \f(y－2,x－1)的最小值为(　　) A． eq \f(\r(3)－3,4) B． eq \f(3－\r(3),4) C． eq \f(3－\r(3),2) D． eq \f(\r(3)－3,2) 解析　设k＝ eq \f(y－2,x－1)，则直线kx－y－k＋2＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点，所以 eq \f(|－3k＋2|,\r(k2＋1))≤1，所以 eq \f(3－\r(3),4)≤k≤ eq \f(3＋\r(3),4)，所以kmin＝ eq \f(3－\r(3),4). 4．设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可以用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一条小路可以用方程x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是 ． eq \f(7\r(2),2)－2 解析　从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即 eq \f(|2＋3＋2|,\r(12＋(－1)2))－2＝ eq \f(7\r(2),2)－2. 基础巩固 1．如图，为测量某种金属材料的硬度，用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面，在材料表面留下一个凹坑，现测得凹坑直径为10 mm，若所用钢珠的直径为26 mm，则凹坑深度为(　　) A．1 mm B．2 mm C．3 mm D．4 mm 解析　连接OA，依题意得，OA2＝AM2＋OM2， 从而OM＝12 mm，故CM＝13－12＝1(mm)，故选A. 2．一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40海里处有一个小岛A，距离小岛10海里范围内可能存在暗礁．若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则暗礁所在区域边界的方程为(　　) A．(x＋20)2＋(y－20 eq \r(3))2＝100 B．(x－20)2＋(y＋20 eq \r(3))2＝100 C．(x＋20)2＋(y＋20 eq \r(3))2＝10 D．(x－20)2＋(y－20 eq \r(3))2＝100 解析　易得暗礁所在区域边界为一个圆，过A作y轴的垂线，垂足为B，则∠AOB＝30°，∵|OA|＝40， ∴|AB|＝20，|OB|＝ eq \r(402－202)＝20 eq \r(3)， ∴暗礁所在区域边界的方程为(x－20)2＋(y－20 eq \r(3))2＝100. 3．圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为(　　) A．2＋ eq \r(2) B．2－ eq \r(2) C． eq \r(2) D．0 解析　∵圆心(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝ eq \r(2)，圆的半径为2，∴所求最大距离为2＋ eq \r(2). 4．(2023·南昌联考)过点P(0，1)且与圆x2＋y2－2x－3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是(　　) A．x＝0 B．y＝1 C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0 解析　被圆截得的最长弦是直径，于是所求直线过圆心(1，0)及点P(0，1)，故直线方程是x＋y－1＝0. 5．如图是一个圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道所在圆的半径是(　　) A．5米 B． eq \f(37,7)米 C． eq \f(37,5)米 D．7米 解析　∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝ eq \f(1,2)AB＝ eq \f(1,2)×10＝5米，在Rt△OAD中，设半径OA＝R，则OD＝CD－R＝7－R， ∴OA2＝OD2＋AD2， 即R2＝(7－R)2＋52，解得R＝ eq \f(37,7). ∴此隧道所在圆的半径是 eq \f(37,7)米，故选B. 6．如图，经测得某圆拱索桥的跨度AB＝100米，拱高OP＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是(注： eq \r(10)取3.162)(　　) A．6.48米 B．4.48米 C．2.48米 D．以上都不对 解析　以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴、过点P且平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知，点A的坐标为(－50，－10)，设圆拱桥弧所在圆的半径为r，由勾股定理可得(r－OP)2＋OA2＝r2，即(r－10)2＋502＝r2，解得r＝130，∴圆心坐标为(0，－130)，则圆的方程为x2＋(y＋130)2＝1302，将x＝－30代入圆的方程得(y＋130)2＝1302－(－30)2＝16 000，∵y>－10，∴y＝40 eq \r(10)－130，∴MN＝(40 eq \r(10)－130)－(－10)＝40 eq \r(10)－120≈6.48(米).故选A. 7．已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度为 米． 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，O是圆心，由题 意得|OA|＝2.5，半圆方程为x2＋y2＝16(y≥0)，A(2.5，0)，B 在半圆上，且BA⊥x轴， 则y eq \o\al(2,B)＝16－2.52＝9.75，yB＝ eq \f(\r(39),2). 所以车辆的最大高度为 eq \f(\r(39),2)米． eq \f(\r(39),2) 8．过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为 . 解析　易知点P在圆内，当∠ACB最小时，弦长AB最短，此时CP⊥AB.由于C(1，0)，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∴kCP＝－2，∴kAB＝ eq \f(1,2)，∴直线l的方程为y－1＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即2x－4y＋3＝0. 9．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东方向40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北方向30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) 解　如图，以O为坐标原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系， 则A(40，0)，B(0，30)， 圆O的方程为x2＋y2＝252. 直线AB的方程为 eq \f(x,40)＋ eq \f(y,30)＝1， 即3x＋4y－120＝0. 设点O到直线AB的距离为d， 则d＝ eq \f(|－120|,5)＝24<25， 所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t， 则t＝ eq \f(2\r(252－242),28)＝0.5(h). 所以这艘外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5 h． 10．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点． (1)求四边形PACB面积的最小值； (2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解　(1)如图，连接PC， 易知圆C的圆心为(1，1)，半径为1，所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2× eq \f(1,2)×|AP|×|AC|＝|AP|. 因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1， 所以当|PC|最小时，|AP|最小． 易知|PC|的最小值为点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离， 即|PC|min＝ eq \f(|3＋4＋8|,\r(32＋42))＝3，所以|AP|min＝ eq \r(9－1)＝2 eq \r(2)， 即四边形PACB面积的最小值为2 eq \r(2). (2)由(1)知|PC|min＝3，若∠APB＝60°，则需|PC|＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的． 能力提升 11．已知边长为2的等边三角形ABC，D是平面ABC内一点，且满足|DB|∶|DC|＝2∶1，则三角形ABD面积的最小值是(　　) A． eq \f(4,3)( eq \r(3)－1) B． eq \f(4,3)( eq \r(3)＋1) C． eq \f(4\r(3),3) D． eq \f(\r(3),3) 解析　以BC的中点O为原点，建立如图所示的直角坐标系， 则A(0， eq \r(3))，B(－1，0)，C(1，0)，设D(x，y)，因为|DB|∶|DC|＝2∶1，所以(x＋1)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,3))) eq \s\up42(2)＋y2＝ eq \f(16,9)，所以点D的轨迹为以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，0))为圆心，以 eq \f(4,3)为半径的圆，当点D到直线AB的距离最小时，△ABD的面积最小，易知直线AB的方程为 eq \r(3)x－y＋ eq \r(3)＝0，|AB|＝2，点D到直线AB的最小距离为 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),3)＋\r(3))),2)－ eq \f(4,3)＝ eq \f(4\r(3),3)－ eq \f(4,3)，所以△ABD面积的最小值为 eq \f(1,2)×2 × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)－\f(4,3)))＝ eq \f(4,3)( eq \r(3)－1).故选A. 12．(2024·淮安涟水中学检测)若直线y＝x＋b与曲线x＝ eq \r(1－y2)有且仅有一个公共点，则b的取值范围是(　　) A．b＝± eq \r(2) B．－1<b≤1或b＝－ eq \r(2) C．－1≤b≤1 D．以上都不对 解析　将方程x＝ eq \r(1－y2)两边平方并整理，得x2＋y2＝1(x≥0)，所以曲线为以原点为圆心，1为半径的圆的右半部分．如图，画出曲线和直线y＝x＋b，平移直线，数形结合可知，当－1<b≤1时，直线与曲线有且只有一个公共点；当直线与半圆相切时，有且只有一个公共点，此时圆心到直线的距离d＝ eq \f(|b|,\r(2))＝1，解得b＝± eq \r(2)，由图知b＝－ eq \r(2).综上，－1<b≤1或b＝－ eq \r(2). 13．如图是一公路隧道截面图，四边形ABCD是矩形，且AB＝4 m，BC＝8 m，隧道顶APD是一圆弧，拱高OP＝2 m，隧道有两车道EF和FG，每车道宽3.5 m，车道两边留有0.5 m的人行道BE和GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是 m．(精确到0.01 m， eq \r(51)≈7.14) 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设弧APD所在圆的圆心为O1(0，b)，半径为r，连接O1D，则其方程为x2＋(y－b)2＝r2. 将P(0，2)，D(4，0)的坐标代入以上方程， 解得b＝－3，r＝5， 故圆O1的方程为x2＋(y＋3)2＝25. 过点E作AD的垂线交AD于点M，延长交弧APD于点N，由题意设N点坐标为(－3.5，h)，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，h))， 将N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，h))代入圆O1的方程，整理得(h＋3)2＝ eq \f(51,4)， 解得h＝ eq \f(\r(51),2)－3≈ eq \f(7.14,2)－3＝0.57， 即|MN|＝0.57(m)， 则|EN|＝4＋0.57＝4.57(m)， 从而车辆的限高为4.57－0.6＝3.97(m). 多元数学 14．(直观想象)已知点P(x，y)满足方程x2＋y2－6x－6y＋16＝0. (1)求 eq \f(x＋y－3,x－1)的取值范围； (2)求|2x＋y－1|的取值范围． 解　(1)已知方程可以化为(x－3)2＋(y－3)2＝2，是以(3，3)为圆心， eq \r(2)为半径的圆， eq \f(x＋y－3,x－1)＝ eq \f(x－1＋y－2,x－1)＝1＋ eq \f(y－2,x－1)， eq \f(y－2,x－1)表示点(x，y)与点(1，2)连线的斜率，由于x≠1，故可设过点(1，2)的直线方程为y－2＝k(x－1)，则有kx－y＋2－k＝0. 利用圆心(3，3)到直线的距离d＝ eq \f(|3k－3＋2－k|,\r(1＋k2))≤ eq \r(2)， 可得k∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(6),2)，1＋\f(\r(6),2)))， 所以 eq \f(x＋y－3,x－1)＝1＋ eq \f(y－2,x－1)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)，2＋\f(\r(6),2))). (2)由点到直线的距离公式可知|2x＋y－1|为点(x，y)到直线l1：2x＋y－1＝0的距离的 eq \r(5)倍，即|2x＋y－1|＝ eq \r(5)× eq \f(|2x＋y－1|,\r(5))， 圆心到直线l1的距离d1＝ eq \f(|2×3＋3－1|,\r(5))＝ eq \f(8\r(5),5)，故圆上的点到直线l1的距离最大值为 eq \f(8\r(5),5)＋ eq \r(2)，圆上的点到直线l1的距离最小值为 eq \f(8\r(5),5)－ eq \r(2)，即 eq \f(|2x＋y－1|,\r(5))∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8\r(5),5)－\r(2)，\f(8\r(5),5)＋\r(2)))，所以|2x＋y－1|∈[8－ eq \r(10)，8＋ eq \r(10)]. $