2.5.1　直线与圆的位置关系 第2课时 直线与圆的方程的应用-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线与圆的方程的应用”，通过例1直线与半圆位置关系导入，衔接直线与圆位置关系旧知，以探究总结数形结合方法、最值问题转化策略，搭建递进式学习支架。 其亮点在于题型设计层层递进，结合圆拱桥、海岛等实际问题培养数学建模，通过图形分析发展直观想象，运算过程提升数学运算。学生能掌握转化思想，教师可借助系统例题与练习提高教学效率。

内容导航 课时学案 课后巩固 自助餐 Content Navigation 01 02 03 2.5.1　直线与圆的位置关系(第2课时) 直线与圆的方程的应用 素养目标 1.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．(数学建模、数学运算)2.会用“数形结合”的数学思想解决问题．(直观想象) 课时学案 4 例 1 题型一　 数形结合问题 第页 5 探究1 第页 第页 例 2 第页 (2)求y－x的最大值和最小值； 第页 (3)求x2＋y2的最大值和最小值． 第页 探究2 第页 第页 例 3　如图，一座圆拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？ 题型二　 圆的方程的实际应用 【解析】　以圆拱桥拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，如图． 设圆拱桥所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2①. 第页 13 第页 探究3 解决此类问题的关键是建系，合理适当地建系对问题的解决会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体会． 第页 3.3 第页 第页 例 4 【思路分析】　把有关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后把此实际问题转化为代数问题来解决． 第页 第页 (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 第页 探究4 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 第页 √ 第页 返 回 课后巩固 24 √ 第页 √ 第页 3．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P的轨迹方程是(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2 C．y2＝2x D．y2＝－2x √ 第页 4．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为2.5 m的货车________驶入这条隧道(填“能”或“不能”)． 能 第页 返 回 自助餐 30 例 圆上的点到直线的距离个数问题的解法 √ √ √ 31 第页 探究 当直线与圆相交时，设圆心到直线的距离为d(d＞0)，圆的半径为r，则圆上的点到直线的最大距离为r＋d，劣弧上的点到直线的最大距离为r－d. (1)若圆上有且仅有四个点到直线的距离为m，则0＜d<r－m. (2)若圆上有且仅有三个点到直线的距离为m，则d＝r－m. (3)若圆上有且仅有两个点到直线的距离为m，则r－d<m＜r＋d. (4)若圆上有且仅有一个点到直线的距离为m，则d＝m－r. 第页 √ 返 回 请做：课时作业（二十七） 教师备用资料 【解析】　如图，在坐标系中作出曲线y＝eq \r(4－x2)(半圆)和直线l1：y＝x－2，直线l2：y＝x＋2eq \r(2). 当直线l：y＝x＋b夹在l1与l2之间(包括l1，l2)时，l与曲线y＝eq \r(4－x2)有公共点，所以b的取值范围为[－2，2eq \r(2)]． 若直线y＝x＋b与曲线y＝eq \r(4－x2)有公共点,则b∈__________． [－2，2eq \r(2)] (1)数形结合是解此类题目的有效方法． (2)y＝eq \r(4－x2)表示上半圆，x＝eq \r(4－y2)表示右半圆． 【解析】　曲线x＝eq \r(4－y2)表示圆x2＋y2＝4的右半圆，直线y＝x＋b斜率为1，如图． 当直线y＝x＋b与右半圆x＝eq \r(4－y2)相切时，b＝－2eq \r(2)；当直线过点(0，－2)时，b＝－2，此时有两个交点． ∴b的范围为(－2eq \r(2)，－2]． 思考题1　若直线y＝x＋b与曲线x＝eq \r(4－y2)有两个公共点，则b∈_______________． (－2eq \r(2)，－2] 【解析】　原方程化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，半径为eq \r(3)的圆． (1)设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取到最值，此时有eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3)，故eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3). 　若实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值； 【解析】　 (2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，b取到最值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，即b＝－2±eq \r(6)，故(y－x)max＝－2＋eq \r(6)，(y－x)min＝－2－eq \r(6). 【解析】　(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知在过原点与圆心的直线与圆的两个交点处取到最值．又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，(x2＋y2)min＝(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3). 与圆上点(x，y)有关的最值问题的解法 (1)形如t＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值． (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． (3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题． 【解析】　如图1，kPB＝eq \f(1,\r(3)＋3)＝eq \f(3－\r(3),6)，当直线y＋1＝m(x＋3)与半圆相切时，m＝eq \f(3＋\r(21),6). 故eq \f(3－\r(3),6)≤m≤eq \f(3＋\r(21),6). 如图2，当直线2x＋y＝b经过C(－eq \r(3)，0)时，b＝－2eq \r(3)； 当直线2x＋y＝b与半圆相切时，b＝eq \r(15). 所以－2eq \r(3)≤b≤eq \r(15). 思考题2　已知实数x，y满足y＝eq \r(3－x2)，试求m＝eq \f(y＋1,x＋3)及b＝2x＋y的取值范围． 将点A的坐标(6，－2)代入①，得36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10. ∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100②. 当水面下降1米后，不妨设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)， 将A′的坐标(x0，－3)代入②，得x0＝eq \r(51). ∴水面下降1米后，水面宽为2x0＝2eq \r(51) 米． 思考题3　如图为某圆拱形桥的平面示意图，已知圆拱桥跨度|AB|＝30 m，拱高|OP|＝5 m，建造时每间隔6 m需要用一根支柱支撑，则支柱A1P1的高度约为________ m(结果保留一位小数，eq \r(544)≈23.3)． 【解析】　方法一：以O为原点建系，设圆拱桥所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，如图，连接HA， 则|HA|2＝|HO|2＋|AO|2⇒r2＝(r－5)2＋152⇒r＝25，所以|HO|＝20， 则圆的标准方程为x2＋(y＋20)2＝252. 由题意设P1(－9，y)，y>0，代入圆的方程得(－9)2＋(y＋20)2＝252，解得y＝eq \r(544)－20≈3.3(负值已舍去)，所以支柱A1P1的高度约为3.3 m. 方法二：建立如图所示的直角坐标系，则圆拱桥所在圆的圆心在y轴上．设圆心坐标为(0，b)，圆的半径为r，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2.因为P，B都在圆上，所以它们的坐标(0，5)，(15，0)都是圆的方程的解，于是得到方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(02＋（5－b）2＝r2，,152＋（0－b）2＝r2，)) 解得b＝－20，r2＝625， ∴圆的标准方程为x2＋(y＋20)2＝252， 以下同方法一． 　如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40eq \r(2)千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．已知存在圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； 【解析】　(1)由题意，得A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,402＋402＋40D＋40E＋F＝0，,202＋20D＋F＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－20，,E＝－60，,F＝0，)) ∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0. 【解析】　(2)该船初始位置为点D，则D(－20， －20eq \r(3))， 由题可知该船航线所在直线l的斜率为1， 故直线l：x－y＋20－20eq \r(3)＝0， 由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r＝10eq \r(10)， 由于圆心C到直线l的距离d＝eq \f(|10－30＋20－20\r(3)|,\r(12＋12))＝10eq \r(6)<10eq \r(10)， 故该船有触礁的危险． 思考题4　某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向50eq \r(6)米的A处出发，沿西北方向走向位于设备正北方向的B处，则这名工作人员被持续监测的时长为(　　) A．1分钟　　　　　 　 B.eq \f(3,2)分钟 C．2分钟 D.eq \f(5,2)分钟 【解析】　以设备的位置为坐标原点O，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系xOy，如图所示， 则A(50eq \r(6)，0)，B(0，50eq \r(6))， 可得lAB：x＋y＝50eq \r(6)，设备监测范围表示的区域为圆O：x2＋y2＝10 000. 记从N处开始被监测，到M处监测结束，连接MO， 因为O到lAB的距离为d＝eq \f(|－50\r(6)|,\r(12＋12))＝50eq \r(3)(米)， 所以|MN|＝2eq \r(|MO|2－d2)＝100(米)，故监测时长为eq \f(100,50)＝2(分钟)． 1．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，以公园外两点A(－2，0)，B(0，2)与公园边上任意一点为顶点修建一处三角形舞台，则舞台面积的最小值为(　　) A．3－eq \r(2)　　　　　　　　 B．3＋eq \r(2) C．3－eq \f(\r(2),2) D.eq \f(3－\r(2),2) 2．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4在x轴上方所围成的图形的面积是(　　) A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(3π,2) D．π 解析　由题意知，圆心(1，0)与P点之间的距离为eq \r(2)，所以点P在以(1，0)为圆心，以eq \r(2)为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2. 解析　以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆方程为x2＋y2＝16(y≥0)． 将x＝2.7代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝eq \r(16－2.72)＝eq \r(8.71)>2.5，即在离中心线2.7 m处，隧道高度高于货车的高度，所以货车能驶入这条隧道． 解析　直线y＝k(x＋1)过定点(－1，0)， 由y＝eq \r(2x－x2)得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)， 故曲线y＝eq \r(2x－x2)是圆心为(1，0)，半径为1的半圆， 如图所示，当直线与半圆相切时，易知直线倾斜角为30°，直线的斜率k＝eq \f(\r(3),3)，由图可得0≤k≤eq \f(\r(3),3). 5．若直线y＝k(x＋1)与曲线y＝eq \r(2x－x2)有公共点，则实数k的取值范围是___________． 0≤k≤eq \f(\r(3),3) 　【多选题】已知直线l：y＝x＋b，圆O：x2＋y2＝4，则下列说法正确的是(　　) A．若圆O上恰有1个点到直线l的距离为1，则b＝±3eq \r(2) B．若圆O上恰有2个点到直线l的距离为1，则b∈(－3eq \r(2)，3eq \r(2)) C．若圆O上恰有3个点到直线l的距离为1，则b＝±eq \r(2) D．若圆O上恰有4个点到直线l的距离为1，则b∈(－eq \r(2)，eq \r(2)) 【解析】　圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，若圆O上恰有1个点到直线l的距离为1，则圆心到直线l的距离为3，即eq \f(|b|,\r(1＋1))＝3，解得b＝±3eq \r(2)，A正确；若圆O上恰有2个点到直线l的距离为1，则圆心到直线l的距离大于1，小于3，即eq \f(|b|,\r(1＋1))∈(1，3)，解得b∈(－3eq \r(2)，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，3eq \r(2))，B错误；若圆O上恰有3个点到直线l的距离为1，则圆心到直线l的距离等于1，即eq \f(|b|,\r(1＋1))＝1，解得b＝±eq \r(2)，C正确；若圆O上恰有4个点到直线l的距离为1，则圆心到直线l的距离小于1，即eq \f(|b|,\r(1＋1))<1，解得b∈(－eq \r(2)，eq \r(2))，D正确． 【解析】　圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝4， 所以圆心坐标为(－1，1)，半径r为2， 又圆心(－1，1)到直线l：x＋y＋eq \r(2)＝0的距离d＝eq \f(|－1＋1＋\r(2)|,\r(1＋1))＝1， 所以d＝eq \f(1,2)r，所以圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋eq \r(2)＝0的距离为1的点共有3个． 思考题　圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋eq \r(2)＝0的距离为1的点共有(　　) A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个 $