3.1.1椭圆及其标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程及应用，从实际背景导入，引导学生经历从具体情境抽象椭圆模型的过程，通过自主学习的填一填、拓展理解等支架，衔接圆的方程知识，为后续圆锥曲线学习奠定基础。 其亮点是分层设计学习通道，互动探究中通过定义辨析、轨迹问题多解法（如相关点法），培养数学抽象与逻辑推理能力。例如焦点三角形结合余弦定理应用，体现数学建模思想。知识清单式小结助学生系统梳理，教师可利用分层作业实施精准教学，提升学生解题能力与教学效率。

第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 常数(大于|F1F2|) 焦点 两焦点间的距离 半焦距 自主学习通道 自主学习通道 F1(－c，0) F2(c，0) F1(0，－c) F2(0，c) a2－b2 自主学习通道 自主学习通道 × × √ √ 自主学习通道 D 自主学习通道 B 自主学习通道 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 C 互动探究通道 A 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 D 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 D 巩固提升通道 C 巩固提升通道 B 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BCD 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BC 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BC 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.了解椭圆的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程． 填一填 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 eq \o(□,\s\up4(1)) 的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 eq \o(□,\s\up4(2)) ， eq \o(□,\s\up4(3)) 叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为 eq \o(□,\s\up4(4)) ． 【提醒】　对“常数(大于|F1F2|)”的理解 (1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＞|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆． (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段． (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＜|F1F2|时，动点M的轨迹不存在． (4)此定义是推导椭圆方程的依据． (5)理解椭圆定义要紧扣“到两定点距离之和为定值且大于两定点间的距离”． 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1 (a＞b＞0) eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1 (a＞b＞0) 图形 焦点 eq \o(□,\s\up4(5)) 与 eq \o(□,\s\up4(6)) eq \o(□,\s\up4(7)) 与 eq \o(□,\s\up4(8)) a，b，c的关系 c2＝ eq \o(□,\s\up4(9))__________ 【提醒】　椭圆的标准方程的特征 (1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上． (2)代数特征：方程右边为1，左边是关于 eq \f(x,a)与 eq \f(y,b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(x,b)与\f(y,a)))的平方和，并且分母为不相等的正值． 练一练 1．判断正误 (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(　　) (2)椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.(　　) (3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.(　　) (4)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B).(　　) 2．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是 (　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 解析　∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|， ∴动点M的轨迹是线段． 3．椭圆 eq \f(x2,4)＋y2＝1的焦点坐标是(　　) A．(0，± eq \r(3)) B．(± eq \r(3)，0) C．(0，± eq \r(5)) D．(± eq \r(5)，0) 解析　由题设方程，知椭圆焦点在x轴上且c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(3)，∴焦点坐标为(± eq \r(3)，0). 4．已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是 . eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1或 eq \f(y2,25)＋ eq \f(x2,16)＝1 解析　由题意，椭圆的焦距是6，可得2c＝6，即c＝3， 又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得2a＝10，即a＝5， 则b2＝a2－c2＝25－9＝16， 当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的方程为 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为 eq \f(y2,25)＋ eq \f(x2,16)＝1. 类型一　椭圆定义的理解　　　　　　自主探究 1．已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则点M的轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件．故选C. 2．设定点F1(0，－2)，F2(0，2)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝m＋ eq \f(4,m)(m>2)，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．射线 D．不存在 解析　因为m>2，所以m＋ eq \f(4,m)>2 eq \r(m·\f(4,m))＝4＝|F1F2|，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆． 1．对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (3)常数必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件． 2．椭圆定义的两个应用 (1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆． (2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a. 类型二　求椭圆的标准方程 【例1】　求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，且经过点(4，3 eq \r(2))； (2)a＝8，c＝6； (3)经过两点P1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))，P2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))). 解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴设所求椭圆的标准方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0). 解法一：由题意，得2a＝ eq \r((4－0)2＋(3\r(2)＋2)2)＋ eq \r((4－0)2＋(3\r(2)－2)2)＝12，解得a＝6. 又c＝2，∴b2＝a2－c2＝32. ∴所求椭圆的标准方程为 eq \f(y2,36)＋ eq \f(x2,32)＝1. 解法二：由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(18,a2)＋\f(16,b2)＝1，,a2－b2＝4，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝36，,b2＝32.)) ∴所求椭圆的标准方程为 eq \f(y2,36)＋ eq \f(x2,32)＝1. (2)∵a＝8，c＝6， ∴b2＝a2－c2＝64－36＝28. 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为 eq \f(x2,64)＋ eq \f(y2,28)＝1； 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为 eq \f(y2,64)＋ eq \f(x2,28)＝1. 故所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,64)＋ eq \f(y2,28)＝1或 eq \f(y2,64)＋ eq \f(x2,28)＝1. (3)解法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0). 依题意知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up42(2),a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up42(2),b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up42(2),b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4)．)) ∵a2＝ eq \f(1,5)< eq \f(1,4)＝b2， ∴焦点在x轴上的椭圆不存在． ②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0). 由题意知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up42(2),a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up42(2),b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up42(2),a2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5)．)) 故所求椭圆的标准方程为 eq \f(y2,\f(1,4))＋ eq \f(x2,\f(1,5))＝1. 解法二：设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B). 由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up42(2)＋B×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up42(2)＝1，,B×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up42(2)＝1，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝5，,B＝4，)) ∴所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 即椭圆的标准方程为 eq \f(y2,\f(1,4))＋ eq \f(x2,\f(1,5))＝1. 1．利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)先确定焦点位置；(2)设出标准方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程． 2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A≠B，A>0，B>0).因为它包括焦点在x轴上(A<B)或焦点在y轴上(A>B)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化运算． [跟踪训练1]　(2023·合肥质检)已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的标准方程为(　　) A． eq \f(x2,45)＋ eq \f(y2,36)＝1 B． eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,27)＝1 C． eq \f(x2,27)＋ eq \f(y2,9)＝1 D． eq \f(x2,18)＋ eq \f(y2,9)＝1 解析　由题意可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－b2＝9，,0＋\f(9,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝18，,b2＝9，))故椭圆的标准方程为 eq \f(x2,18)＋ eq \f(y2,9)＝1.故选D. 类型三　与椭圆有关的轨迹问题 【例2】　(1)已知P是椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,8)＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为 ． (2)已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程． x2＋ eq \f(y2,2)＝1 解析　(1)设Q(x，y)，P(x0，y0)， 由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又P在椭圆上，即2,0) eq \f(x,4) ＋2,0) eq \f(y,8) ＝1， 所以 eq \f((2x)2,4)＋ eq \f((2y)2,8)＝1，即点Q的轨迹方程为x2＋ eq \f(y2,2)＝1. (2)设动圆P和定圆B内切于点M，易知动圆圆心P到两定点A(－3，0)和B(3，0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8＞|AB|， 所以动圆圆心P的轨迹是分别以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，所以其轨迹方程为 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,7)＝1. 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式． (2)定义法：若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程． (3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件，即可求出轨迹方程． [跟踪训练2]　(1)(2024·山东日照一中月考)已知点A(－ eq \r(2)，0)，B( eq \r(2)，0)，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是－ eq \f(1,2)，求动点P的轨迹C的方程． (2)如图所示，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程． 解　(1)设P(x，y)，由kAP·kBP＝ eq \f(y,x＋\r(2))· eq \f(y,x－\r(2))＝－ eq \f(1,2)(x≠± eq \r(2))， 整理得 eq \f(x2,2)＋y2＝1(x≠± eq \r(2)). 故动点P的轨迹C的方程为 eq \f(x2,2)＋y2＝1(x≠± eq \r(2)). (2)连接MA，由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|， ∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|， 即|CM|＋|MA|＝5>2. ∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1，0)，A(1，0)，则a＝ eq \f(5,2)，c＝1，∴b2＝a2－c2＝ eq \f(25,4)－1＝ eq \f(21,4). ∴点M的轨迹方程为 eq \f(x2,\f(25,4))＋ eq \f(y2,\f(21,4))＝1，即 eq \f(4x2,25)＋ eq \f(4y2,21)＝1. 探究窗　椭圆的焦点三角形 【典例】　如图所示，已知椭圆的方程为 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1，若点P为椭圆上一点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． [解]　由题意可知a＝2，b＝ eq \r(3)， 则c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(4－3)＝1，|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理， 得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.　① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.　② 将②代入①，解得|PF1|＝ eq \f(6,5). 所以S△PF1F2＝ eq \f(1,2)|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝ eq \f(1,2)× eq \f(6,5)×2× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(3\r(3),5)，即△PF1F2的面积是 eq \f(3\r(3),5). 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解． [针对训练]　已知椭圆 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则S△PF1F2＝ ． 2 eq \r(3) 解析　由椭圆的定义知a2＝9，b2＝2， ∴a＝3，c2＝a2－b2＝9－2＝7，即c＝ eq \r(7)， ∴|F1F2|＝2 eq \r(7). ∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2. ∴cos ∠F1PF2＝ eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2×|PF1|×|PF2|) ＝ eq \f(42＋22－(2\r(7))2,2×4×2)＝－ eq \f(1,2). 又0°<∠F1PF2<180°， ∴∠F1PF2＝120°. ∴S△PF1F2＝ eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 120°＝ eq \f(1,2)×4×2× eq \f(\r(3),2)＝2 eq \r(3). 1．知识清单 (1)椭圆的定义及其应用． (2)椭圆的标准方程． (3)与椭圆有关的轨迹问题． (4)椭圆的焦点三角形． 2．方法归纳：分类讨论、待定系数法． 3．常见误区：(1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系；(2)椭圆焦点位置的判断易出错． 1．(2024·唐山一中月考)设P是椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4　　 B．5　　 C．8　　 D．10 解析　由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.故选D. 2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　) A． eq \f(x2,100)＋ eq \f(y2,36)＝1 B． eq \f(y2,400)＋ eq \f(x2,336)＝1 C． eq \f(y2,100)＋ eq \f(x2,36)＝1 D． eq \f(y2,20)＋ eq \f(x2,12)＝1 解析　由题意知c＝8，2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，又焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为 eq \f(y2,100)＋ eq \f(x2,36)＝1.故选C. 3．若方程 eq \f(x2,20＋a)＋ eq \f(y2,4－a)＝1表示椭圆，则实数a的取值范围是(　　) A．(－20，4) B．(－20，－8)∪(－8，4) C．(－∞，－20)∪(4，＋∞) D．(－∞，－20)∪(－8，＋∞) 解析　因为方程 eq \f(x2,20＋a)＋ eq \f(y2,4－a)＝1表示椭圆， 所以有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(20＋a>0，,4－a>0，,20＋a≠4－a，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>－20，,a<4，,a≠－8，))即－20<a<－8或－8<a<4.故选B. 基础巩固 1．若平面内点M到定点F1(0，－1)，F2(0，1)的距离之和为2，则点M的轨迹为 (　　) A．椭圆 B．直线F1F2 C．线段F1F2 D．直线F1F2的垂直平分线 解析　|MF1|＋|MF2|＝2＝|F1F2|，所以点M的轨迹为线段F1F2. 2．椭圆 eq \f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 (　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8，故选D. 3．若椭圆 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,b2)＝1过点(－2， eq \r(3))，则其焦距为(　　) A．2 eq \r(5) B．2 eq \r(3) C．4 eq \r(5) D．4 eq \r(3) 解析　将点(－2， eq \r(3))的坐标代入椭圆方程得 eq \f(4,16)＋ eq \f(3,b2)＝1，解得b2＝4，于是焦距2c＝2× eq \r(16－4)＝4 eq \r(3). 4．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的方程是 (　　) A．x2＋ eq \f(y2,25)＝1 B． eq \f(x2,25)＋y2＝1 C． eq \f(x2,25)＋y2＝1或x2＋ eq \f(y2,25)＝1 D．以上都不对 解析　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,25)，)) ∴椭圆的方程为x2＋ eq \f(y2,25)＝1.故选A. 5．(多选)与椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1有公共焦点的椭圆是(　 　) A． eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,25)＝1 B． eq \f(x2,23)＋ eq \f(y2,14)＝1 C． eq \f(x2,30)＋ eq \f(y2,21)＝1 D． eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,7)＝1 解析　设与椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1有公共焦点的椭圆系方程为 eq \f(x2,25＋λ)＋ eq \f(y2,16＋λ)＝1(λ>－16).对比各选项可知，当λ＝－2时，得 eq \f(x2,23)＋ eq \f(y2,14)＝1；当λ＝5时，得 eq \f(x2,30)＋ eq \f(y2,21)＝1；当λ＝－9时，得 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,7)＝1.故选BCD. 6．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A． eq \f(x2,64)－ eq \f(y2,48)＝1 B． eq \f(x2,48)＋ eq \f(y2,64)＝1 C． eq \f(x2,48)－ eq \f(y2,64)＝1 D． eq \f(x2,64)＋ eq \f(y2,48)＝1 解析　设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，∴a＝8，c＝4，b2＝a2－c2＝48，故所求的轨迹方程为 eq \f(x2,64)＋ eq \f(y2,48)＝1. 7．若椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点为(0， eq \r(7))，则k的值为 ． －1或－ eq \f(1,7) 解析　椭圆方程可化为 eq \f(x2,\f(1,k2))＋ eq \f(y2,－\f(8,k))＝1. 因为椭圆的一个焦点(0， eq \r(7))在y轴上， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(8,k)>0，,－\f(8,k)－\f(1,k2)＝7，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k<0，,k＝－1或k＝－\f(1,7)．)) 即k的值为－1或－ eq \f(1,7). 8．若方程 eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,1－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为 ． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 解析　由题可知，1－m>m>0，解得0<m< eq \f(1,2)，所以实数m的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). 9．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1)； (2)椭圆的焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，点P到离它较近的一个焦点的距离等于2. 解　(1)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设椭圆的标准方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0). ∵椭圆经过点(2，0)和点(0，1)， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＝1，,\f(1,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.)) ∴椭圆的标准方程为 eq \f(x2,4)＋y2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴设椭圆的标准方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0). ∵点P(0，－10)在椭圆上， ∴ eq \f(100,a2)＝1，∴a2＝100. ∵点P到离它较近的一个焦点的距离为2， ∴10－c＝2，∴c＝8，∴b2＝a2－c2＝36. ∴椭圆的标准方程为 eq \f(y2,100)＋ eq \f(x2,36)＝1. 10．已知定点A(－2，2)，点F2为椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1的右焦点，点M在椭圆上移动，求|AM|＋|MF2|的最大值． 解　如图所示，设F1是左焦点，则F1(－3，0)，|AM|＋|MF2|＝|AM|＋10－|MF1|≤10＋|AF1|，而|AF1|＝ eq \r((－3＋2)2＋(0－2)2)＝ eq \r(5)，∴|AM|＋|MF2|≤10＋ eq \r(5)，当点F1在线段AM上时，等号成立，即|AM|＋|MF2|的最大值为10＋ eq \r(5). 能力提升 11．(2023·成都质检)已知P为椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．5　　 B．7　　 C．13　　 D．15 解析　由题意知，椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. 12．(多选)下列说法正确的是(　 　) A．若动圆C与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－1)2＋y2＝9内切，则动圆的圆心C的轨迹是一个完整的椭圆 B．若动点P到F(1，0)的距离是到直线x＝9的距离的 eq \f(1,3)，则动点P的轨迹是一个完整的椭圆 C．将椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,8)＝1上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则得到的曲线是一个完整的椭圆 D．已知点A(－2，0)，B(2，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－ eq \f(3,4)，则点M的轨迹是一个完整的椭圆 12．(多选)下列说法正确的是(　 　) A．若动圆C与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－1)2＋y2＝9内切，则动圆的圆心C的轨迹是一个完整的椭圆 B．若动点P到F(1，0)的距离是到直线x＝9的距离的 eq \f(1,3)，则动点P的轨迹是一个完整的椭圆 C．将椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,8)＝1上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则得到的曲线是一个完整的椭圆 D．已知点A(－2，0)，B(2，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－ eq \f(3,4)，则点M的轨迹是一个完整的椭圆 解析　对A，如图，设动圆C的半径为r，根据动圆C与圆C1外切，且与圆C2内切， 可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|CC1|＝r＋1，,|CC2|＝3－r，))所以|CC1|＋|CC2|＝4>|C1C2|＝2， 所以动圆的圆心C的轨迹是一个椭圆，方程为 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1， 但不包含点(－2，0)，因为此时动圆C变成了一个点，不满足 题意，A错误； 对B，设P(x，y)，根据题意可得， eq \f(\r((x－1)2＋y2),|x－9|)＝ eq \f(1,3)，整理得 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,8)＝1，表示完整的椭圆，B正确； 对C，将椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,8)＝1上各点的纵坐标不变，横坐标变 为原来的2倍，得到 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,8)＝1表示完整的椭圆，C正确； 对D，设M(x，y)，由kAM·kBM＝ eq \f(y,x＋2)· eq \f(y,x－2)＝－ eq \f(3,4)， 整理得 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1，但因为kAM，kBM均存在，所以x≠±2，所以不是完整的椭圆，D错误．故选BC. 13．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1上，则 eq \f(sin A＋sin C,2sin B)＝ ． eq \f(5,6) 解析　由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3. ∵△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1上，∴|BC|＋|AB|＝2a＝10， ∴由正弦定理可知 eq \f(sin A＋sin C,2sin B)＝ eq \f(|BC|＋|BA|,2|AC|)＝ eq \f(2a,4c)＝ eq \f(5,6). 多元数学 14．(数学运算)动圆C与定圆C1：(x＋3)2＋y2＝32内切，与定圆C2：(x－3)2＋y2＝8外切，点A的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,2))). (1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E； (2)若轨迹E上的两点P，Q满足 eq \o(AP,\s\up15(→))＝5 eq \o(AQ,\s\up15(→))，求|PQ|的值． 解　(1)如图，设动圆C的半径为R. 由题意得，定圆C1的半径为4 eq \r(2)，定圆C2的半径为2 eq \r(2)，则|CC1|＝4 eq \r(2)－R，　① |CC2|＝2 eq \r(2)＋R，　② ①＋②，得|CC1|＋|CC2|＝6 eq \r(2)>6＝|C1C2|. 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((x＋3)2＋y2＝32，,(x－3)2＋y2＝8，))解得x＝2， 由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1，C2为焦点， 2a为6 eq \r(2)的椭圆的一部分(在C1的内部，C2的外部)，其轨迹方程为 eq \f(x2,18)＋ eq \f(y2,9)＝1(x<2). (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 eq \o(AP,\s\up15(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1－\f(9,2)))， eq \o(AQ,\s\up15(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2－\f(9,2))).由 eq \o(AP,\s\up15(→))＝5 eq \o(AQ,\s\up15(→))可得， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1－\f(9,2)))＝5 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2－\f(9,2)))，所以x1＝5x2，y1＝5y2－ eq \f(9,2)×5＋ eq \f(9,2)＝5y2－18，由P，Q是轨迹E上的两点，得 2,2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x,18)＋\f(y eq \o\al(2,2),9)＝1(x2<2)，,\f(25x eq \o\al(2,2),18)＋\f((5y2－18)2,9)＝1(x2<2)，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝0，,y2＝3，))所以x1＝0，y1＝－3. 所以P(0，－3)，Q(0，3)，|PQ|＝6. $