3.1.2椭圆的标准方程及性质的应用第2课时课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆标准方程及性质的应用，核心内容包括直线与椭圆位置关系判断、中点弦问题、弦长计算及实际应用。通过“AI·思考辨析”和教材改编例题导入，衔接椭圆定义与性质，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如直线与椭圆位置关系的变式训练、航天器轨道等实际案例，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理（如点差法）、用数学语言建模的能力。学生能提升问题解决能力，教师可获得系统的教学资源与方法支持。

第三章　圆锥曲线的方程 3.1.2　第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 学 习 目 标 1.能根据直线与椭圆的方程判断直线与椭圆的位置关系. 2.能运用椭圆的相关性质解决一些生活中的问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点　直线与椭圆的位置关系 直线y=kx+m与椭圆=1(a>b>0)的位置关系的判断方法: 由消去y,得到一个关于x的一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 　　　   　　 　  相切 　　 　  　　 　  相离 　　 　  　 　　  2 Δ>0 1 Δ=0 0 Δ<0 直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数与Δ的取值的关系如下表所示: AI·思考辨析 直线x=c(c为半焦距)与椭圆 (a>b>0)有几个交点?如果有两个交点,它们之间的距离是多少? 体验新知 (人教B版教材例题改编)判断直线y=2x-2与椭圆=1是否有公共点.如有,求出公共点的坐标;如公共点有两个,求出以这两个公共点为端点的线段的长和中点坐标. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　直线与椭圆的位置关系 角度1 直线与椭圆位置关系的判断 【例1】 (人教B版教材例题改编)已知直线l:y=2x+m与椭圆C: ,分别求m取何值时,直线l与椭圆C有两个公共点,只有一个公共点和没有公共点. 变式训练1　(1)(2026山西高二期末)直线kx+y+2k-1=0(k∈R)与椭圆=1的公共点个数为(　　) A.1 B.2 C.1或2 D.无法确定 C 解析 由直线的方程kx+y+2k-1=0(k∈R),得y-1+k(x+2)=0, 因为k∈R,所以即直线过定点(-2,1). 又因为=1, 所以此定点在椭圆上,所以直线与椭圆有1个或2个公共点.故选C. (2)(2026哈尔滨高二期中)已知椭圆C:+y2=1,直线l:y=x+3,则椭圆C上的 点到直线l距离的最大值为　　　　　.  解析 取椭圆上任意一点P, 易知当过点P的直线l1与直线l平行且与椭圆C相切时,点P到直线l的距离取得最值. 设直线l1的方程为y=x+t,与椭圆C的方程联立, 得消去x得4y2-2ty+t2-3=0, 令Δ=4t2-16(t2-3)=0,解得t=±2, 由图可知,当t=-2时,点P到直线l的距离最大,该距离等于直线l与直线l1间的距离,此时直线l1的方程为x-y-2=0,又直线l的方程为x-y+3=0,所以椭圆C上的点到直线l距离的最大值为. 角度2 中点弦问题 【例2】 已知椭圆=1的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程. 解 (方法1)易知直线AB的斜率k存在. 设所求直线的方程为y-1=k(x-2), (方法2)设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2. ∵M(2,1)为AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2. 变式训练2 已知椭圆 (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为　　　　　. 角度3 弦长问题 【例3】 已知椭圆=1,过左焦点F1的斜率为1的直线与椭圆分别交于A,B两点,求|AB|. 解 因为椭圆的方程为=1,所以左焦点为F1(-1,0). 因为直线过椭圆的左焦点F1且斜率为1,所以直线方程为y=x+1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆方程可得 化简可得5x2+6x-3=0,且Δ=36-4×5×(-3)=96>0. (方法1)由根与系数的关系可得x1+x2=-,x1x2=-,由弦长公式可得|AB|=. (方法2)|AB|=. 例题探究1 (变条件变结论)已知椭圆=1,过左焦点F1的直线与椭圆分别交于A,B两点,若|AB|=,求直线的方程. 解 当直线斜率不存在时,|AB|=,不合题意.故直线AB的斜率存在. F1(-1,0),设直线AB的方程为y=k(x+1),椭圆的方程可化为2x2+3y2-6=0, 由得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=, 所以|AB|= , 解得k2=1,则k=±1,所以直线的方程为x-y+1=0或x+y+1=0. 例题探究2 (变条件变结论)已知椭圆=1,过左焦点F1的直线与椭圆分别交于A,B两点,求|AB|的取值范围. 解 由例题探究1知,当斜率k存在时, |AB|=×(1+),所以<|AB|≤2.当斜率不存在时,|AB|=.故|AB|的取值范围为[,2]. 例题探究3 (变结论)在本例中,求△AOB的面积(O为原点). 解 由例题知|AB|=, 又点O到AB的距离d=, ∴S△AOB=. 能力提升点二　椭圆在实际问题中的应用 【例4—1】 韶州大桥的桥塔外形近似椭圆,若桥塔所在平面截桥面为线段AB,且AB过椭圆的下焦点,AB=44米,桥塔最高点P距桥面110米,则此椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. D 【例4—2】 (人教B版教材例题)航天器的轨道有很多种,其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道,而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点.若地球同步转移轨道的远地点(即椭圆上离地球表面最远的点)与地球表面的距离为m,近地点与地球表面的距离为n,设地球的半径为r,试用m,n,r表示出地球同步转移轨道的离心率. 规律方法　椭圆上的点到焦点的最大距离为a+c,最小距离为a-c,到焦点最近及最远的点分别是椭圆的长轴上的两个端点. 变式训练3 (1)如图是一座拱桥,当水面在l处时,在如图所示的截面里,桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2 m,水面宽6 m,那么当水位上升1 m时,水面宽度为(　　) A.3 m B. m C.4 m D. m A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,根据已知条件可知,桥洞与其倒影恰好构成的椭圆的方程为=1,当水位上升1 m时,水面的宽度也即当y=1时,直线y=1被椭圆所截得的弦长.把y=1代入椭圆方程可得x=±.所以当水位上升1 m时,水面的宽度为3 m.故选A. (2)(2026江苏苏州期中)已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为2m、离心率为e的椭圆,且太阳在这个椭圆的一个焦点上,则该行星到太阳的最大距离是(　　) A.m(1-e) B.m(1+e) C.2m(1-e) D.2m(1+e) B 解析 由椭圆的定义可知2a=2m⇒a=m, 离心率e=⇒c=ae=me. 因为太阳在这个椭圆的一个焦点上, 则该行星到太阳的最大距离是a+c=m+me=m(1+e).故选B. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线与椭圆的位置关系的判断; (2)椭圆的中点弦; (3)椭圆在实际问题中的应用. 2.方法归纳:点差法. 3.常见误区:解决实际问题时不能建立正确的模型. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 1.若直线y=x-1与椭圆x2+3y2=a有且只有一个公共点,则a的值为(　　) C 1 2 3 4 2.如图,某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F1为一个焦点且离心率为的椭圆,地球可看作半径为R的球体,近地点离地面的距离为r,则远地点离地面的距离l为(　　) A.3r+2R B.5r+2R C. D. A 1 2 3 4 解析 由题意,不妨以椭圆中心为坐标原点,建立如图所示坐标系, 则椭圆方程为=1(a>b>0),则e=,且r=a-c-R,解得a=,c=, 故该卫星远地点离地面的距离为a+c-R=-R=r+R, 又e=,所以r+R=r+R=3r+2R.故选A. 1 2 3 4 3.(2026贵州高二期中)已知直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,若线段 AB的中点坐标为(-2,1),则直线l的斜率为　　　　　.  解析 依题意可知,直线l的斜率存在. 设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2), 则两式相减得=-,整理得=-. 因为线段AB的中点坐标为(-2,1), 所以k==-. 1 2 3 4 4.设椭圆M:=1(a>b>0)经过点P(1,),其离心率e=. (1)求椭圆M的方程; (2)直线l:y=x+1与椭圆M交于A,B两点,求△PAB的面积S△PAB. 解 (1)因为椭圆M:=1(a>b>0)经过点P(1,),其离心率e=, 所以解得 所以椭圆M的方程为=1. 1 2 3 4 (2)由得4x2+2x-3=0,Δ=8+4×4×3=56>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-, 所以|AB|=|x1-x2|= . 因为点P(1,)到AB的距离d=, 所以S△PAB=|AB|·d=. 本 课 结 束 =1 提示 2个.代入x=c,易得y=±,所以交点间的距离为. 解 有公共点.联立直线与椭圆的方程,可得方程组 解方程组可得 因此直线与椭圆有两个公共点,且公共点的坐标为(0,-2),. 从而可知所求线段的长为, 由得,线段的中点坐标为(,-). =1 解 联立直线l的方程与椭圆C的方程得方程组 消去y,整理得9x2+8mx+2m2-4=0,① 因为①的判别式为Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144=-8(m+3)(m-3), 所以当Δ>0,即-3<m<3时,方程①有两个不同的实数解, 此时原方程组的实数解集中有两个元素,直线l与椭圆C有两个公共点; 当Δ=0,即m=±3时,方程①有两个相等的实数解, 此时原方程组的实数解集中只有一个元素, 直线l与椭圆C有且只有一个公共点; 当Δ<0,即m<-3或m>3时,方程①无实数解, 此时原方程组的实数解集为空集,直线l与椭圆C没有公共点. 由得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0. Δ=[-8(2k2-k)]2-4(4k2+1)[4(2k-1)2-16]=16(12k2+4k+3)>0,解得k∈R. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根, ∴x1+x2=.又M为AB的中点, ∴=2,解得k=-,且满足Δ>0. 故所求直线的方程为x+2y-4=0. 又A,B两点在椭圆上,∴=16,=16, 两式相减,得()+4()=0, ∴(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0, ∴=-=-=-,即kAB=-. 故所求直线的方程为x+2y-4=0. =1 =1 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意知x1≠x2,则=1,=1,两式相减, 可得=0.∴=-. ∵线段AB的中点坐标为(1,-1),∴. ∵直线AB的斜率为,∴. ∵右焦点为F(3,0),∴a2-b2=9. ∴a2=18,b2=9.∴椭圆的方程为=1. 解析 如图,按椭圆对称轴所在直线建立平面直角坐标系, 设椭圆的方程为=1(a>b>0), 令y=-c,即=1,解得x=±, 依题意可得所以 所以,所以e=.故选D. 解 设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,依照题意可知 解得a=,c=,因此离心率e=. A. B. C. D.1 解析 因为方程x2+3y2=a表示的曲线为椭圆,则a>0, 将直线y=x-1的方程与椭圆的方程联立可得4x2-6x+3-a=0, 则Δ=36-4×4×(3-a)=16a-12=0,解得a=.故选C. $