3.1.1 椭圆及其标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕椭圆的定义及标准方程展开，通过回忆圆的画法引入数学实验，让学生固定绳两端画轨迹，观察动点到两定点距离之和为常数的条件，类比圆的定义形成学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以数学实验激活数学眼光，通过类比圆的定义培养数学思维，推导标准方程时步骤清晰体现数学语言。如辨析绳长与焦距关系深化定义理解，例题变式助学生掌握焦点位置判断，能提升学生探究能力与逻辑推理，为教师提供实操性强的教学流程。

开普勒（德国） 1571——1630 开普勒第一定律： 所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆 生活中的椭圆 认识椭圆 年 级：高 二 学科：数 学 椭圆及其标准方程 ♦自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢? 先回忆如何画圆 · r O A 课题引入 将一条无弹性的绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕定点旋转，笔尖形成的轨迹是 圆的引入： 圆 课题引入 数学实验 请将一根无弹性的细绳两端分别固定在两个定点上，用笔尖勾直绳子，使笔尖移动，观察画出的轨迹是什么曲线？ * 课题引入 请回答以下问题： 视笔尖为动点，绳子两端为两定点，在运动过程中，动点始终满足什么条件不变的呢？ 动点到两定点距离之和为绳长 7 结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该 如何定义椭圆？ 反思： F1 F2 M ♦如何定义椭圆? 圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆. 椭圆的定义: 平面上到两个定点F1, F2的距离之 和为常数(大于| F1F2 |)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距。 新课讲授—椭圆的定义 椭圆上的点要满足怎样的几何条件？ 1. 改变两定点之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 2．绳长能小于两定点之间的距离吗？ 1. 改变两定点之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 2．绳长能小于两定点之间的距离吗？ 归纳概念 小试牛刀 例：判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆。 和点 的距离之和为6的点的轨迹； （2）到点 和点 的距离之和为4的点的轨迹； （3）到点 和点 的距离之和为6的点的轨迹； （1）到点 （4）到点 和点 的距离之和为3的点的轨迹； F1 F2 M x O y F1 F2 M x y O F1 F2 M x y O 新课讲授 求圆的标准方程的步骤: (1) 建系 (2) 设点 (3) 限制条件 (4) 代入 (5) 化简检验 对称性 简洁性 新课讲授—椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程的步骤: (1) 建系 (2) 设点 (3) 限制条件 (4) 代入 设 M(x,y) 是椭圆上任意一点 以直线F1F2 为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 。 设|F1F2|=2c, （问题：接下来怎样化简？） 则有F1(-c，0)、F2(c，0) 新课讲授 F1 F2 M x O y (5) 化简检验 化简 移项得: 两边平方得: 新课讲授 两边再平方，得 整理得 移项，整理得 16 由椭圆定义可知 这说明椭圆上的点的坐标满足以上方程。我们还可以证明，这个方程的每一组解对应的点都在椭圆上。 新课讲授 椭圆的 标准方程 F1 F2 M x O y 一般地，我们把中心在原点、焦点F1，F2在坐标轴上的椭圆的方程叫作椭圆的标准方程。 但是，一个椭圆，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以椭圆的标准方程还有其它形式。 对“标准”的理解： F1 F2 M F1 F2 M x o y 新课讲授 新课讲授 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是： 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是: F1 F2 M x O y F2 F1 M x y O 注意理解以下几点： ① 在椭圆的两种标准方程中，都有 的要求； ② 在椭圆的两种标准方程中，由于 ， 所以可以根据分母的大小来判定焦点 在哪一个坐标轴上； ③ 椭圆的三个参数 之间的关系是 ， 其中 大小不确定． 分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。 注意： 尝试应用 1、下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？ 分别是多少？ 21 变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？ 变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？ 已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10； 尝试应用 2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 当焦点在X轴时，方程为： 当焦点在Y轴时，方程为： 22 例、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经 过点P 解： 因为椭圆的焦点在y轴上， 设它的标准方程为 ∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……① 又∵椭圆经过点P ∴ ……② 联立①②可求得： ∴椭圆的标准方程为 (法一) x y F1 F2 P 典例分析 23 (法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的 标准方程为 由椭圆的定义知， 所以所求椭圆的标准方程为 求椭圆的标准方程的步骤： （1）首先要判断焦点位置，设出标准方程（先定位） （2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b　 （后定量） x y F1 F2 P 典例分析 24 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹 标准方程 不 同 点 相 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断 谈谈收获 x y F1 F2 P O x y F1 F2 P O 课后反思与体验 课后作业 １、本节课我学到了哪些知识，是用什么方法学会的？ ２、我还有什么知识没有掌握，是什么原因导致的？ ３、我从老师和同学那儿学到了哪些好的学习方法？ ４、通过上述的回顾评价一下自己本节课的表现。 26 感谢聆听！ $