专题25.2.2 公式法解一元二次方程（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的根的判别式及公式法这一核心知识点，先通过根的判别式（△=b²-4ac）判断方程根的情况，再系统梳理公式法解一元二次方程的步骤，形成从理论判断到实际求解的完整学习支架。 资料设计分层递进，含典例、变式及中考链接，结合频闪相机视频情境题培养抽象能力（数学眼光），通过参数问题训练推理意识（数学思维）。课中辅助教师分层教学，课后A/B/C组练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

专题25.2.2 公式法解一元二次方程 教学目标 1.掌握一元二次方程的根的判别式，能够熟练的计算根的判别式的值并判断一元二次方程的根的情况。 2.掌握用公式法解一元二次方程的具体步骤，并能够根据求根公式判断一元二次方程。 3.能够结合根的判别式以及一元二次方程的解解决相应的参数问题。 教学重难点 1.重点 （1）根的判别式的计算，判断根的情况及求未知参数的值； （2）利用公式法解一元二次方程。 2.难点 （1）判断含有参数的一元二次方程的根的情况； （2）利用根的判别式及方程的解求参数。 知识点01 一元二次方程根的判别式 1.根的判别式 任何一元二次方程，均可用配方法可将方程化成 。由配方法解方程可知，根据与0的大小关系可以确定方程的根的情况。 式子可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax²+bx+c=0的 ，通常用希腊字母“”表示，即 。 ①若，则 。 ②若，则 。 ③若，则 。 【即学即练】 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A．0或 B．0 C．8 D．无解 3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A．且 B． C．且 D． 知识点02 公式法解一元二次方程 1.求根公式 由可知， 。 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 2.公式法解一元二次方程的具体步骤 ①将一元二次方程化成 ，并确定 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 步骤 示例： 解释 ①化为一般式 移项： 先将方程化为一般式（a≠0） ②确定a、b、c 确定a、b、c时， 要注意带前面的 ③计算△ 当△ 时，才能用求根公式； 当△ ，则方程没有实数根 ④代入公式求根 ∵△ ，∴方程有 【即学即练】 4．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 6．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型01 由根的判别式判断方程根的情况 【典例1】关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 （1）考查方向：用根的判别式来判断不含参数、含参数的一元二次方程组的根的情况。 （2）核心方法：计算根的判别式的值与0的大小关系；含参数计算判别式，分情况判断其符号。 【变式1】下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于x的方程（），当时，方程的解为（ ） A．， B．， C． D． 【变式3】关于的方程根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【变式4】关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 【中考链接】定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 题型02 根据一元二次方程的根的情况求参数值或范围 【典例1】若关于x的一元二次方程 有两个相等实数根，则m的值为（ ） A． B．2 C．4 D．8 （1）考查方向：根据根的情况求参数值或参数范围；根据根的情况求代数式的值。 （2）核心方法：根据根的情况确定判别式与0的大小关系，代入系数计算；注意有实数根包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根，此时b2－4ac≥0,切勿丢掉等号。 【变式1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 【变式2】关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知一元二次方程有实数根，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则整数的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【中考链接1】已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A． B． C． D．2 【中考链接2】关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 题型03 公式法解一元二次方程 【典例1】一元二次方程的实数根是（ ） A． B． C．， D． （1）考查方向：求系数、求根公式求一元二次方程、公式法解方程、公式法应用。 （2）核心方法：围绕求根公式展开；公式法求根；公式法应用结合真实情境进行判断和求解。 【变式1】用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（ ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【变式2】某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3】小颖根据频闪相机记录的训练视频，发现某次训练中羽毛球在空中的运动路线可以看作是一条抛物线，羽毛球行进的高度与水平距离之间满足的关系为，若羽毛球行进的高度为，则羽毛球飞出的水平距离为（ ） A． B． C． D． 【变式4】在中，，、、分别为、、的对边，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式5】解下列方程：（用公式法）； 【变式6】为实数，关于的方程为． (1)求证：原方程一定有实数根． (2)若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数的值． 【中考链接1】若是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是（　　） A． B． C． D． 【中考链接2】设与为一元二次方程的两根，则的值为________． 【中考链接3】为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． A组·基础过关 1．关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 2．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A． B． C． D． 4．关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 5．已知关于的方程，若等腰三角形的底边长为4，两腰长恰好是这个方程的两实数根，则这个三角形的周长为_____________． 6．解方程：（用公式法）． 7．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 8．已知关于的方程． (1)求证：对于任何实数，该方程总有两个实数根； (2)若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求的取值范围． B组·能力提升 9．若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 10．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（ ） A． B． C．2 D．3 11．如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（ ） A． B．且 C．且 D． 12．计算 (1)（公式法） (2)（配方法） 13．（1）探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点…第行有个点…容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和． ①三角形点阵中前6行的点数之和是___________； ②三角形点阵中前行的点数之和是120，试求出（提示：）； （2）拓展：如果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，，…，问这个三角形点阵中前行点数和能是120吗？若能，求出；若不能，试用一元二次方程说明道理． C组·拓展延伸 14．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，如：．若关于x的方程是一元二次方程，则该方程根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 15．若一个等腰三角形三边的长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则该等腰三角形的周长为______． 16．在数学发展史上，一元二次方程的正根可以通过几何方法进行研究．如图，已知矩形的边长，， 连接， 分别以点A、C为圆心，，长为半径画弧，分别交于E，F两点，若关于x的一元二次方程； 通过勾股定理发现这个方程的正根是哪条线段的长？（ ） A． B． C． D． 17．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． (2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 18．阅读新知：化简后，一般形式为的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如:求解的解． 解：设，则原方程可化为：，解之得 当时，，∴； 当时 ∴． 综上，原方程的解为：， （1）通过上述阅读，请你求出方程的解； （2）判断双二次方程根的情况，下列说法正确的是 （选出正确的答案)． ①当时，原方程一定没有实数根； ②当时，原方程一定有实数根； ③原方程无实数根时，一定有． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.2.2 公式法解一元二次方程 教学目标 1.掌握一元二次方程的根的判别式，能够熟练的计算根的判别式的值并判断一元二次方程的根的情况。 2.掌握用公式法解一元二次方程的具体步骤，并能够根据求根公式判断一元二次方程。 3.能够结合根的判别式以及一元二次方程的解解决相应的参数问题。 教学重难点 1.重点 （1）根的判别式的计算，判断根的情况及求未知参数的值； （2）利用公式法解一元二次方程。 2.难点 （1）判断含有参数的一元二次方程的根的情况； （2）利用根的判别式及方程的解求参数。 知识点01 一元二次方程根的判别式 1.根的判别式 任何一元二次方程，均可用配方法可将方程化成 。由配方法解方程可知，根据与0的大小关系可以确定方程的根的情况。 式子可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“”表示，即。 ①若，则 方程有两个不相等的实数根 。 ②若，则 方程有两个相等的实数根 。 ③若，则 方程没有实数根 。 【即学即练】 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据判别式与的大小关系，即可判断方程根的情况. 【详解】解：对于一元二次方程， 可得，，， ， 方程有两个不相等的实数根. 2．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A．0或 B．0 C．8 D．无解 【答案】A 【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，利用判别式等于0列方程求解即可. 【详解】解：∵ 一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴ ， 其中 ，，，代入得： ， 解得 或 . 3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 知识点02 公式法解一元二次方程 1.求根公式 由可知， 。 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 2.公式法解一元二次方程的具体步骤 ①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 a，b，c 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 步骤 示例： 解释 ①化为一般式 移项： 先将方程化为一般式（a≠0） ②确定a、b、c 确定a、b、c时， 要注意带前面的符号 ③计算△ 当△≥0时，才能用求根公式； 当△＜0，则方程没有实数根 ④代入公式求根 ∵△＞0，∴方程有2个不相等的实数根 【即学即练】 4．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 5．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可； （3）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 代入求根公式，得， ，； （2）将方程化为一般形式，得， ， ， 代入求根公式，得， ，； （3）， ， 代入求根公式，得：， ． 题型01 由根的判别式判断方程根的情况 【典例1】关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，只需计算根的判别式的值与0的大小关系即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 可得 ，，， ， ∴ 方程有两个不相等的实数根 （1）考查方向：用根的判别式来判断不含参数、含参数的一元二次方程组的根的情况。 （2）核心方法：计算根的判别式的值与0的大小关系；含参数计算判别式，分情况判断其符号。 【变式1】下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，，方程没有实数根，A不符合要求． 对选项B，，，方程没有实数根，B不符合要求． 对选项C，，，方程有两个相等的实数根，C不符合要求． 对选项D，，，方程有两个不相等的实数根，D符合要求． 【变式2】已知关于x的方程（），当时，方程的解为（ ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】已知，即判别式为0，方程有两个相等的实数根，通过配方即可得到方程的解． 【详解】解：∵一元二次方程，，且， ∴，方程有两个相等的实数根． 对原方程配方： 移项得， 两边同除以得， 配方得， ∵， ∴， ∴． 【变式3】关于的方程根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】根据即可判断． 【详解】解：， ， ， 可得，即， 方程无实数根． 【变式4】关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 【答案】A 【分析】当时方程有两个不相等的实数根，时有两个相等的实数根，时没有实数根，计算判别式并判断其符号即可得到结论． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，，， 计算判别式得： ， ∵， ∴恒成立， ∴方程有两个不相等的实数根． 【中考链接】定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】先根据新定义整理出一元二次方程，再通过判别式的值判断方程根的情况，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根． 【详解】解：根据定义运算， 将代入得，， 整理得， ， 方程有两个不相等的实数根． 题型02 根据一元二次方程的根的情况求参数值或范围 【典例1】若关于x的一元二次方程 有两个相等实数根，则m的值为（ ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式的值为0，代入系数计算即可求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，当方程有两个相等实数根时，根的判别式， ∵ 原方程 是一元二次方程，且有两个相等实数根 ∴，代入得 整理得 解得． （1）考查方向：根据根的情况求参数值或参数范围；根据根的情况求代数式的值。 （2）核心方法：根据根的情况确定判别式与0的大小关系，代入系数计算；注意有实数根包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根，此时b2－4ac≥0,切勿丢掉等号。 【变式1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 【变式2】关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程无实数根时，根的判别式，据此列不等式即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根，且，，， ∴， 解得． 【变式3】已知一元二次方程有实数根，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则整数的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的判别式和一次函数的性质求出m的取值范围，结合选项筛选出符合条件的整数m． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根 ∴根的判别式 解得． ∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴， 观察各选项，只有B符合题意． 【变式4】若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用方程有两个相等实数根得到的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 两边同除以得， ∴． 【中考链接1】已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 【中考链接2】关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】一元二次方程有两个实数根需要满足两个条件：二次项系数不为0，且根的判别式，据此列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且． 题型03 公式法解一元二次方程 【典例1】一元二次方程的实数根是（ ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】先将原一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程求根公式求解即可． 【详解】解：， ， 判别式 ， ∴代入求根公式得 ∴，即选项D符合题意． （1）考查方向：求系数、求根公式求一元二次方程、公式法解方程、公式法应用。 （2）核心方法：围绕求根公式展开；公式法求根；公式法应用结合真实情境进行判断和求解。 【变式1】用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（ ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 故选：B． 【变式2】某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 【变式3】小颖根据频闪相机记录的训练视频，发现某次训练中羽毛球在空中的运动路线可以看作是一条抛物线，羽毛球行进的高度与水平距离之间满足的关系为，若羽毛球行进的高度为，则羽毛球飞出的水平距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的实际应用与一元二次方程的求解，解题的关键是将函数值代入解析式，解一元二次方程并结合实际意义取舍． 将高度代入抛物线解析式，得到一元二次方程，求解后根据水平距离的实际意义排除负值，得到结果． 【详解】解：已知羽毛球行进的高度与水平距离的关系为， 当时，代入得， 整理得， 解得：， 因为水平距离，而， 所以羽毛球飞出的水平距离为． 故选：D． 【变式4】在中，，、、分别为、、的对边，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理并通过设未知数将边长比转化为方程求解是解题的关键．结合勾股定理与已知条件，通过设转化为一元二次方程求解． 【详解】解： ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 故选：C． 【变式5】解下列方程：（用公式法）； 【答案】， 【详解】解：， ，，， ， ∴方程有两个不等的实数根， ， 即，． 【变式6】为实数，关于的方程为． (1)求证：原方程一定有实数根． (2)若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为2，或5 【分析】小问（1）需分二次项系数是否为0两种情况讨论．当时，方程为一次方程，有实数根；当时，计算并证明判别式． 小问（2）先求出方程的根，因为根为自然数，再通过此来限制即可得出的值． 【详解】（1）证明：当时，． 此时原方程为．有实数根． 当时， ， ∴原方程有两个实数根， 综上，原方程一定有实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 则， ． 由，知是6的因数． ， ． 当，即时，（舍）． 当，即时，（舍）． 当，即时，． 当，即时，． 综上，a的值为2或5． 【中考链接1】若是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，能正确解出关于的一元二次方程及对求出的进行估值是解题的关键． 将方程的根代入方程，解关于的一元二次方程并估值即可． 【详解】解：将代入方程得，， 解得， 又 所以． 又因为， 所以， 即． 故选：B． 【中考链接2】设与为一元二次方程的两根，则的值为________． 【答案】20 【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可； 【详解】解：∵ △=9-4=5＞0， ∴，， ∴=， 故答案为：20； 【中考链接3】为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【答案】(1)原方程总有两个实数根 (2)或 【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断； （2）求出一元二次方程的两个根，根据条件列式即可求解． 【详解】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． A组·基础过关 1．关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 2．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程定义确定二次项系数的限制，再利用方程无实数根时判别式小于0列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴ ∵方程没有实数根， ∴判别式， 整理得 解得． ∴k的取值范围是． 3．在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式的结构，比较给定表达式，直接确定系数a、b、c的值，即可得到原方程． 【详解】解：∵求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到， ∴，，， ∴ 原方程为 ． 故选：B 4．关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 求出的值，再判断即可得到结论． 【详解】解：原方程整理得， ， 无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根， ， ， ， ， 故答案为：． 5．已知关于的方程，若等腰三角形的底边长为4，两腰长恰好是这个方程的两实数根，则这个三角形的周长为_____________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，由腰长恰好是这个方程的两实数根得，求出k值，代入方程求出两根，最后求出周长即可． 【详解】解：∵两腰长恰好是这个方程的两实数根， ∴ ， 解得 ， 代入方程得 ， 解得 ， 即腰长为3， ∵， ∴符合三角形三边要求， ∴周长为 ， 故答案为：10． 6．解方程：（用公式法）． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：方程可化为， ，，， ， ， 解得：，． 7．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，得，解得，即可作答． （2）理解题意，得出符合条件的最大整数，得，运用公式法进行求解，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， ∴m的取值范围是． （2）解：由（1）知，m的取值范围是． ∴符合条件的最大整数， ∴一元二次方程化为， 此时， ∴， ∴或， ∴当m为符合条件的最大整数时，方程的根为或． 8．已知关于的方程． (1)求证：对于任何实数，该方程总有两个实数根； (2)若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况、三角形的三边关系： （1）直接利用即可求证； （2）先求得该方程的两根，然后利用三角形的三边关系即可求解. 【详解】（1）解： ∵ ∴对于任何实数，该方程总有两个实数根. （2）解： ， ∴. B组·能力提升 9．若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用一次函数性质得出，再判断出，即可求解． 【详解】解：根据题意可知一次函数（为常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴，， 对于一元二次方程， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 10．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一是二次项系数不为0，二是方程有实数根时判别式，据此求出的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ，即， 又∵ 方程有实数根， ∴ 判别式， ∵， ∴ ，解得， 综上，的取值范围是且， 选项A：，故该选项不符合题意； 选项B：，故该选项不符合题意； 选项C：，满足条件，故该选项符合题意； 选项D：，不满足，故该选项不符合题意． 11．如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（ ） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，可得且，再解出方程可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0， ∴且， ∴且， ， 解得： 当时，，则，，不满足一个根大于而小于0，不符合题意； 当时，， 解得：； 综上所述，m的取值范围是． 故选：D 12．计算 (1)（公式法） (2)（配方法） 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】（1）先将方程化为一般式，再求出的值，然后利用求根公式求解即可； （2）把常数项移项，二次项系数化为1，再配方可得：，进一步求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得： ∵， ∴， ∴， 解得：，． （2）解：， 移项得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 13．（1）探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点…第行有个点…容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和． ①三角形点阵中前6行的点数之和是___________； ②三角形点阵中前行的点数之和是120，试求出（提示：）； （2）拓展：如果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，，…，问这个三角形点阵中前行点数和能是120吗？若能，求出；若不能，试用一元二次方程说明道理． 【答案】（1）①21，②15（2）不能，道理见解析 【分析】（1）①根据规律即可求得三角形点阵中前6行的点数和； ②由题意可得：…，即，整理得，解得n的值即可； （2）根据…，整理得，由于即可判断． 【详解】解：（1）①三角形点阵中前6行的点数和为：； 故答案为：21 ②由题意可得：…， 即， 整理得， ， ∴，， ∵为正整数， ∴； （2）三角点阵中前n行的点数的和不能是120．理由如下： 依题意，得…， 即， ， 则， ∵， ∴开平方得不出整数，方程没有正整数解， ∵为正整数， ∴三角点阵中前n行的点数的和不能是120． C组·拓展延伸 14．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，如：．若关于x的方程是一元二次方程，则该方程根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】先根据新定义得出方程，然后根据根的判别式进行求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，即， ∵， ∴有两个不相等的实数根． 15．若一个等腰三角形三边的长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则该等腰三角形的周长为______． 【答案】或 【分析】分类讨论，的取值情况，根据方程根情况确定的取值，然后计算三角形周长． 【详解】解：当腰长为时，此时或， 把代入，得，解得， 方程为，解得，， 此时等腰三角形的周长为． 当底边长为4时，此时，∴方程有相等的实数根， ∴，解得， 当时，方程为，解得， 此时，等腰三角形的周长为． 当时，方程为，解得（不合题意，舍去）， 综上所述，等腰三角形的周长为或． 16．在数学发展史上，一元二次方程的正根可以通过几何方法进行研究．如图，已知矩形的边长，， 连接， 分别以点A、C为圆心，，长为半径画弧，分别交于E，F两点，若关于x的一元二次方程； 通过勾股定理发现这个方程的正根是哪条线段的长？（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先算出方程的正根为，再根据题意用、表示出的长，即可解答． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵， 方程的一个正根是， 四边形是长方形， ，，， 在中，，， 由勾股定理得：， 由作图过程知，， ， 方程的一个正根是的长， 故选：B． 17．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． (2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，点P为该一元二次方程的“友好点”的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题． （1）解方程后，根据定义即可求P点坐标； （2）求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，此时，当时，；再由题意分别求出m的值即可； （3）由直线经过定点，则方程的友好点P为，即可求． 【详解】（1）解：解方程得，， ∴该方程的“友好点”P的坐标为， 故答案为：； （2）的解为或， 当时，， 此时， 由题意可得， 解得； 当时，， 此时， ∴， ∴； 当时，， 此时， 解得；综上所述：m的值为或； （3）存在b，c满足条件，理由如下： ∵， ∴直线经过定点， ∴方程的友好点为， ∴方程为 ∴． 18．阅读新知：化简后，一般形式为的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如:求解的解． 解：设，则原方程可化为：，解之得 当时，，∴； 当时 ∴． 综上，原方程的解为：， （1）通过上述阅读，请你求出方程的解； （2）判断双二次方程根的情况，下列说法正确的是 （选出正确的答案)． ①当时，原方程一定没有实数根； ②当时，原方程一定有实数根； ③原方程无实数根时，一定有． 【答案】（1）；（2）① 【详解】试题分析：（1）按阅读材料中给的换元法依照所给题的解题方法进行解答即可； （2）根据所给的条件分别讨论即可得. 试题解析：（1）设，则原方程可化为：，解之得 当时，，此时原方程无解； 当时    ∴． 综上，原方程的解为： （2）①当时，原方程一定没有实数根，这是正确的； ②当时，原方程不一定有实数根，如方程x4+3x2+2=0，b2-4ac=32-4×1×2=1>0，此时x2=-1或x2=-2，所以原方程无实数根，故②不正确； ③原方程无实数根时，一定有，由①、②可得说法不正确， 故正确的是①. 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $