25.2.1配方法（第1课时 直接开平方法）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦直接开平方法解一元二次方程，通过复习平方根定义、性质及求平方根练习搭建支架，情境设问“一个数的平方等于9求这个数”自然引入，衔接旧知与新知。 以“降次转化”思想为核心，探究基础型与复合型方程培养抽象能力、推理意识，规范解题步骤与典型例题提升运算能力，中考真题与分层作业助力巩固，帮助学生建立严谨思维，为教师提供系统教学资源。

25.2.1配方法（第1课时 直接开平方法）（教学设计） 1.教学内容 本节课时是人教版2024版九年级上册第二十五章《一元二次方程》第二节《降次----解一元二次方程》25.2.1配方法（第1课时直接开平方法），核心教学内容为直接开平方法解一元二次方程.主要包括：依据平方根的定义，解形如和的一元二次方程；掌握直接开平方法的解题步骤；理解一元二次方程“降次”的核心思想；明确方程无实数根的判定条件，是学生学习配方法、公式法、因式分解法的基础起始课. 2.内容解析 一元二次方程是初中代数方程体系的收官内容，承接一元一次方程、二元一次方程组、平方根的知识，是后续学习二次函数、一元二次不等式的重要基础。直接开平方法是解一元二次方程最基础、最简便的方法，也是配方法的核心铺垫，所有配方法的本质最终都可转化为直接开平方法求解，起到承上启下的关键作用.本节课从学生已掌握的平方根定义入手，通过特殊方程探究、规律总结、变式拓展，逐步归纳直接开平方法的适用形式与解题流程，渗透转化降次的数学思想，将陌生的二次方程转化为熟悉的一元一次方程求解，符合学生由浅入深的认知规律.通过方程求解、根的情况判断，培养学生的运算能力、逻辑推理能力和数学建模素养，帮助学生建立“未知转化为已知”的解题思维，提升代数运算的严谨性. 基于以上分析，本节课的教学重点为：掌握直接开平方法解和型一元二次方程的方法及规范解题步骤. 1. 教学目标 （1）理解直接开平方法的定义和解题依据，熟练掌握用直接开平方法解和型一元二次方程的步骤；能准确判断方程是否有实数根，规范书写解题过程. （2）经历从平方根知识推导方程解法的探究过程，体会一元二次方程“降次转化”的核心思想，提升类比迁移、归纳总结和代数运算能力. （3）通过新旧知识的衔接探究，感受数学知识的连贯性和逻辑性，体验解题方法的简洁性，增强学习代数的信心，培养严谨细致的运算习惯. 2.目标解析 目标1依托七年级平方根的基础知识点，突破二次方程求解难点，让学生明确直接开平方法的适用方程特征，区分有两个相等实数根、两个不相等实数根、无实数根三种情况，夯实一元二次方程求解的基础技能. 目标2通过自主探究、小组讨论、变式练习，引导学生主动将二次方程转化为一元一次方程，掌握“降次”的转化思想，实现旧知识向新题型的迁移，提升学生独立解题和归纳规律的能力. 目标3在规范解题步骤、辨析易错题型的过程中，培养学生严谨的数学思维；通过生活化、简单化的方程建模，让学生体会数学的实用性，激发主动探究数学规律的意识. 九年级学生已经熟练掌握平方根的定义、性质，会求非负数的平方根，熟练掌握一元一次方程的解法，具备转化求解方程的基础能力，为本节课直接开平方法的探究提供了知识铺垫.学生具备一定的自主探究、归纳总结能力，但对“整体思想”和“降次转化思想”的理解不够透彻，容易机械套用公式。同时，学生运算粗心，常出现遗漏负根和无实数根、书写步骤不规范等问题.难以理解“将多项式整体看作一个未知数开平方”的整体思维，对二次方程有两个根的认知不深刻，容易混淆算术平方根与平方根的概念，是本节课主要的学习难点. 基于以上分析，本节课的教学难点确定为：理解直接开平方法“降次转化”的数学思想；准确判断p的正负，区分方程实数根的三种情况；避免开平方时遗漏负根. 创设情景，引入新课 复习提问：①什么是平方根？②正数、0、负数的平方根各有什么性质？③求下列各数的平方根：4、0、、-2. 情境设问：若一个数的平方等于9，这个数是多少？若，如何求解x？ 导入新课：形如的方程是最简单的一元二次方程，我们可以利用平方根的知识直接求解，这种方法就是直接开平方法，本节课重点学习该方法解一元二次方程. （设计意图：通过复习平方根的核心知识，搭建新旧知识桥梁，让学生明确本节课解法的理论依据；通过简单方程设问，降低新课入门难度，激发学生探究兴趣，自然引出课题.） 探究点1 理解解一元二次方程的基本思想 活动1：解一元二次方程的基本思想 追问1：怎样解一元一次方程的？ 通过去分母、去括号、移项、合并同类项等过程，转化为“x=m”的形式 讨论交流：一元二次方程也是把它逐步转化为“x=m”的形式，如何能其基本思想是什么？ 与解一元一次方程类似，解一元二次方程也是把它逐步转化为“x=m”的形式.与一元一次方程不同，一元二次方程是二次的，因此解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程. （设计意图：类比旧知，渗透整体思想和降次转化思想，理解解一元二次方程的基本思想为学习降次解一元二次方程做准备.） 探究点2 探究基础型方程 活动2：怎样解型方程 交流思考：解方程， 追问1：结合平方根性质思考：方程的根有几种情况？由什么决定？ 根据平方根性质有三种情况，是由决定的 追问2：对方程的根有几种情况？由什么决定？ 师生归纳：当时，方程有两个不相等的实数根：； 当时，方程有两个相等的实数根：； 当时，方程无实数根（平方数非负）. 及时巩固：用直接开平方法解方程. 解题示范：移项得，因为25>0，所以，即. （设计意图：从最简单的纯二次项方程入手，让学生自主结合旧知探究解法，归纳根的三种情况，突破基础认知；通过规范例题示范，初步培养学生规范解题的习惯，落实基础重点.） 探究点3 探究复合型方程 活动3：怎样解型方程 交流思考：如何解方程？能否把x+1看作一个整体？ 追问1：如果把x+1设其为y，方程变形为什么？怎样解方程呢？ 设y=x+1，方程转化为，先求，再反求x. 直接开平方，求出y，即x+1，可以求出x. 巩固练习：解方程. 系数化为1得，开方得，解得 追问2：你能归纳出用平方法解一元二次方程的步骤吗？交流讨论. 师生总结解题步骤： ① 整理方程：化为的标准形式； ② 判断符号：看常数p，是负数没有实数根； ③ 开方降次：整体开平方，得到两个一元一次方程； ④ 求解整理：解一元一次方程，写出方程的根. （设计意图：渗透整体思想和降次转化思想，将复合型方程转化为基础型方程，突破本节课难点；通过小组合作探究，调动学生主动性，让学生自主掌握核心解题思路，归纳通用解题步骤.） 典型例题 例１.解下列方程: (1); (2). 【分析】按解一元二次方程的步骤，先转化为形式，直接开平方. 【详解】解:(1)移项，并将二次项系数化为1，得 由此可得， 即. (2) 移项，得 由此可得 x+2=3，或x+2=-3， 即. 例2.解方程： 【分析】将一元二次方程转化为形式，再直接开平方. 【详解】解：移项，并将二次项系数化为1，得 此题考查了一元二由此可得 ，或， 即. （设计意图：落实本节课重点知识，规范解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题能力.） 课本课堂练习（P6）第1题、第2题（1、3、5）. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.某汽车公司随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的31.59万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，求月平均降价率． 【详解】设月平均降价率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴月平均降价率是． 1．（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意得：25（1+x）2＝36， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%． 故选：B． 2．（2025•台湾）已知甲方程式为（x﹣4）2＝9，乙方程式为（x+9）2＝﹣4．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？（　　） A．甲有两个相异的解，乙无解 B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C．甲有两个相同的解，乙无解 D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解 【解答】解：对于方程（x﹣4）2＝9， x﹣4＝±3， 解得x1＝7，x2＝1； 对于方程（x+9）2＝﹣4． 因为负数没有平方根， 所以此方程没有实数解． 故选：A． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1. 知识技能：（1）解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程.（2）掌握了完整解题步骤：整理方程→判断p的符号→开方降次→求解根，同时能准确判断方程有无实数根. 2. 思想方法：（1）核心数学思想为转化降次思想：将一元二次方程通过开平方转化为两个一元一次方程，化未知为已知；（2）运用整体思想，把多项式mx+n看作整体简化运算，这是后续配方法解题的核心思维. 3. 易错提醒：（1）开平方时必须保留正负号，极易遗漏负根，导致少解一个根；（2）当p<0时，方程无实数根，不可强行开方求解；（3）解方程前需先将方程化为平方等于常数的标准形式，注意系数化为1；（4）p=0时，方程有两个相等的实数根，不可只写一个根. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题25.2第1（1、2），课堂练习2（2、4、6）. 探究性作业：课本习题25.2第1（3、4）. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 25.2.1配方法（第一课时 ） 一、理论依据：平方根的性质 二、适用方程形式 三、解题步骤 四、核心思想 五、易错提醒 副板书 典型例题 （预留区域，课堂书写化简、检验例题） 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $