2.3一元二次方程根与系数的关系专项练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，覆盖基础计算、代数式变形、几何综合及参数讨论，题型梯度分明，知识逻辑从直接应用到综合拓展。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择1-3、填空12|直接求两根和/积|韦达定理核心公式的直接应用| |变形应用|选择4-5、填空11、13、15-16|代数式化简求值|结合方程根的定义进行代换变形| |几何综合|选择7-8|对角线与面积计算|建立代数方程与几何量的模型联系| |参数讨论|选择6、9-10、解答17-25|方程构造与根的情况分析|从系数关系推导方程参数及根的性质|

1.3一元二次方程根与系数关系专项练习答案解析 一、选择题 1、答案：A 解析：对于一元二次方程 ，两根之积为 。本题中方程为 ，，因此 。 2、答案：A 解析：由韦达定理，方程 的两根之和 ，两根之积 ，代入得 。 3、答案：A 解析：韦达定理中，两根之和为 ，本题中方程的一次项系数为 ，因此 。 4、答案：C 解析：先对代数式因式分解：。由韦达定理，，，代入得 。 5、答案：C 解析：因为 是方程的根，满足方程，因此 ，将其代入代数式得 。根据韦达定理，，因此结果为 。 6、答案：A 解析：对于方程 ，韦达定理得两根之和为 ，两根之积为 。 甲看错常数项，一次项系数正确，因此他得到的两根之和等于正确的两根之和，即 ，得 ； 乙看错一次项，常数项正确，因此他得到的两根之积等于正确的两根之积，即 ，得 。 因此正确的方程为 。 7、答案：B 解析：对角线互相垂直的四边形，面积公式为 。根据韦达定理，方程 的两根之积为 60，即 ，因此面积为 。 8、答案：B 解析：菱形的面积有两种计算方式： 对角线乘积的一半：； 底乘高：。 根据韦达定理，方程 的两根之积为 24，即 ，因此菱形面积为 。已知菱形边长 ，因此 ，解得 。 9、 答案：C 10、 答案：D 二、填空题 11、答案：4049 解析：由韦达定理，，，根据完全平方公式，。 12、答案：10 解析：矩形的周长为 ，根据韦达定理，方程的两根之和为 5，即长 + 宽 = 5，因此周长为 。 13、答案：3 解析：同选择题第 4 题，因式分解后代入韦达定理，结果为 。 14、答案：30 解析：对角线垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，两根之积为 60，因此面积为 30。 15、答案：5051 16、答案：2023 解析：因为 是方程的根，所以 ，代入代数式得： 。 根据韦达定理，，因此结果为 。 三、解答题 17、解答： 对于方程 ，由韦达定理得：，。 (1) 。 (2) 展开代数式：。 18、解答： 设方程的另一个根为 ，根据韦达定理： 两根之积：，解得 ，即另一个根为 - 3。 两根之和：，解得 。 验证：将 代入方程得 ，根为 2 和 - 3，符合条件。 19、 解答： 甲看错常数项，两根之和正确，得 ，； 乙看错一次项，两根之积正确，得 ，。 因此正确的方程为 。 20、解答： (1) 证明： 计算判别式： ， 显然 ，因此无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根。 (2) 由韦达定理，，。 根据题意 ，代入得： ，整理得 ， 解得 ，均满足判别式条件。 21、解答： (1) 方程有两个实数根，因此判别式 ： ，解得 。 (2) 由韦达定理，，。 对代数式变形：， 代入得：， 整理得 ，解得 或 。 结合 的条件，舍去 ，因此 。 22、解答：（1）证明：Δ=（m-3）2-4（-m） =m2-6m+9+4m =m2-2m+9 =（m-1）2+8， ∵（m-1）2＞0， ∴（m-1）2+8＞0，即Δ＞0， ∴方程有两个不相等的两个实数根； （2）解：∵x=1是方程x2-（m-3）x-m=0的一个根， ∴1-（m-3）-m=0， 解得：m=2， 则方程为：x2+x-2=0 解得：x1=1，x2=-2， ∴方程的另一根为-2． 23、解答： (1) 方程有实数根，判别式 ： ，解得 。 (2) 由韦达定理，，。 根据题意 ，变形得 ， 代入得 ，整理得 ，解得 或 。 结合 ，舍去 ，得 。 此时方程为 ，，且 ， 代入所求代数式：。 24、解答： (1) 方程有两个实数根，判别式 ： ，解得 。 (2) 两根差的绝对值满足：， 代入 ，，得 ， 平方得 ，解得 。 25、解答： (1) 方程有两个实数根，判别式 ： ，解得 。 (2) 假设存在这样的 ，对代数式变形： ， 代入韦达定理的结果，不等式变为： ，整理得 ，即 ， 仅当 时成立，但 不满足 的条件，因此不存在这样的实数 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3一元二次方程根与系数的关系 专项练习 一、选择题 1、若 x₁、x₂是一元二次方程 x²－4x－5＝0 的两根，则 x₁・x₂的值为 ( ) A．－5 B．5 C．－4 D．4 2、已知一元二次方程 x²+4x-1=0 的两根分别为 m,n，则 m+n+mn 的值是 ( ) A.﹣5 B.﹣3 C.3 D.5 3、若关于 x 的一元二次方程 x²﹣3x+p＝0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为 a 和 b，则 a+b 的值是（ ） A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 4、已知方程 x²﹣3x+1＝0 的两个根分别是 x₁，x₂，则 x₁²x₂+x₁x₂² 的值为（ ） A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6 5、已知 m，n 是一元二次方程 x²-x-2023=0 的两个实数根，则代数式 m²+n 的值是（ ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6、在解关于 x 的方程 x²+px+q=0 时，甲看错了方程中的常数项，解得两根为 8 和 2，乙看错了方程中的一次项，解得两根为 - 9 和 - 1，则正确的方程为（ ） A．x²-10x+9=0 B．x²-10x-9=0 C．x²+10x+9=0 D．x²+10x-9=0 7、四边形 ABCD 的两条对角线互相垂直，AC、BD 是方程 x²-13x+60=0 的两个解，则四边形 ABCD 的面积是（ ） A．60 B．30 C．16 D．32 8、如图，四边形 ABCD 是边长为 5 的菱形，对角线 AC、BD 的长度分别是一元二次方程 x²-10x+24=0 的两个实数根，DH 是 AB 边上的高，则 DH 的值为（ ）。 A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8 9、已知a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两个根，若a、b、5为等腰三角形的边长，则n的值为（　　） A．﹣4 B．8 C．﹣4或﹣8 D．4或﹣8 10、关于x的方程a2x2+（2a﹣1）x+1＝0，下列说法中正确的是（　　） A．当a＝时，方程的两根互为相反数 B．当a＝0时，方程的根是x＝﹣1 C．若方程有实数根，则a≠0且a≤ D．若方程有实数根，则a≤ 二、填空题 11、若 a，b 是方程 x²-x-2024=0 的两个实数根，则 a²+b² 的值为 ． 12、已知矩形相邻两边长是一元二次方程 x²-5x+2=0 的两个根，那么这个矩形的周长是 . 13、已知方程 x²﹣3x+1＝0 的两个根分别是 x₁，x₂，则 x₁²x₂+x₁x₂² 的值为 ． 14、已知方程 x²-13x+60=0 的两个解分别为 AC、BD，且四边形的对角线互相垂直，则四边形的面积是 ． 15、若α，β是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则代数式2α2+6α+2β+5的值为 ______ 16、已知 α、β 是方程 x²-2022x-1=0 的两个根，则 α²-2021α+β= ． 三、解答题 17、已知 x₁，x₂是方程 2x²-6x-1=0 的两个实数根，求下列各式的值． (1) x₁²+x₂²； (2)(x₁-1)(x₂-1)． 18、 已知关于 x 的一元二次方程 x²-(k+1) x-6=0 的一个根为 2，求 k 的值及另一个根。 19、 已知关于 x 的一元二次方程 x²+px+q=0，甲看错了常数项，解得两根为 8 和 2，乙看错了一次项，解得两根为 - 9 和 - 1，求正确的方程。 20、已知关于 x 的一元二次方程 x²-(2k+1) x+k²+k=0 有两个不相等的实数根 x₁,x₂， (1) 求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若 x₁+x₂=7-x₁x₂，求 k 的值。 21、已知关于 x 的一元二次方程 x²-2 (m+1) x+m²+5=0 有两个实数根 x₁,x₂， (1) 求 m 的取值范围； (2) 若 x₁²+x₂²-3x₁x₂=-14，求 m 的值。 22、已知关于 x 的一元二次方程 x²-(m-3) x-m=0， (1) 求证：无论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 当方程有一根为1时，求m的值及方程的另一根． 23、已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足，求的值. 24、已知 x₁,x₂是方程 x²-6x+c=0 的两个根， (1) 求 c 的取值范围； (2) 若 | x₁-x₂|=2，求 c 的值。 25、已知关于x的一元二次方程2k=0有两个实数根x₁、x₂. (1)求实数k的取值范围. (2)是否存在实数k，使得 成立?若存在，请求出 k的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $