第四章对数函数单元测试-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 北师大版高中数学对数函数单元卷，覆盖定义域、单调性等核心知识，通过基础巩固、能力提升到创新应用的梯度设计，适配单元复习，培养数学抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|定义域、单调性、比较大小|结合奇偶性与单调性（第4题），基础与能力结合| |多选题|3/18|对数运算性质、函数性质|多维度考查对称性与零点（第10题）| |填空题|3/15|分段函数、奇函数、反函数|反函数与单调性综合（第14题），强调数学表达| |解答题|5/77|对数运算、恒成立问题、新定义|新定义“G函数”（第19题），创新应用与逻辑推理|

北师大版高中数学第四章对数函数单元测试 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．下列函数中，在定义域内单调递增且值域为的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 5．若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 6．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 10．关于函数，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．在单调递增 C．的值域为 D．有两个零点 11．已知集合，，是由满足某些性质的函数构成的集合.下列结论正确的是（    ） A．若，则， B．若，则， C．若，，则 D．若，，则 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12．函数，若，则__________． 13．若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 14．已知函数与函数（且）互为反函数，记.若在区间上是增函数，则实数的取值范围是___ _. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．已知 (1)求的值； (2)若，且，求． 16．已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若，求的取值范围． 17．已知函数（且）满足． (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围． 18．已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 19．若存在实数使得，则称函数为，的“函数”． (1)若为，的“函数”，其中为偶函数，为奇函数． （i）求，的解析式； （ii）若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (2)设函数，，是否存在实数使得为，的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． $ 北师大版高中数学第四章对数函数单元测试 一、单选题 1．下列函数中，在定义域内单调递增且值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，在上单调递减，在上单调递增，且值域为，故A错误； B选项，在上单调递增，且值域为，故B正确； C选项，在上单调递增，且值域为，故C错误； D选项，在上单调递增，且值域为，故D错误. 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使函数有意义，需满足真数大于0，即，解得， 因此函数定义域为. 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用幂函数与对数函数的单调性比较函数值的大小. 【详解】因为幂函数在上单调递增，所以，即 又因为，所以. 4．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由于，，则2是函数在上的一个周期． 又由于函数为偶函数，有，且当时，， 所以有． 5．若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 6．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对原式两边取以为底的对数，得到的对数表达式，再通过对数的运算性质（乘积的对数等于对数的和、对数的幂运算）对表达式进行变形，逐项验证即可. 【详解】已知，两边取以为底的对数，可得： ，， ， 则， 因此. 选项A，，，， 乘积为：，A错误. 选项B，左边， 右边， ，B错误. 选项C，由(1)(2)(3)得：，，， 因此： ，C正确. 选项D， ，D错误. 8．若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可. 【详解】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ． 由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 二、多选题 9．下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对数运算的相关公式和性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误． 10．关于函数，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．在单调递增 C．的值域为 D．有两个零点 【答案】AD 【分析】先得到函数定义域为，由，即可得到图象关于直线对称，即可验证A项；令内层函数， 时，单调递减，根据复合函数“同增异减”得到在单调递减，即可验证B项；先由复合函数的单调性原则得到函数的单调性，即可验证C项；令，解得，即可验证D项. 【详解】函数 需满足，即定义域为， 由对数的运算法则得到， 对于A项，因为， 所以，即图象关于直线对称，故A正确； 对于B项，令内层函数，开口向下，对称轴， 时，单调递增，时，单调递减， 因为外层函数在单调递增， 所以根据复合函数的单调性得到在单调递减，故B错误； 对于C项，根据复合函数的单调性得到在单调递增， 所以当时，函数有最大值， 又因为当或时，函数，， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D项，令，即，得到， 整理得到，解得， 所以函数有两个零点，故D正确. 11．已知集合，，是由满足某些性质的函数构成的集合.下列结论正确的是（    ） A．若，则， B．若，则， C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】根据对数型函数单调性，再取特殊值即可判断A；根据指数型函数单调性，再取特殊值，通过极限思想即可判断B；利用作差法，结合的单调性，即可判断C；利用反证法，结合代数变形，即可判断D. 【详解】A.由可知是增函数， 若则成立， 若取，则，即，A正确； B.若，则成立， ，令， ， 所以，B错误； C.若，，则在上单调递增， =， 因为所以，即，C正确； D.若，，任取，设， 则， 即，假设， 则， 整理得，即， 如果不是严格单调递增，必然存在一段区间自变量变大，函数值不增，不断拆分自变量后会与恒成立矛盾， 因此假设不成立，严格递增，即，D正确. 三、填空题 12．函数，若，则__________． 【答案】或 【分析】考查分段函数的求值，重难点为分段函数的分类讨论及复合函数由内到外的求解逻辑，首先由解析式分析，，再分类讨论，求出值. 【详解】已知. 设，则 由分段函数可知，仅有1个解为，所以结合分段函数性质可得. 若，则，，所以； 若，则，解得. 因此满足条件的的值为或. 13．若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 【答案】/ 【分析】先根据是奇函数，得到其定义域关于原点对称，且，从而得到，的值，即可得到的解析式，再根据复合函数的单调性即可判断的单调性，进而即可求出在某区间的最大值． 【详解】由， 则x应满足为，即， 又是奇函数，则其定义域关于原点对称，且， 则，即，解得， 所以， 又是奇函数，且其定义域为， 则，解得， 所以， 又在上单调递增，而在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为． 14．已知函数与函数（且）互为反函数，记.若在区间上是增函数，则实数的取值范围是____. 【答案】 【分析】先明确函数的解析式，分和，结合复合函数单调性进行讨论，进而求解实数的取值范围. 【详解】因为函数与函数（且）互为反函数， 所以（且）. 所以. 设，， 当时，在上单调递减，所以， 又在区间上是增函数， 所以在上单调递减， 所以. 又，所以. 结合，所以. 当时，在上单调递增，所以， 又在区间上是增函数， 所以在上单调递增， 所以， 又，所以， 因为，所以，则，与矛盾，故此种情况无解， 综上可知：. 四、解答题 15．已知 (1)求的值； (2)若，且，求． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用对数的运算法则计算即可； （2）利用指数与对数的互化及运算法则计算即可. 【详解】（1） （2）设，． 因为，所以． 由换底公式得，即，所以，则． 16．已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. (3) 【分析】（1）利用对数的真数大于0求函数的定义域. （2）利用奇函数的定义证明函数的奇偶性. （3）根据对数函数的单调性结合函数的定义域解不等式. 【详解】（1）， 由， 得， 所以的定义域为. （2）略 （3）因为的定义域为，， 令， 由于对数函数单调递减， 所以， 解得. 所以的取值范围为. 17．已知函数（且）满足． (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中函数解析式结合对数运算可得，即可得结果. （2）利用函数解析式将不等式化简可得在上恒成立.，再利用二次不等式恒成立即可求解. 【详解】（1）的定义域为， 因为，可得. 又因为且，所以. （2）由（1）可知：. 因为，， 则，，可得. 因为在上单调递增， 则，即在上恒成立. 又在上最小值为0，则，解得， 且，所以的取值范围为. 18．已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）对数函数的值域为即真数可以取遍所有的正实数，因为的真数结构比较复杂，换元后通过分析真数的取值范围可求解. （2）（Ⅰ）首先根据当时，恒有意义，结合基本不等式求出的取值范围，对二次函数对称轴的位置分类讨论可求得在上的最小值；（Ⅱ）首先根据恒（能）成立问题得到，再求出在上的最小值，根据（Ⅰ）中结果解不等式即可得解. 【详解】（1）因为函数的值域为， 所以真数 需取遍所有的正实数， 令，则，构造函数 ， 所以可将 需取遍所有的正实数问题转化为 在时取遍所有的正实数. 对于 ，图象的开口向上，对称轴方程为， 由 在时取遍所有的正实数知在上的图象与x轴至少有一个交点，所以在上的最小值小于等于0， 所以，且对称轴（否则在上单调递增， ，无法取遍所有的正实数）， 由，解得，所以实数的取值范围是. （2）同（1）中的函数 ， 当时，，恒有意义，即在时恒成立， 当时，恒成立； 当时，将分离参数得， 由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以 ． （Ⅰ）当对称轴 ，即时，在上单调递增，所以 ， 因为函数是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最小值时，取得最小值， 所以在上的最小值为（在时取得）； 当对称轴 ，即时，在上的最小值在顶点处取得， 所以，所以在上的最小值为（在时取得）. 综上，. （Ⅱ）对于任意，存在，使得不等式成立， 即在对应区间上. 因为 ，当时，， 所以，所以在上的最小值为， 所以. 由（Ⅰ）知，当时，在上， ，满足题意； 当时，在上，， 由，解得. 综上，实数的取值范围是． 19．若存在实数使得，则称函数为，的“函数”． (1)若为，的“函数”，其中为偶函数，为奇函数． （i）求，的解析式； （ii）若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (2)设函数，，是否存在实数使得为，的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)存在， 【分析】（1）（i）由“函数”的定义，列出关于的关系式，并根据为偶函数，为奇函数，求得，的解析式； （ii）由（i）知，令，可得，求其最小值，条件可转化为存在，使得成立，由此可求结论； （2）假设存在实数m，n使得为，的“函数”，根据是偶函数得的关系，代回，结合的值域为，求得的值，从而得到的值. 【详解】（1）（i）因为为的“函数”， 所以①，所以， 因为为偶函数，为奇函数，所以， 所以②， 联立①②，解得； （ii）由（i）知，， 则 令，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即， 则，即存在，使得成立， 当恒成立；当时，， 综上，． （2）存在，且，理由如下， 假设存在实数，使得为的“函数”， 则， 因为是偶函数，所以， 即，即， 又，可得， 因为需对任意成立，所以， 又因为 ， 因为，当且仅当即时取等号， 所以， 由于的值域为，所以，所以， 又因为，所以． 综上所述，存在满足要求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $