高中数学单元测试——第四章对数运算与对数函数（较易版01）

**基本信息** 本卷为高中数学第四章对数运算与对数函数单元复习较易版测试，以二维码应用等真实情境融合基础与能力题，适配单元基础巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|对数运算、定义域值域|第5题结合二维码科技情境考查对数应用，体现数学眼光| |多选题|2/12|单调性、对称性|第7题多角度辨析函数性质，培养推理意识| |填空题|2/10|定点问题、参数范围|第10题含存在性条件，发展数学思维| |解答题|3/48|化简求值、奇偶性、最值|第13题三问递进，融合方程与函数最值，提升数学语言表达能力|

高中数学单元测试 —— 第四章 对数运算与对数函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则有（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）如果，那么（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）二维码又称二维条码，通常根据某种特定的几何图形和规律，在二维平面上利用黑白相间的图形来记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而成为目前移动设备上的主流编码方式．某二维码生成器可以生成（即625个点）大小的二维码，若“黑点”表示1，“白点”表示0，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1秒用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么该二维码生成器生成的二维码大约可以用（，）（   ） A．172万年 B．260万年 C．万年 D．万年 6．（本题5分）已知实数，函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）已知函数 ，则（    ） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．的最小值为 D．的图象关于直线对称 8．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（本题5分）函数（且）的图象必过定点_________． 10．（本题5分）已知函数（且≠1），若对任意.存在使得成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题 11．（本题14分）化简求值： (1)； (2). 12．（本题16分）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，求的取值范围. 13．（本题18分）已知函数的图象关于轴对称． (1)求的值． (2)若关于的方程无实数解，求实数的取值范围． (3)若函数，，则是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 对数运算与对数函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数式与对数式的互化直接判断即可. 【详解】当时，由及对数定义得. 故选：A 2．（本题5分）函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性求值域即可. 【详解】在上是减函数， ，即值域为. 故选：A. 3．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的特点以及分母不等于0即可得到不等式组，解出即可. 【详解】函数的定义域需满足，解得且， 故选：D 4．（本题5分）如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性即可得出结论. 【详解】由对数函数在单调递减可得. 故选：D 5．（本题5分）二维码又称二维条码，通常根据某种特定的几何图形和规律，在二维平面上利用黑白相间的图形来记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而成为目前移动设备上的主流编码方式．某二维码生成器可以生成（即625个点）大小的二维码，若“黑点”表示1，“白点”表示0，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1秒用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么该二维码生成器生成的二维码大约可以用（，）（   ） A．172万年 B．260万年 C．万年 D．万年 【答案】C 【分析】根据给定条件，列出表达式并利用对数运算求解. 【详解】依题意，该二维码生成器生成的二维码大约可以用万年， ， 因此，所以该二维码生成器生成的二维码大约可以用万年. 6．（本题5分）已知实数，函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，结合二次函数、对数函数单调性及复合函数的单调性列不等式，即可求出范围. 【详解】， 令，则， 因为且在上单调递增，所以， 因为函数在区间上单调递增，且， 所以函数在区间上单调递增， 又函数为开口向下的抛物线，对称轴为， 因此，所以. 故选：D 二、多选题 7．（本题6分）已知函数 ，则（    ） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．的最小值为 D．的图象关于直线对称 【答案】CD 【分析】令，结合对数函数、二次函数和复合函数的性质即可得结果. 【详解】令，所以 . 由于在 上单调递减，在上单调递增，且是增函数， 所以在 上单调递减，在 上单调递增，最小值为 . 又关于对称，所以的图象关于直线对称 故选：CD. 8．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用函数和互为反函数，确定关系，可判断AB，结合二次函数性质判断CD． 【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直， 且交点为知，， 因此，所以有： ， ， 正确的ABD，错误的是C， 故选：ABD． 三、填空题 9．（本题5分）函数（且）的图象必过定点_________． 【答案】 【分析】根据，即可得到定点. 【详解】由，， 所以当时，， 所以函数过定点. 故答案为：. 10．（本题5分）已知函数（且≠1），若对任意.存在使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式. 根据题意可得只需即可 【详解】根据题意可得只需即可， 由题可知为对数底数且或. 当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，， 所以，即，可得； 当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即，可得. 综上：. 故答案为：. 四、解答题 11．（本题14分）化简求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别化简指数式和对数式，再将结果进行加减运算； （2）根据对数运算法则对各项分别化简，再进行计算. 【详解】（1） . （2） . 12．（本题16分）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再计算，即可证明； （2）首先判断函数的单调性，根据单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 又， 所以函数是定义在上的奇函数. （2）因为， 又在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 不等式，即，即，即， 解得， 所以的取值范围为. 13．（本题18分）已知函数的图象关于轴对称． (1)求的值． (2)若关于的方程无实数解，求实数的取值范围． (3)若函数，，则是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意得到，即对任意恒成立，结合对数的运算法则，即可求解； （2）由（1）根据题意转化为方程无实数解，令得到函数的图象与直线无交点，利用单调性的定义求得在上是减函数，得到，即可求解； （3）令，则，，分、和，三种情况讨论，结合函数的最小值列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象关于轴对称， 所以， 即对任意恒成立， 所以， 所以． （2）解：由（1），可知关于的方程无实数解， 即方程无实数解． 令则函数的图象与直线无交点． ， 任取，，且，则， 所以，所以，所以在上是减函数． 因为，所以， 所以实数的取值范围是． （3）解：由题意知，， 令，则，， 当，即时，，令，解得； 当，即时，， 令，解得（舍去）， 当，即时，， 令，解得舍去． 综上，存在，使得的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $