第11讲 圆的基本性质-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年九年级全一册数学

第11讲 圆的基本性质 泉情境课堂 熊庆来(1893一1969)在函数论方面取得了重要的成就，为发展中国现代高等数学 教育事业做出了杰出的贡献.他于1921年创办了东南大学（现南京大学）数学系和清华 大学数学系研究部，这期间他培养出了一批中国现代杰出的数学家，如华罗庚、庄圻泰、 许宝绿等 测量地球的半径 熊庆来 当人类认识到地球是一个球体后，测量并计算它的半径便成了人们梦寐以求的事.英国数学家瓦莱士运 用几何知识，通过球面（严格地讲是圆）的凸性，给出了一个测量地球半径的简单方法： 题如图，在一条笔直的运河上竖立两根木杆，其上端点A,B间的距离可测，且它们到水平面的高度均 为h.在两杆中间竖立第三根杆，其上端点D恰好在直线AB上.若能测量出h,DH,DB的长，则可求出地球 的半径r 解因为AC=r十h=BC,AD=BD,所以AB⊥DC. 在Rt△DBC中，有BD2+CD2=BC2, 即DB2+(r+DH)2=(r+h)2, DB2+DH2-h2=2rh-2rDH=2r(h-DH), 故r=DB+DP-2 2(h-DH) 若忽略DH一h2(几乎为0)，可有近似公式： DB2 AB2 r≈2h=Dm8(h-D 典例剖析 类型1 垂径定理 例1属如图，⊙O的半径OF与弦AB垂直于点E,C是⊙O上一点，AB=12,CE 的最大值为18，则EF的长为(). A.8 B.6 C.4 D.2 ⊙【学找切入点】连接OA,根据垂径定理得AE=弓AB=6,设半径为r,在R△A0E中，可 根据勾股定理构建方程求解. ·74· 第11讲圆的基本性质 变式1-13如图，点P在⊙O的直径AB上，作正方形PCDE和正方形 PFGH,其中点D,G在直径所在的直线上，点C,E,F,H都在⊙O上，若 两个正方形的面积之和为16，OP=√2，则DG的长是( A.6√2 B.2√14 C.7 D.4√3 拓展总结 垂径定理及其推论 (1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦；(4)平分弦所对的优孤；(5)平分弦所对的劣孤 这五个事项中，若其中有两个事项成立，则其余三个事项也成立，但要注意“平分弦（非直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两条孤”中，“弦”不能是直径. 类型2)灵活运用弧、弦、圆心角的关系 例2如图，已知∠AOB=90°，C,D是AB的三等分点，AB分别交OC,OD于点 E,F.求证：AE=BF=CD ⑥【学找切入点】可借助同圆半径相等构造等腰三角形，由∠AOC=∠COD=∠DOB,推 出AC=CD=BD,再证明△ACE和△BDF也是等腰三角形. 变式2-1如图，AB是⊙0的直径，BC=CD=DE,∠COD=34°，则∠AE0的度数是( A.51° B.56° C.68° D.78 MO D 变式2-1题图 变式2-2题图 变式2-2（经典，东营中考）如图，在⊙0中，AB是⊙0的直径，AB=8cm,AC=CD=BD,M是 AB上一动点，则CM十DM的最小值是 cm. 类型3)圆周角定理及其推论的运用 例3如图，四边形ABCD内接于⊙O,且AD是⊙O的直径，DC与AB的 延长线相交于点E,OC∥AB. (1)求证：AD=AE; (2)若OC=AB=4,求△BCE的面积. B ·75· )培优竞赛超级课堂 9年级数学 ⑤【学找切入点】(1)由O为AD的中点且OC∥AE可得2OC=AE,再由AD=2OC可得AD=AE.(2)连接 DB,先证△AED和△BCE均为等边三角形，再进行求解. 变式3-1(2025，南充中考)如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A,OD交⊙O于点C,AE⊥ OD于点E,交⊙O于点F,F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4,则PE十PF的 最小值是(). A.4 B.2√7 C.6 D.43 变式3-1题图 变式3-2题图 变式3-23(2024，重庆中考)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C,D是⊙O上一点，连 接BD,CD.若∠D=28°，则∠OAB的度数为( A.28° B.34° C.56° D.62° 类型4)垂径定理在实际问题中的应用 例4已知一座圆弧形拱桥，如图所示，圆心为点O,桥下水面宽度AB M E 为18m,过点O作OC⊥AB于点D,CD=3m. D (1)求该圆弧形拱桥的半径. (2)现有一艘宽6m、船舱顶部高出水面2m的货船要经过这座拱桥 (船舱截面为长方形)，请问该货船能顺利通过吗？ ⑥【学找切入点】(1)根据垂径定理得到AD=号AB=9m,连接A0,设A0=r,根据勾股定理即可得到结 论.(2)根据已知条件得到E0=14,根据垂径定理得到ME=MN,连接OM,根据勾股定理即可得到结论. 变式4-1了为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数 据如图所示（单位：cm),则该铁球的直径为(）. A.4 cm B.8 cm C.5 cm D.10 cm ·76 第11讲圆的基本性质 类型5)圆内接四边形的性质 例5如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB为⊙O的直径，∠B= 60°，E为⊙O上一点，且DE⊥AB,垂足为F,G是线段EF上一点，且DG= AC,若CD=2,AG=√7，则⊙O的半径为(). A.38 B.v57 C.20 D.2v17 3 3 3 ⑤【学找切入点】作AM⊥CD,交CD的延长线于点M,作GN⊥AD,交DA的延长线于点N,根据垂径定理 可证∠ACM=∠NDG,从而证明△ACM≌△GDN(AAS),得出CM=DN,AM=GN.根据圆内接四边形的性 质可得∠ADM=60°，设DM=a,则CM=2十a,AD=2a,AM=√3a,AN=2-a.在Rt△ANG中，由勾股定理 求出a=号，AC=V西，然后在R△MBC中根据AC+BC=AB,求出AB=2,即可求解。 )变式5-1(2024，浙江中考)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC,∠ADC<∠BAD,延长 AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE=∠ADC. (1)若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数. (2)求证：①EF∥BC; ②EF=BD. 类型6) 构造直径或直角解题 ,例6如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D,E分别为AB,AC的中点，BF 为AC边上的高，若AB=√2，则线段BF的长等于( A.2DE B.√2DE C.AF D.√2AE ⊙【学找切入点】由条件可知DE-BC,而BF,BC同在△BFC中.由AB-2及⊙0的 半径为1，联想到构造以直径为斜边的直角三角形，可得BF与DE的关系 变式6-1如图，△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD,BE 相交于点H,若BC=6,AH=4,则⊙O的半径为(). A.5 B.2√/13 C.√13 D. 11 2 ·77· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 变式6-2如图，已知△ABC内接于⊙0，F是弧BC上一点，0GLBF于点G,且OG=2AC.求 证：AF⊥BC 类型7〕作辅助圆构造圆周角解题 例7如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，∠AOC=60°，点P 在AB的延长线上，且PB=BO=3cm,连接PC交半圆于点D,过点P 作PE⊥PA交AD的延长线于点E,则PE= cm. ⑤【学找切入点】由AB是半圆的直径得∠ADB=90°，又PE⊥PA,得∠BPE=90°，以BE为直径作圆，则 B,P,E,D均在图上，所以∠EBP=∠EDP=∠CDA=2∠AOC=30,又BP=3,放可求PE=5. 变式7-1如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE, ED,BD.若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为 度 拓展总结 作辅助圆的常见方法 (1)根据等长线段画圆. (2)由，点的运动轨迹画圆. (3)由90°的圆周角所对的弦是直径画圆。 研讨乐园 例8如图1，已知AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB,求证：AC+ BC=√2CD. 【证明】甲的探究补短构造AC十BC.如图2，延长CA至，点E,使得AE= BC,连接ED. AB是⊙O的直径，∠ADB=∠ACB=90°. 图1 ·78 第11讲圆的基本性质 CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=45°，.AD=BD,AD=BD ∠EAD+∠DAC=180°，∠DAC+∠DBC=180°，∴∠EAD=∠CBD, ∴.△EAD≌△CBD(SAS),∴∠ADE=∠BDC,CD=ED. ∴.∠CDE=∠ADE+∠CDA=∠BDC+∠CDA=90°， ∴.△ECD是等腰直角三角形，故EC=√2CD,即AC十BC=√2CD. B E O 图2 图3 图4 图5 乙的探究旋转构造AC十BC.如图3，由于AD=BD,∠CAD+∠DBC=180°，将△CAD绕点D沿顺时针方 向旋转90°得到△EBD,所以C,B,E三，点共线，再证△CDE是等腰直角三角形. 丙的探究联想角平分线的性质和等腰直角三角形的性质.如图4，作AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F, 易得AC=√2AE,BC=√2CF,再证AE=CE=DF即可. 丁的探究联想角平分线的性质.如图5，作DE⊥CA交CA的延长线于点E,DF⊥BC于点F,易证AC十 BC=2CE,而△CED是等腰直角三角形，∴.CD=√2CE, 变式8-13如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=BD,BM⊥AC于点M,求证： AM-DC+CM. B 能力平台 ©培优训练 (建议用时40分钟) 的中点，则AC的长是(. 1.如图，在⊙O中，OA⊥BC,∠AOB=58°，则∠ADC A.3√5 B.4√2 C.32D.2√6 3.如图，已知点A,B,C,D顺次在⊙O上，若圆心O 的大小为(). 在AC上，AB=BD,BM⊥AC于点M,且AB= A.27° B.29° C.30° D.329 √30，BC=√6，则CD的长为(). D E C A.6 B.4 C.2√6 D.2 R D D 第1题图 第2题图 D 2.如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦， 第3题图 第4题图 D是AC的中点，AC与BD交于点E.若E是BD4.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平 ·79· )培优竞赛超级课堂 9年级数学 分∠ABC,DH⊥AB于点H,已知DH=√6， ⑧竞赛训练 (建议用时40分钟) ∠ABC=120°，则AB+BC的值为(). 7.(2025,开化县自主招生)如图，点A,B,C在⊙O A.22 B.2√3 C.4 D.2√6 上，D为⊙O外一点，∠AOB=60°，BC=√2OA,则 5.(2025,广安中考)如图，四边形ABCD是⊙O的内 ∠D的度数可能是( 接四边形，∠BCD=120°，⊙O的半径为6，则BD A.74° B.75 C.76 D.77° 的长为 D B 第7题图 第8题图 6.如图，AC,BD分别是⊙O的直径，连接AB,BC, 8.(2024,宁海县校级自主招生)如图，⊙O截△ABC CD,DA. 的三条边所得的弦长相等，若∠A=80°，则∠BOC (1)求证：四边形ABCD为矩形； 的度数为(). (2)若E为AB的中点，连接DE,且DE=4√5， A.125°B.120° C.130°D.115° AD=6.求⊙O的半径. 9.(2024,东莞市校级自主招生)如图，AB,CD为⊙O 的两条弦，AB⊥CD于点E,OH⊥BC于点H,已知 AD=4,BC=6,则⊙O的半径为 B 10.(2024,海曙区校级自主招生)如图，AB是半圆O 的直径，弦AD,BC相交于点P,∠DPB=60°，D 是BC的中点，则AS AB D 0 ·80∴∠A0B=b∠A0C=30 .在Rt△AOB中，AB=2, ∠AOB=30°， .OA=√3AB=23, .0C=23. ,在Rt△COP中，OC=2√3，∠POC=60°， :CP=50c=3,0P=号0c=5, 点C的坐标为(W3,3). 每次旋转90°，360°÷90°=4， .每旋转4次为一个循环 2023÷4=505…3, ∴第2023次旋转结束时，点C的位置和第3次旋转 结束时点C的位置相同， ∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为(3，一√3). 第11讲圆的基本性质 例1D提示：如图，连接OA. ,⊙O的半径OF与弦AB垂直于点E,AB=12, ∴AE=2AB=6. 当点C,O,E在同一条直线上时，CE最 长.设⊙0的半径为r,则OE=18-r. 在Rt△AOE中，OE2=OA2-AE2, 即(18-r)2=2-6,解得r=10. .OE=18-10=8, ∴.EF=OF-OE=10-8=2. 例2如图，连接AC,BD.设∠1=∠AOC,∠2=∠COD, ∠3∠DOB,∠4=∠OAB,∠5=∠AB0, ,AC=CD=BD,∠AOB=90°，OA=OB, .∠1=∠2=∠3=30°，∠4=∠5=45°，AC=CD=BD, .∠AEC=∠1+∠4=30°+45°=75° 在△AOC中， OA=OC,∴.∠AC0=75, ∠ACO=∠AEC.∴.AE=AC 同理BF=BD,∴.AE=BF=CD. 例3(1)，O为AD的中点，OC∥AE, ∴.2OC=AE. 参考答案与提示 又：AD是⊙O的直径， ..20C-AD ∴.AD=AE (2)由条件得四边形ABCO是平行四边形， .BC∥AD. 又AE=2OC,.AB=BE=4 AD=AE,∴BC=BE=4. 如图，连接BD 点B在⊙O上， ∠DBE=90°， .DB⊥AE. .AB=BE, B ..DA=DE=AE, ∴.△AED是等边三角形， ∴.BC=OA=BE=CE=4, ∴△BCE是等边三角形， .SARCE=43. ☒(I:0CLAB,AD=AB=9m 如图，连接AO,设AO=r, 根据题意得2=92十(r一3)2， 解得r=15. 答：圆弧形拱桥的半径为15米. (2)ED=2,OD=12, .E0=14. :MN.LCO,÷ME=2MN 如图，连接OM .0M=15, .ME=√/152-142=√29>3， 该货船可以顺利通过. 例5B提示：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB 为⊙O的直径，∠B=60°，点E为⊙O上的点，如图，作 AM⊥CD,交CD的延长线于点M,作GN⊥AD,交 DA的延长线于点N,∴∠M=∠N=90°. M D G E DE⊥AB,AD=AE ∴.∠ACM=∠NDG. DG-AC, ,∴.△ACM≌△GDN(AAS), 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 .'.CM=DN,AM=GN. ∠B=60, .∠ADC=180°-60°=120°， .∠ADM=60, .∠MAD=30°. 设DM=a,则CM=2+a,AD=2a,AM=√3a, .'.AN=DN-AD=CM-AD=2+a-2a=2-a. .AN2+GN2=AG, .(2-a)2+(W3a)2=(W7)2, 解得a=号或a=一号（合去）， CM=2+号-子AM=5x号-39， 2 ∴AC=VAM+CF=√(3)+（经）=. 由题意可得∠ACB=90°，·∠B=60°， ÷∠BAC=30,BC=号AB .AC+BC=AB2, (V1)2+(分AB)'=AB, 解得AB=2(负值舍去)， 3 ©0的半径为厚， 例6B提示：如图，连接AO并延长交⊙O于点P,连接 BP. AP是⊙O的直径，∴.∠ABP=90°. ,AB=√2，AP=2, ∴BP=√AP2-AB=√22-(W2)2=√2， .AB=BP,∠P=45° :∠P与∠C所对的弧都是AB, .∠P=∠C=45°. 在Rt△BFC中，BC=√2BF, b-nc ,D,E分别为AB,AC的中点， DE=号BC, ∴.BF=√2DE y D P 例6图 例7图 例7V3.提示：如图所示，连接BD,BE,以BE为直径 作⊙M.AB是半圆O的直径，.∠ADB=90. PE⊥PA,∠BPE=90°， ∴.B,P,E,D在⊙M上， ∠EBP=∠EDP 又：∠EDP=∠CDA,∠CDA= 2∠A0C-30, .∠EBP=30°. 在Rt△BEP中，BP=3cm, :.PE-3-/3cm. √3 【变式题组】 11B提示：如图，作OK⊥P℃ 于点K,设正方形PFGH的边 H 长为x G ,四边形PCDE是正方形， ∴.∠CPD=45° :∠OKP=90°， ∴.△KOP是等腰直角三角形， K=号op=1, ∴.CK=FK=x+1, ∴.PC=CK+PK=x+2. 两个正方形的面积之和为16， ∴.x2+(x+2)2=16, .x=√7-1或x=-√7-1（舍去）， ∴.PC=x+2=√/7+1，PH=x=√7-1， ∴.PD=√2PC=√14+√2，PG=√2PH=√14-√2， .DG=PD+PG=2W√14. 2-1A提示：BC=CD=DE,∠COD=34°， ∴.∠BOC=∠DOE=∠COD=34°， ∴.∠B0E=3×34°=102°. 又：∠EA0=合∠BOE,∠EA0=51R .OA=OE, .∠AE0=∠EAO=51°. 2-28.提示：如图所示，作点C关于 C AB的对称点C',连接CD与AB相 B 交于点M,此时点M所在位置为 CM+DM取最小值的位置.由垂径 定理知AC=AC,∴BD=AC AB为直径， .AC+CD十BD是半圆， AC+CD十AC是半圆， 即CD为直径，点M在圆心的位置， .CM+DM的最小值是8cm 3-1C提示：如图，延长DO交⊙O于点M,连接PM, PF,OF,EP, M :AE⊥OD于点E,交⊙O于点F,F为弧BC的中点， .AC=CF=BF,∴.∠AOC=∠COF=∠BOF :∠AOC+∠COF+∠BOF=180°， .∠AOC=∠COF=∠BOF=60°， '.∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF, 点F关于AB的对称点为点M, .PM=PF,∴.PE+PF=PE+PM≥EM, 当E,P,M三点共线时，PE十PF最小，最小值等于 EM的长. ,∠AOC=60°，AD⊥AB, ∠D=30°，.0D=20A. .CD=4, ..OD-OC++4=20A=20C,OC-4, ..OC=OA=OB-OM-OF-4. ,AF⊥OC,∠AOC=60°， ∠0AE-30,0E=20A=2, ∴.PE+PF的最小值为OE+OM=2+4=6. 3-2B提示：∠D=28°，∴.∠B0C=2∠D=56. OC⊥AB, “点C为AB的中点，AC=BC, .∠AOC=∠BOC=56°， ∴.∠AOB=2X56°=112 .OA=OB, ∴∠0AB=∠0BA=号×(180°-1129)=34. 41D提示：如图，连接AB,CO交于点D. 由题意得OCLAB,则AD=DB=号AB=4cm, 设圆的半径为Rcm,则OD=(R-2)cm, 在Rt△AOD中，OA2=AD+OD, 3 参考答案与提示 即R2=42+(R一2)2， 解得R=5,则该铁球的直径为10cm 5-1(1),CD为直径，∴∠CAD=90° :∠AFE=∠ADC=60°， ∴.∠ACD=90°-60°=30°， ∴∠ABD=∠ACD=30°. (2)①如图，延长AB, ,四边形ABCD是圆内接四边形， .∠CBM=∠ADC. 又：∠AFE=∠ADC, ∴.∠AFE-∠CBM,∴.EF∥BC. ②过点D作DG∥BC交⊙O于点G,连接AG,CG,DG. .DG//BC,..BD=CG,..BD=CG. ,四边形ACGD是圆内接四边形， .∠GDE=∠ACG. .EF∥DG,.∠DEF=∠GDE, .∠DEF=∠ACG. :∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC, ∴.∠AFE=∠AGC :AE=AC,∴.△AEF≌△ACG(AAS), ∴.EF=CG, ..EF-BD. --M 6-1C提示：如图，连接CO并延长交⊙O于点F,连接 AF,BF. CF是⊙O的直径， .∠FBC=∠FAC=90. .AD⊥BC,BF∥AD. BE⊥AC,.BE∥AF, ∴四边形AFBH为平行四边形，.BF=AH=4. 在Rt△BFC中，CF=√BF2+BCz=√4+6=2/13， ⊙0的半径为√13. M H D 变式6-1图 变式6-2图 6-2如图，作直径FM,连接BM,AM,则∠MAF=90° OG⊥BF,.BG=GF. 在△FBM中， 入 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 OF-OM,FG-GB,:.OG-BM. 又OG=号AC,BM=AC, ∴.∠ABC=∠MAB,∴.MA∥BC, AF⊥BC 7-132.提示：，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线 AC的中点，∴点A,B,C,D在以点E为圆心，AC为 直径的同一个圆上， DE=BE=合AC .∠BAD=58°， .∠DEB=2∠BAD=2X58°=116°， .∠EBD=∠EDB=(180°-116)÷2=32°. 8-1如图，在MA上截取ME=MC,连接BE. BM⊥AC,.BE=BC, ∠BEC=∠BCE. .AB=BD, ∠ADB=∠BAD, 而∠ADB=∠BCE, ∠BCE=∠BAD. 又：∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BEC=180°， ∴.∠BEA=∠BCD. :∠BAE=∠BDC, '.△ABE≌△DBC(AAS), ..AE=CD, ..AM=AE+EM-DC+CM. 【能力平台】 1B提示：OA⊥BC,.AC=AB, .∠AOB=2ADC, :∠AOB=58,.∠ADC=29° 2B提示：如图，连接OC,OD,设OD交AC于点F. D ,D是弧AC的中点，AD=CD, ∴.∠AOD=∠COD. .0A=OC, ∴OF⊥AC,AF=CF,即点F是AC的中点， 又，AB是直径，点O是AB的中点， ∴OF=2BC AB是直径，∴.∠ACB=90. OF⊥AC,∴.∠EFD=90°， ∴∠EFD=∠ECB. ,E是BD的中点，DE=BE I∠EFD=∠ECB, 在△EFD和△ECB中，了∠DEF=∠BEC, DE-BE, '.△EFD≌△ECB(AAS), ∴BC-DP,OPF-Dr, ..OF+DF=3,OF=1, ∴.BC=DF=2OF=2, AC=√AB2-BC=√62-2z=4√2. 3B提示：如图，在MA上截取ME=MC,连接BE. D BM⊥AC,ME=MC,.BE=BC, ..∠BEC=∠BCE. AB=BD,∴∠ADB=∠BAD, 而∠ADB=∠BCE, .∠BEC=∠BAD, 又，四边形ABCD是圆内接四边形， .∠BCD+∠BAD=180° ,∠BEA十∠BCE=18O°，∠BEA=∠BCD, 而∠BAE=∠BDC, .△ABE≌△DBC(AAS),.AE=CD. 圆心O在AC上，∴.AC是直径， ∴∠CBA=90°，.AC=√AB2+BC. AB=√30，BC=√6，AC=√30+6=6. :Sac=号×V/30X6=2×6BM, ∴.BM=√5， '.CM=√BC-Br=√6-5=1， .AE=AC-CM-EM=6-1-1=4, .CD=4. 4A提示：如图，延长BA到点E,使AE=BC,连接DE. :BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD=7∠ABC-合X120°=60 :∠DAC=∠DBC=60°，∠DCA=∠DBA=60°， ∴△DAC为等边三角形，∴.DA=DC. AE=BC, 在△ADE和△BCD中， ∠DAE=∠DCB, LAD-CD. .△ADE≌△BCD(SAS), ∠E=∠DBC=60°，而∠DBA=60°， ∴△DBE为等边三角形. DH⊥AB,.BH=EH, 在R△BDH中，BH=号DH=9×6=E, .BE=2BH=2√2，∴.AB+BC=2√2. EAH 56√3.提示：如图，作直径DE,连接BE, 则由圆周角定理得∠A=∠E,∠EBD=90°. 4 0 ● ,四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠A+∠BCD=180°. ∠BCD=120,∴.∠A=60°，∠E-60° ⊙0的半径为6，.DE=12, ,在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD=6√3. 6(1):AC是圆O的直径，.∠ABC=∠ADC=90°. BD是圆O的直径，∠BAD=∠BCD=90°， ,∴.四边形ABCD是矩形. (2)如图，连接OE交AB于点M,延长EO交CD于点N 点E为AB的中点，.OELAB. .'AB∥CD,'.EN⊥CD. 设OD=r,AD=6,.MN=6. .DO-CO-AO-BO, .NO=MO=3,.ME=r-3,.NE=r+3, 在Rt△DON中，DN=√P-9, 在Rt△DNE中，DE=DN2+NE, .(4√5)2=（√2-9）2+(r十3)2，解得r=5, 参考答案与提示 ∴.⊙0的半径为5. M B 7A提示：如图，设CD与⊙O交于点E,连接OC,AE. .'BC=√2OA=√2OB,OB=OC, .OB2+OC=BC,∴.∠BOC=90° :∠AOB=60°，.∠AOC=60°+90°=150°， ∴∠ABC-=2∠A0C-号×150°=753 :∠AEC>∠D, ∴.∠D的度数可以是74°. D、E 、M A B 第7题图 第8题图 8C提示：如图，过点O作OE⊥AB于点E,OD⊥BC 于点D,OF⊥AC于点F ∠A=80°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°， 由题意得HG=PQ=MN,∴.OD=OE=OF 'OE⊥AB,OD⊥BC,OF⊥AC, .OB平分∠ABC,OC平分∠ACB, ∴∠OBC=2∠ABC,∠OCB=7∠ACB, ∴∠OBC+∠0CB-合X(∠ABC+∠ACB)=50, ∴.∠B0C=180°-50°=130°. 9√3.提示：如图，作直径CM,连接MB,BD, .∠CBM=90°， ∴.∠BCM+∠M=90°. AB⊥CD,∴.∠BED=90°， ∴.∠ABD+∠BDE=90. :∠M=∠BDE,∴∠BCM=∠ABD, ∴.MB=AD,.MB=AD=4. .BC=6,∴.CM=√MB2+BC=2√13， ∴.⊙0的半径为√13. 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 提示：：AB是半圆O的直径， ∠ACB=90° ./DPB=60°，∴.∠APC=∠DPB=60°， .∠CAD=90°-∠APC=30°. ,D是BC的中点， ∴BD=CD, .∠BAD=∠CAD=30°， .∠BAC=∠CAD+∠BAD=6O°， ∴∠ABC=90°-∠BAC=30°， 器 第12讲点和圆、直线和圆的位置关系 例1D提示：如图，连接PB. ~抛物线y=子2-4关于y轴对称，OA=0B, ,PQ=AQ,∴OQ是△APB的中位线， 0Q=之PB,当PB最大时，0Q最大 当PB过圆心C时，PB最大，即y=}2-4=0, .x=士4， ∴点B的坐标是(4,0)，OB=4. 点C的坐标是(0,3)，.OC=3, .BC=√OC+OB=5. ⊙C的半径是2，.PC=2. PB=PC+BC=1,0Q=子， :0Q的最大值是子， 例2C提示：以点P(2,2)为圆心的圆P,经过原点O 和点A, ∴.OP是圆P的半径，OP=√22+2=2√2. 如图，连接PC,:点C是弦AB的中点，.PCLAB, .∠ACP=90°， .点C在以PA为直径的圆M上，作PD⊥OA于点 D,则AD=OD. P(2,2),D(0,2),A(0,4),M1,3), ∴.0M=√12+3z=√10. PD垂直平分OA, ∴PA=OP=2√2， .⊙M的半径为√2， ∴.OC长度的最小值为√10-√2. 例3(1)，∠BAE=∠CAD, ·∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD, 即∠EAD=∠BAC, 又：∠ADE=∠ACB,AD=AC, ∴.△ADE≌△ACB(ASA), ∴.AE=AB. AB=8, ∴.AE=8. (2)如图，连接BO并延长交⊙O于点F, B ,BF是⊙O的直径，.∠BAF=90°， ∴.∠AFB+∠ABF=90°. :∠AFB=∠ACB,∴∠ACB+∠ABF=90. 在△ADC中，AD=AC,.∠ACB=∠ADC, ∴.2∠ACB+∠CAD=180°. 由(I)知AE=AB,∴∠AEB=∠ABE, ∴.2∠ABE+∠BAE=180°. :∠BAE-∠CAD,∴∠ACB=∠ABE, ∴.∠ABE+∠ABF=90°，即∠OBE=90°. OB为半径， .EB是⊙O的切线 例4(1)，'AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线， ∴∠ABC=90°，在Rt△OBE中，设⊙O的半径为r. EF=1,BE=√3，.r2+(W)2=(r+1)2,解得r= 1,.OB=1,OE=2,∴∠EOB=60°. (2)如图，连接OD. ,AB是⊙O的直径， .∠ADB=∠BDC=90° ,E为Rt△BCD斜边的中点， ∴.DE=EC,∴∠CDE=∠C. .OD=OA, ∴∠OAD=∠ODA,