专题 4.4 数据的离散程度同步分层作业【基础巩固+拓展培优】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题 4.4 数据的离散程度同步分层作业【基础巩固+拓展培优】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】方差的概念与计算 2 【题型2】标准差的计算与意义 2 【题型3】方差的应用——比较数据稳定性 4 三.拓展培优 6 【题型1】方差的性质与综合应用 8 【题型2】分组的合理性 14 【题型3】实际问题中的方差综合分析 18 四.中考链接 25 五.自我评价 25 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 将一组数据中各数据与__________的差的平方和称为离差平方和。 2. 设n的平均数为，则这组数据的方差= ________________________。 3. 方差越大，说明这组数据的离散程度越__________；方差越小，说明数据越__________。 4. 标准差是方差的__________，其计算公式为s = ________________________。 5. 标准差的单位与原数据的单位__________（填“相同”或“不同”）。 6. 将数据分组时，判断分组是否合理的标准是使________________________最小。 7. 若一组数据的每个数据都加上常数b，则新数据的平均数__________，方差__________。 8. 若一组数据的每个数据都乘以常数a，则新数据的平均数__________，方差__________。 9. 用计算器求方差时，应先进入__________模式，再输入数据进行计算。 10. 比较两组数据的稳定性时，若平均数相同或相近，通常比较__________的大小。 【前置作业参考答案】 1. 平均数 2. 3. 大；稳定（集中） 4. 算术平方根； 5. 相同 6. 组内离差平方和（） 7. 加上b；不变 8. 乘以a；乘以 9. 统计（STAT） 10. 方差（或标准差） 二.基础巩固 【题型1】方差的概念与计算 1．（25-26八年级下·吉林·期末）在一次数学测试中，5名同学的数学成绩分别为：78，82，85，90，95．则这组数据的平均数和方差分别为（     ） A．86，35.6 B．86，30.8 C．85，34 D．85，30.8 【答案】A 【分析】根据平均数和方差公式求解即可． 解：平均数． 方差． 2．（25-26八年级下·山东临沂·期末）已知某组数据的方差计算式为，则下列关于这组数据的说法错误的是（     ） A．这组数据的中位数是3 B．这组数据的平均数是3 C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【答案】D 【分析】从方差计算式中提取原始数据，再计算各统计量判断正误. 解：A、由方差公式得这组数据为. 将数据从小到大排列为， ∵共5个数据，第3个数据为3， ∴中位数是3； 故A、正确． B、， 故B正确． C、∵3出现的次数最多，共2次， ∴众数是3； 故C正确． D、， 故D错误． 3．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知一组数据50，60，70，80，90，则这组数据的方差是_______． 【答案】 解：这组数据的平均数为， ∴ ． 4．（2026·河南信阳·模拟预测）有一组数据如下：、、、、，它们的平均数是，那么这组数据的方差是______． 【答案】 解：根据题意得，． 【题型2】离差平方和的计算 1．（25-26八年级下·河南驻马店·期末）数据100，101，99，98，102的离差平方和是（     ） A．12 B．99 C．10 D．100 【答案】C 【分析】本题考查离差平方和的计算，解题思路为先求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算所有数据与平均数差的平方和，即可得到结果． 解： ∴ 离差平方和是． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）一组数据2，4，7，5，2的离差平方和是（   ） A． B．4 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了平均数和离差，先求出这组数据的平均数，然后根据离差的定义求解即可． 解：平均数为， 这组离差平方和是， 故选：C． 3．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若一组数据，，与平均数的差分别为，，，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】6 【分析】已知每个数据与平均数的差，根据离差平方和的定义直接计算即可． 解：设这组数据的平均数为，由题意可得，，． 离差平方和是所有数据离差的平方之和， 这组数据的离差平方和为：． 4．（25-26八年级下·青海西宁·期末）某中学八年级学生开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，小明将抽样调查的成绩分成两组进行分析，并计算了组内离差平方和，其中第7组至第10组的组内离差平方和如下表，则这四种分法中，第________组分法的组内成绩数据波动最小，两组之间数据差异最大．（填写“7”或“8”或“9”或“10”） 组序 … 7 8 9 10 … 组内离差平方和 … 136.945 125.792 124.182 132.000 … 【答案】9 【分析】组内离差平方和越小，组内成绩数据波动越小；总离差平方和固定时，组内离差平方和越小，组间离差平方和越大，两组数据差异越大，只需比较四个组的组内离差平方和的大小即可得到结果． 解：根据数据波动与离差平方和的关系，组内离差平方和越小，组内数据波动越小， ∵总离差平方和为定值，组间离差平方和等于总离差平方和减去组内离差平方和， ∴组内离差平方和越小，组间离差平方和越大，两组之间数据差异越大， 比较四个组的组内离差平方和，得， ∴第9组的组内离差平方和最小，符合要求． 【题型3】方差的应用——比较数据稳定性 1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第二学期 4 次数学测试的平均成绩恰好都是85 分，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是（     ） A．丁 B．丙 C．乙 D．甲 【答案】B 【分析】平均成绩相同时，方差越小成绩越稳定，比较四者方差即可． 解：四人平均成绩均为85分， 又，，，， ， 成绩最稳定的同学是丙． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）某校八年级甲、乙、丙、丁四位同学参加1分钟跳绳测试，每人10次成绩的平均数（单位：次）及方差（单位：次）如表格所示，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（     ） 统计量 甲 乙 丙 丁 平均数 186 227 208 227 方差 4.5 7.6 6.8 4.5 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表数据波动越小，发挥越稳定． 解：∵， ∴乙和丁的平均成绩更高，成绩更好， ∵， ∴丁的方差更小，波动更小，发挥更稳定， ∴应选择丁． 3．（2026·湖南娄底·模拟预测）在大课间活动中，体育老师对甲、乙两名同学每人进行10次立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，则甲、乙两名同学成绩更稳定的是____________． 【答案】乙 【分析】两人测试次数相同，平均成绩相同，根据方差的意义判断稳定性，方差越小，成绩越稳定． 解：∵， ∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙． 4．（25-26八年级下·河南安阳·期末）甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中，各投掷10次，其落地位置如图所示，则甲、乙两人中成绩相对不稳定的是_________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】根据题意可得甲选手的成绩波动比乙选手的大，则甲的方差大，而方差越大，成绩越不稳定，据此可得答案． 解：由图可知，甲选手的成绩波动比乙选手的大，故甲选手的成绩的方差比乙选手的大， ∴甲、乙两人中成绩相对不稳定的是甲． 三.拓展培优 【题型1】方差的性质与综合应用 1.（26-27九年级上·山东德州·开学考试）为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：，，，，，，，，，． 乙：，，，，，，，，，． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 a 171.44 乙 86.3 b 90 73.41 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息】和【信息】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）90；92；（2）70；96补全甲组竞赛成绩的箱线图如下： （3）乙组竞赛成绩较好．理由：因为乙组的平均数86.3大于甲组平均数84.6，乙组的方差73.41小于甲组的方差171.44，说明乙组平均分更高，成绩更稳定．所以乙组竞赛成绩较好． 【分析】（1）根据中位数的定义，将甲组学生的成绩从小到大排列，然后求排在第5、6的成绩的平均数即可；根据众数的定义，找到乙组中出现次数最多的成绩即可； （2）根据四分位数的求解方法求解上、下四分位数即可；然后求出甲组数据的最大值、最小值，再结合中位数和上、下四分位数即可补全箱线图； （3）可以从平均数和方差的角度分析． （1）解：甲组的成绩从小到大排列：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 共10个数据，则中位数是第5、6个数据的平均数， 故甲组学生竞赛成绩的中位数为（分），即； 乙组学生竞赛成绩出现次数最多为92分， 故乙组学生竞赛成绩的众数为92分，即； （2）解：方法一：前半部分为前5个数（60, 70, 70, 80, 89），中位数是第3个为70，则下四分位数为， 后半部分数据为（91, 92, 96, 98, 100），中位数是第3个为96，则上四分位数为； 方法二：，则取整数3，那么第3个数据即为下四分位数，即； ，则取整数8，那么第8个数据即为上四分位数，即； 甲组的数据最大值为100，最小值为60，而中位数为90，故补全箱线图见答案； （3）略 2.（25-26八年级下·广东珠海·期末）某校举行以“弘扬传统文化，传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛．根据规则，均分高的同学获胜，若均分相同，则发挥较稳定的同学获胜．五轮次比赛中他们的得分如下表，下列说法正确的是（     ） 同学 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 甲 8 7 9 8 8 乙 7 9 6 9 9 A．甲同学获胜 B．乙同学获胜 C．甲乙同学并列获胜 D．无法判断 【答案】A 【分析】按照比赛规则，先计算甲乙两人的平均分，平均分相同再计算方差比较稳定性，最终判断获胜者. 解：， ， ∵两人平均分相同，需比较发挥稳定性，方差越小发挥越稳定，，， ∵ ， ∴甲同学发挥更稳定，根据规则甲同学获胜． 3.（25-26八年级下·安徽六安·期末）为加强中学生安全意识，树立“安全第一，预防为主”的思想，某中学开展了校园安全知识竞赛，八年级甲、乙、丙三个班比赛成绩的平均数与方差如表所示．若要从中选择一个成绩较好且发挥稳定的班级代表年级去参加该知识竞赛，应该选择_________班． 甲 乙 丙 平均数 方差 【答案】乙 【分析】根据平均数和方差的意义解题，先选出平均数较大的成绩较好的班级，再从中选出方差较小的发挥更稳定的班级，即可求解． 解：由表中数据可知，甲，乙两班的平均数均为，大于丙班的平均数，因此甲，乙两班成绩较好. 在甲，乙两班中，乙班的方差为，小于甲班的方差，方差越小，成绩波动越小，发挥越稳定，因此乙班发挥更稳定． 4.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）在某次乒乓球垫球的活动中，体育老师将九年级（1）班的12名女生平均分为甲、乙两队，下面记录的是两队女生的垫球个数（垫球高度不低于2米的为有效垫球数，低于2米的为无效垫球数）． 信息1：两队学生的有效垫球数： 甲队垫球情况（单位：个）：20，18，32，30，26，30； 乙队垫球情况（单位：个）：24，26，22，26，28，30； 信息2：如图： 信息3：技术统计表 队伍 平均垫球个数 垫球众数 垫球中位数 垫球数的方差 平均无效垫球数 甲队 26 30 2 乙队 26 26 5 根据以上信息，回答下面问题： （1）表格中的 ， ， （填“”“”或“”）； （2）请补全信息2中甲队有效垫球数的箱线图； （3）结合信息3的数据统计表，请给甲队和乙队的女生分别提出一个改进的建议． 【答案】（1）28，26，；（2）如图所示， （3）由，可知甲队数据比较分散，建议加强稳定性练习，乙队数据比较集中，稳定性较好，建议整体提高垫球水平（答案不唯一） 【分析】（1）根据中位数，众数，方差定义解答； （2）用两种方法求出四分位数，再画出甲队有效垫球数的箱线图即可； （3）根据方差作出决断即可． （1）解：甲队的垫球数据重新排列得：18，20，26，30，30，32，最中间的是26,30，所以甲队的垫球中位数； 乙队的垫球数据中26出现的次数最多，所以乙队的垫球众数是26； ， ， 所以； （2）解：方法一：由（1）知甲队的垫球中位数是28，分成两组：18，20，26；30，30，32，前一组的中位数是20，后一组的中位数是30，可知甲队的下四分位数是20，上四分位数为30，最小值为18，最大值为32，画出箱线图如答案； 方法二：甲队的垫球数据重新排列得：18，20，26，30，30，32，最小值为18，最大值为32，由（1）知甲队的垫球中位数是28， 下四分位数：，不是整数，取第3位置上的数，故下四分位数是20； 上四分位数：，不是整数，取第5位置上的数，故上四分位数是30， 画出箱线图如答案； （3）略 【题型2】分组的合理性 1.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某水果店现有5个精品水蜜桃，其质量（单位：g）从小到大分别为240，250，260，280，300，水果店打算将这5个水蜜桃按质量分为两组包装成水果礼盒，一组2个，另一组3个．按照组内离差平方和最小的原则初步筛选了两种分组方式如下表，则哪种方式更好？ 分组方式 分组情况 组内离差平方和 方式一 甲组，乙组 400 方式二 A组，B组 m 【答案】方式一更好 【分析】求方式二的组内离差平方和，与方式一的组内离差平方和比较后即可得到结论． 解：方式二中，A组的平均数为， 组的离差平方和为； B组的平均数为， 组的离差平方和为； 方式二的组内离差平方和， ， 方式一更好． 2.（25-26八年级下·天津·阶段检测）现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据组内离差平方和的定义，计算各选项两组的离差平方和之和，总和最小的分组即为正确选项. 解：A.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； B.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； C.的平均数为，离差平方和为；的离差平方和为，总离差平方和为； D.的离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小. 3.（25-26八年级下·河北唐山·期末）学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是__________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 40 ② 第一组2个，第二组2个 88 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【分析】根据题意，最优分组要求同组内株高尽量接近，对应组内离差平方和最小，只需比较三组组内离差平方和的大小即可求解． 解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组，， 序号③的组内离差平方和最小，即盆植物的最优分组序号是③． 4.（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）甲、乙、丙、丁、戊五名学生竞赛成绩（单位：分）分别为：，，，，．根据成绩的组内离差平方和最小的原则，把这个人分为两组． 将数据按从小到大排列，可得，，，，，将它们分成两组共有种情况，分别计算组内离差平方和，如下表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 （1）求，的值． （2）根据成绩的组内离差平方和最小原则，将这个人分为两组． 【答案】（1），；（2）第一组：甲，丁；第二组：乙，丙，戊 【分析】（1）先确定第间隔两组数据，算出第二组的平均数，用离差平方和公式求出，再将两组离差平方和相加得到； （2）对四种分组的组内离差平方和进行比较，选取数值最小的那一组，对应写出学生分组． （1）解：根据题意可知，将，，，，分成两组，共有如下种情况： 第个间隔，第一组：；第二组：，，，， 第个间隔，第一组：，；第二组：，，， 第个间隔，第一组：，，；第二组：，， 第个间隔，第一组：，，，；第二组：， 则第个间隔，第二组的平均数为， 其离差平方和为， 组内离差平方和为． （2）解：， 根据成绩的组内离差平方和最小的分法为第一组：，；第二组：，，，即第一组：甲，丁；第二组：乙，丙，戊． 【题型3】实际问题中的方差综合分析 1.（2026·河北唐山·模拟预测）甲、乙两个生物兴趣小组在探究“光照对绿豆种子发芽影响”的活动中，分别安排相同组数的实验，每组放置10粒种子，在相同的条件下，经过一段时间后，记录每组种子发芽的粒数，并把结果制成尚不完整的扇形统计图（图1）和完整的条形统计图（图2）． （1）求甲兴趣小组种子发芽为“8粒”的有几组； （2）甲兴趣小组种子发芽粒数的平均数，方差，求乙兴趣小组种子发芽粒数的平均数和方差，并判断哪个小组种子发芽情况较好些； （3）甲兴趣小组发现把一组种子发芽粒数记错了，若把正确的甲兴趣小组种子发芽粒数与乙兴趣小组种子发芽粒数合并得到一组新数据，这组数据的众数有3个，求甲兴趣小组的正确样本数据． 【答案】（1）2组；（2），；甲组种子发芽情况较好些；（3） 【分析】（1）根据图2可得组数为，进而结合扇形统计，即可求解； （2）根据平均数与方差的定义，进行计算即可求解； （3）根据众数的定义分析，即可求解． （1）解：∵甲、乙安排相同组数的实验，根据图2可得组数为 ∴甲兴趣小组种子发芽为“8粒”的有组 （2）解： ∵甲组的平均数大于乙组的平均数，且甲组的方差小于乙组的方差， ∴甲组种子发芽情况较好些 （3）解：甲组原数据为：，乙组的原数据为： 合并到一起为， ∵这组数据的众数有3个，且乙数据不变，则众数为，， ∴甲兴趣小组的正确样本数据为 2.（26-27九年级上·福建福州·开学考试）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为7，9，12，13，15．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组情况 组内离差平方和 第一组4个，第二组1个 22.8 第一组3个，第二组2个 14.7 第一组2个，第二组3个 6.7 第一组1个，第二组4个 18.8 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 解：将5名同学的引体向上个数从小到大排列为， 比较组内离差平方和：， 其中最小值对应第一组2个、第二组3个的分法， 要使组内个数相差较小，需将连续的数分为一组， 即分组为和． 3.（25-26八年级下·甘肃天水·期末）甲、乙两班同学举行数学知识竞赛，竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 甲 45 83 86 82 乙 45 83 84 135 若再把这两班的成绩制作成箱线图，某同学综合分析以上统计表和统计图后得到如下结论： ①甲、乙两班学生的成绩箱线图的宽度相同； ②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分分为优秀）； ③甲班成绩的离差平方和是3690． 上述结论中正确的是__________（填写所有正确结论的序号） 【答案】②③ 【分析】逐个分析三个结论，根据已知统计量的定义和性质判断结论是否成立. 解：①箱线图的宽度由成绩的极差（最大值减最小值）决定，题目仅给出平均数、中位数、方差，未给出两班成绩的最值，无法确定极差相同，因此箱线图宽度不一定相同，故①错误； ②两班参赛人数均为，排序后中位数是第个数据， ∵甲班中位数为，说明至少有个得分， ∵乙班中位数为，说明最多有个得分， ∴乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数，故②正确； ③根据方差的定义，， ∴甲班离差平方和，故③正确， 综上，正确结论为②③. 4.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）在学校举办的 “劳动与科技” 实践周中，九年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用 “智能水肥一体化” 技术种植，乙组地块采用 “传统土壤” 方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，13，15，14 乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，15，13，16，13，12 【数据整理】 同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表． 表：甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 13 a 13 乙 13 13 b 图：甲组数据的箱线图 （已知甲组数据的五数概括为：最小值11，下四分位数12，中位数13，上四分位数14，最大值15） 【问题解答】 （1）填空：请直接写出表格中a和b的值：_________， ； （2）绘图：请在答题卡相应位置画出乙组数据的箱线图，并在图的旁边标出最小值、最大值、下四分位数、上四分位数和中位数的数值； （3）决策应用：如果高端超市收购草莓的标准是 “甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）推荐甲组种植方式． 理由： 甲、乙两组草莓甜度的平均数均为13，说明两种种植方式下草莓的平均甜度相当． 甲组的方差为1.2，乙组的方差为3.4．甲组的方差明显小于乙组，说明甲组草莓的甜度数据波动更小，更稳定． 从箱线图也可以看出，甲组数据的分布更集中，而乙组数据分布较分散． 因此，甲组“智能水肥一体化”种植方式下的草莓甜度更稳定、品质更均匀，更符合高端超市的收购标准． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义，直接从甲、乙两组数据中找出或计算得出． （2） 根据乙组数据，找出最小值、最大值、下四分位数、中位数和上四分位数，然后画出箱线图． （3） 通过比较甲、乙两组的平均数和方差，结合箱线图的特征，评估两种种植方式的甜度稳定性和品质均匀度． （1）解：由题意可知， 在甲组数据中：11出现1次，12出现2次，13出现4次，14出现2次，15出现1次． 所以甲组的众数 ． 将乙组数据从小到大排列：10， 11， 12， 12， 13， 13， 14， 15， 16， 16 所以乙组的中位数． （2）解：将乙组数据从小到大排列：10， 11， 12， 12， 13， 13， 14， 15， 16， 16 由题意可知，乙组数据的最小值为10；最大值为16；中位数为13； 解法一：下四分位数（第一四分位）： ， 下四分位数（第一四分位）取第3个数，即12． 上四分位数（第三四分位）：， 上四分位数（第三四分位）取第8个数，即15． 解法二：下四分位数（第一四分位）为前个数据的中位数， 下四分位数（第一四分位）为； 上四分位数（第三四分位）为后个数据的中位数， 上四分位数（第三四分位）为． 乙组数据的箱线图：略 （3）略 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·山东青岛·中考真题）为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据甲、乙的进球的统计图可计算出平均数，得出甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大，由此即可得到答案． 解：由题意可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大， ∴． 甲10次练习的数据分别为：， ， 乙10次练习的数据分别为：， ， ∴． 2．（2026·宁夏·中考真题）校田径队需从甲、乙、丙、丁四名运动员中选派一名参加市运动会米比赛．下表是四名运动员最近次米测试成绩的平均数（单位：）和方差． 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲运动员 B．乙运动员 C．丙运动员 D．丁运动员 【答案】A 解：米比赛用时越短成绩越好， 甲、丙的平均成绩均为，小于乙的和丁的， 甲、丙平均成绩更优，排除乙、丁， 方差越小发挥越稳定，且甲的方差小于丙的方差， 甲的发挥更稳定，故应该选择甲运动员． 二、填空题 3．（2026·江苏连云港·二模）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）方差为，该顾客选购的鸡蛋的质量方差为，则_____（填＞、=、＜）． 【答案】＞ 【分析】根据方差的意义，方差表示数据波动的大小，原有鸡蛋大小不一，波动更大，选购的鸡蛋大小均匀，波动更小，即可比较两者方差的大小． 解：由题意可知，货架上原有鸡蛋大小不一，数据波动程度更大，顾客选购的鸡蛋大小均匀，数据波动程度更小，根据方差的意义，波动越大方差越大，波动越小方差越小，因此． 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如下表，请根据表中信息估计新手是__________．（填写“甲”或“乙”） 甲 乙 平均成绩（单位：环） 6.58 7.67 方差 6.91 0.72 【答案】甲 【分析】本题考查了方差的意义，方差越大，成绩越不稳定．根据图形可知，甲的射击不稳定，可判断新手是甲． 解：根据表中信息可以看出，甲平均成绩较差，且方差更大， 方差越大，成绩越不稳定， 新手是甲． 故答案为：甲． 三、解答题 5．（2026·江苏徐州·中考真题）2021-2025年小明家水、电、燃气等三项的月均支出（单位：元）情况分别如图1、图2所示． 根据以上统计图，解决下列问题： （1）水费月均支出的平均数为___________，电费月均支出的中位数为__________； （2）图1中，月均支出的方差较大的是_________（填“水费”或“电费”）； （3）小明家的燃气费支出主要与冬季取暖有关．若不考虑其他因素，你认为小明家所在地区2023-2025年这三年间的冬季气温存在怎样的变化？ （4）根据年这三年间水、电、燃气等三项的月均支出情况及变化趋势，估计：小明家2026年电费在这三项支出中的占比，较2025年___________（填“变小”或“不变”或“变大”）． 【答案】（1）33元，154元；（2）电费；（3）这三年间的冬季气温在逐渐升高；（4）变大 【分析】（1）根据平均数和中位数的计算方法求解即可； （2）根据数据波动越大，方差越大，结合图形可得结论； （3）先判断出燃气费用的变化，结合气温的变化和取暖需求的关系可推断出结论； （4）先根据统计图中数据分析各项变化趋势，再分析各项占比，进而可得结论． （1）解：水费月均支出的平均数为（元）， 将电费月均支出从小到大的顺序排列为113，148，154，170，170， ∴电费月均支出的中位数为154元； （2）解：由图可知，电费的波动比水费大，故月均支出的方差较大的是电费； （3）解：观察图2可得，年，燃气费月均支出逐年下降，又因为气温越低，取暖需求越大，进而取暖费用就越高，反之，气温越高，取暖需求越小，进而取暖费用就越低， 故由燃气费月均支出逐年下降，说明取暖需求在减少，进而可推断出这三年间的冬季气温在逐渐升高； （4）解：由图知，电费呈上升趋势或持平；水费数据变化较小；燃气费明显呈下降趋势，意味着电费在三项支出中的占比越来越大， 可估计：小明家2026年电费在这三项支出中的占比，较2025年变大． 6．（2026·山东东营·中考真题）为深入实施国家教育数字化战略，东营市某县区举办中学生编程竞赛活动．现从甲、乙两所学校各随机抽取名学生的成绩（满分分）进行整理、描述和分析（成绩用表示，均不低于分，分为一般：；良好：；优秀：三档）． （一）收集数据 甲学校名学生的竞赛成绩（单位：分）：，，，，，，，，，； 乙学校名学生的竞赛成绩（单位：分）：，，，，，，，，，． （二）整理数据 （三）分析数据 甲、乙两学校所抽取学生竞赛成绩统计表： 统计量学校 平均数 中位数 方差 甲 乙 （四）应用数据 （1）填空：_________，_________，________（填“”“”或“”）； （2）甲学校有名学生参加了此次竞赛活动，请估计甲学校参赛学生中获得优秀的人数； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对甲、乙两所学校的竞赛成绩进行对比，并对竞赛情况作出评价． 【答案】（1）；；；（2）名；（3）乙学校学生成绩的中位数比甲学校学生成绩的中位数高，所以乙学校学生的成绩较好（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）由甲学校的成绩可知，甲学校抽取的名学生的成绩在之间的有人，即可计算出的值；根据中位数的定义求出乙学校学生成绩的中位数；由折线统计图可知甲学校学生成绩的波动较小，乙学校学生成绩波动较大，所以甲学校学生成绩的方差小于乙学校学生成绩的方差； （2）利用样本百分率估计总体百分率求出甲学校名学生中获得优秀的人数； （3）利用中位数评价竞赛情况． （1）解：由甲学校的成绩可知，甲学校抽取的名学生的成绩在之间的有人， ， ； 把乙学校抽取的名学生的成绩按照从小到大的顺序排列为：、、、、、、、、、， 其中第、名学生的成绩为、， ； 由折线统计图可知甲学校学生成绩的波动较小，乙学校学生成绩波动较大， ； （2）解：由扇形统计图可知甲学校学生成绩达到优秀的占， 甲学校的名学生中成绩达到优秀的人数有； （3）略 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 拓展培优 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.4 数据的离散程度同步分层作业【基础巩固+拓展培优】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】方差的概念与计算 2 【题型2】离差平方和的计算 2 【题型3】方差的应用——比较数据稳定性 3 三.拓展培优 4 【题型1】方差的性质与综合应用 4 【题型2】分组的合理性 7 【题型3】实际问题中的方差综合分析 8 四.中考链接 11 五.自我评价 15 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 将一组数据中各数据与__________的差的平方和称为离差平方和。 2. 设n的平均数为，则这组数据的方差= ________________________。 3. 方差越大，说明这组数据的离散程度越__________；方差越小，说明数据越__________。 4. 标准差是方差的__________，其计算公式为s = ________________________。 5. 标准差的单位与原数据的单位__________（填“相同”或“不同”）。 6. 将数据分组时，判断分组是否合理的标准是使________________________最小。 7. 若一组数据的每个数据都加上常数b，则新数据的平均数__________，方差__________。 8. 若一组数据的每个数据都乘以常数a，则新数据的平均数__________，方差__________。 9. 用计算器求方差时，应先进入__________模式，再输入数据进行计算。 10. 比较两组数据的稳定性时，若平均数相同或相近，通常比较__________的大小。 二.基础巩固 【题型1】方差的概念与计算 1．（25-26八年级下·吉林·期末）在一次数学测试中，5名同学的数学成绩分别为：78，82，85，90，95．则这组数据的平均数和方差分别为（     ） A．86，35.6 B．86，30.8 C．85，34 D．85，30.8 2．（25-26八年级下·山东临沂·期末）已知某组数据的方差计算式为，则下列关于这组数据的说法错误的是（     ） A．这组数据的中位数是3 B．这组数据的平均数是3 C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 3．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知一组数据50，60，70，80，90，则这组数据的方差是_______． 4．（2026·河南信阳·模拟预测）有一组数据如下：、、、、，它们的平均数是，那么这组数据的方差是______． 【题型2】离差平方和的计算 1．（25-26八年级下·河南驻马店·期末）数据100，101，99，98，102的离差平方和是（     ） A．12 B．99 C．10 D．100 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）一组数据2，4，7，5，2的离差平方和是（   ） A． B．4 C．18 D．20 3．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若一组数据，，与平均数的差分别为，，，则这组数据的离差平方和是_____． 4．（25-26八年级下·青海西宁·期末）某中学八年级学生开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，小明将抽样调查的成绩分成两组进行分析，并计算了组内离差平方和，其中第7组至第10组的组内离差平方和如下表，则这四种分法中，第________组分法的组内成绩数据波动最小，两组之间数据差异最大．（填写“7”或“8”或“9”或“10”） 组序 … 7 8 9 10 … 组内离差平方和 … 136.945 125.792 124.182 132.000 … 【题型3】方差的应用——比较数据稳定性 1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第二学期 4 次数学测试的平均成绩恰好都是85 分，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是（     ） A．丁 B．丙 C．乙 D．甲 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）某校八年级甲、乙、丙、丁四位同学参加1分钟跳绳测试，每人10次成绩的平均数（单位：次）及方差（单位：次）如表格所示，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（     ） 统计量 甲 乙 丙 丁 平均数 186 227 208 227 方差 4.5 7.6 6.8 4.5 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2026·湖南娄底·模拟预测）在大课间活动中，体育老师对甲、乙两名同学每人进行10次立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，则甲、乙两名同学成绩更稳定的是____________． 4．（25-26八年级下·河南安阳·期末）甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中，各投掷10次，其落地位置如图所示，则甲、乙两人中成绩相对不稳定的是_________．（填“甲”或“乙”） 三.拓展培优 【题型1】方差的性质与综合应用 1.（26-27九年级上·山东德州·开学考试）为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：，，，，，，，，，． 乙：，，，，，，，，，． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 a 171.44 乙 86.3 b 90 73.41 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息】和【信息】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 2.（25-26八年级下·广东珠海·期末）某校举行以“弘扬传统文化，传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛．根据规则，均分高的同学获胜，若均分相同，则发挥较稳定的同学获胜．五轮次比赛中他们的得分如下表，下列说法正确的是（     ） 同学 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 甲 8 7 9 8 8 乙 7 9 6 9 9 A．甲同学获胜 B．乙同学获胜 C．甲乙同学并列获胜 D．无法判断 3.（25-26八年级下·安徽六安·期末）为加强中学生安全意识，树立“安全第一，预防为主”的思想，某中学开展了校园安全知识竞赛，八年级甲、乙、丙三个班比赛成绩的平均数与方差如表所示．若要从中选择一个成绩较好且发挥稳定的班级代表年级去参加该知识竞赛，应该选择_________班． 甲 乙 丙 平均数 方差 4.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）在某次乒乓球垫球的活动中，体育老师将九年级（1）班的12名女生平均分为甲、乙两队，下面记录的是两队女生的垫球个数（垫球高度不低于2米的为有效垫球数，低于2米的为无效垫球数）． 信息1：两队学生的有效垫球数： 甲队垫球情况（单位：个）：20，18，32，30，26，30； 乙队垫球情况（单位：个）：24，26，22，26，28，30； 信息2：如图： 信息3：技术统计表 队伍 平均垫球个数 垫球众数 垫球中位数 垫球数的方差 平均无效垫球数 甲队 26 30 2 乙队 26 26 5 根据以上信息，回答下面问题： （1）表格中的 ， ， （填“”“”或“”）； （2）请补全信息2中甲队有效垫球数的箱线图； （3）结合信息3的数据统计表，请给甲队和乙队的女生分别提出一个改进的建议． 【题型2】分组的合理性 1.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某水果店现有5个精品水蜜桃，其质量（单位：g）从小到大分别为240，250，260，280，300，水果店打算将这5个水蜜桃按质量分为两组包装成水果礼盒，一组2个，另一组3个．按照组内离差平方和最小的原则初步筛选了两种分组方式如下表，则哪种方式更好？ 分组方式 分组情况 组内离差平方和 方式一 甲组，乙组 400 方式二 A组，B组 m 2.（25-26八年级下·天津·阶段检测）现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 3.（25-26八年级下·河北唐山·期末）学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是__________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 40 ② 第一组2个，第二组2个 88 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 4.（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）甲、乙、丙、丁、戊五名学生竞赛成绩（单位：分）分别为：，，，，．根据成绩的组内离差平方和最小的原则，把这个人分为两组． 将数据按从小到大排列，可得，，，，，将它们分成两组共有种情况，分别计算组内离差平方和，如下表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 （1）求，的值． （2）根据成绩的组内离差平方和最小原则，将这个人分为两组． 【题型3】实际问题中的方差综合分析 1.（2026·河北唐山·模拟预测）甲、乙两个生物兴趣小组在探究“光照对绿豆种子发芽影响”的活动中，分别安排相同组数的实验，每组放置10粒种子，在相同的条件下，经过一段时间后，记录每组种子发芽的粒数，并把结果制成尚不完整的扇形统计图（图1）和完整的条形统计图（图2）． （1）求甲兴趣小组种子发芽为“8粒”的有几组； （2）甲兴趣小组种子发芽粒数的平均数，方差，求乙兴趣小组种子发芽粒数的平均数和方差，并判断哪个小组种子发芽情况较好些； （3）甲兴趣小组发现把一组种子发芽粒数记错了，若把正确的甲兴趣小组种子发芽粒数与乙兴趣小组种子发芽粒数合并得到一组新数据，这组数据的众数有3个，求甲兴趣小组的正确样本数据． 2.（26-27九年级上·福建福州·开学考试）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为7，9，12，13，15．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组情况 组内离差平方和 第一组4个，第二组1个 22.8 第一组3个，第二组2个 14.7 第一组2个，第二组3个 6.7 第一组1个，第二组4个 18.8 A．和 B．和 C．和 D．和 3.（25-26八年级下·甘肃天水·期末）甲、乙两班同学举行数学知识竞赛，竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 甲 45 83 86 82 乙 45 83 84 135 若再把这两班的成绩制作成箱线图，某同学综合分析以上统计表和统计图后得到如下结论： ①甲、乙两班学生的成绩箱线图的宽度相同； ②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分分为优秀）； ③甲班成绩的离差平方和是3690． 上述结论中正确的是__________（填写所有正确结论的序号） 4.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）在学校举办的 “劳动与科技” 实践周中，九年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用 “智能水肥一体化” 技术种植，乙组地块采用 “传统土壤” 方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，13，15，14 乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，15，13，16，13，12 【数据整理】 同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表． 表：甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 13 a 13 乙 13 13 b 图：甲组数据的箱线图 （已知甲组数据的五数概括为：最小值11，下四分位数12，中位数13，上四分位数14，最大值15） 【问题解答】 （1）填空：请直接写出表格中a和b的值：_________， ； （2）绘图：请在答题卡相应位置画出乙组数据的箱线图，并在图的旁边标出最小值、最大值、下四分位数、上四分位数和中位数的数值； （3）决策应用：如果高端超市收购草莓的标准是 “甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·山东青岛·中考真题）为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·宁夏·中考真题）校田径队需从甲、乙、丙、丁四名运动员中选派一名参加市运动会米比赛．下表是四名运动员最近次米测试成绩的平均数（单位：）和方差． 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲运动员 B．乙运动员 C．丙运动员 D．丁运动员 二、填空题 3．（2026·江苏连云港·二模）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）方差为，该顾客选购的鸡蛋的质量方差为，则_____（填＞、=、＜）． 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如下表，请根据表中信息估计新手是__________．（填写“甲”或“乙”） 甲 乙 平均成绩（单位：环） 6.58 7.67 方差 6.91 0.72 三、解答题 5．（2026·江苏徐州·中考真题）2021-2025年小明家水、电、燃气等三项的月均支出（单位：元）情况分别如图1、图2所示． 根据以上统计图，解决下列问题： （1）水费月均支出的平均数为___________，电费月均支出的中位数为__________； （2）图1中，月均支出的方差较大的是_________（填“水费”或“电费”）； （3）小明家的燃气费支出主要与冬季取暖有关．若不考虑其他因素，你认为小明家所在地区2023-2025年这三年间的冬季气温存在怎样的变化？ （4）根据年这三年间水、电、燃气等三项的月均支出情况及变化趋势，估计：小明家2026年电费在这三项支出中的占比，较2025年___________（填“变小”或“不变”或“变大”）． 6．（2026·山东东营·中考真题）为深入实施国家教育数字化战略，东营市某县区举办中学生编程竞赛活动．现从甲、乙两所学校各随机抽取名学生的成绩（满分分）进行整理、描述和分析（成绩用表示，均不低于分，分为一般：；良好：；优秀：三档）． （一）收集数据 甲学校名学生的竞赛成绩（单位：分）：，，，，，，，，，； 乙学校名学生的竞赛成绩（单位：分）：，，，，，，，，，． （二）整理数据 （三）分析数据 甲、乙两学校所抽取学生竞赛成绩统计表： 统计量学校 平均数 中位数 方差 甲 乙 （四）应用数据 （1）填空：_________，_________，________（填“”“”或“”）； （2）甲学校有名学生参加了此次竞赛活动，请估计甲学校参赛学生中获得优秀的人数； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对甲、乙两所学校的竞赛成绩进行对比，并对竞赛情况作出评价． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 拓展培优 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $