第10讲 图形的旋转-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年九年级全一册数学

目培优竞赛超级课堂9年级数学 28)-160=-(x-16)2-16, .当x=16时，Smax=-16. :一16>一80，∴.当每件的销售价格定为16元时， 第一年年利润的最大值为一16万元. (3)·第一年的年利润为一16万元， ∴.一16万元应作为第二年的成本. 又，x>8,.第二年的年利润S=(x一4)(-x十28) -16=-x2+32x-128. 令S=103,则103=-x2+32x-128, 解得=11，x2=21. 易知当S≥103时，11≤x≤21，∴.当11≤x≤21时， 第二年的年利润S不低于103万元. 10D提示：，水温从20℃加热到100℃，升温幅度为 100一20=80℃，加热速度是每分钟10℃， .∴.所需时间为80÷l0=8min,故A项错误 加热到100℃时，用时8min,即此时x=8,y=100, 降温阶段y与x成反比例， “设y—兰，代入得100=冬，解得=80， 即y一800，故B项错误 x 上午8点接通电源，9：30距离接通电源的时间为90min, 当y=20时，代入y-82,得x=40,即40min后水温 降至20℃，然后饮水机再次加热8min后，水温再次 升到100℃，90-40-40-8=2min. 当x=2时，y=20十2×100.20=40，故上午8点接 8 通电源，可以保证当天9：30不能喝到不超过40℃的 水，故C项错误 加热阶段：水温从20℃到100℃，当y=30时，20+ 10x=30,解得x=1,加热阶段满足y≥30的时间是 8-1=7min. 降温阶段：将y一30代人y一8，得x-,降温阶段 满足≥0的时间是智-8=智告-警mm 3 六总时间为7+曾-召min,故D项正确 田(1)A(2,2)在反比例函数y=冬的图象上， “=4,“反比例函数的解析式为y一兰 又：点B(分，)在反比例函数y=生的图象上， ∴号n=4,解得m=8,即点B的坐标为（号，8）： 由A(2,2,B(合，8)在一次函数y=az+b的图象 (2=2a+b, a=-4, 上，得 1 解得 8=2a+b, b=10, .一次函数的解析式为y=一4x十10. (2)将直线y=一4x十10向下平移m个单位得直线的 解析式为y=一4x十10-m. :直线=-4x+10一m与双曲线y=兰有且只有- 个交点， 令-4z+10-m=兰得4r2+(m-10)z+4=0, .△=(m-10)2-64=0,解得m=2或m=18. 四1)120X5-100,120X5=40,补全表格如表所示. 6 15 F/N120 100 60 50 40 30 R/Q5 6 10 12 15 20 阻值R(单位：)与压力F(单位：N)的关系图象如图 所示，函数关系式为R=60. F +R/ 2533 20E3 15 10E 0型芋非主目 20406080100120140F/N (2)当电流表的示数为0.5A时，0.5=R千30， 18 解得R=6, 把R=6代人R-,得6-，解得F=10, .该台秤最大可称100N的物体， (3)2.4≤m≤7.5.提示：F=mg=10m,R=600, F R=600=60 10m m :8≤R≤25,8≤0≤25， m 解得2.4≤m≤7.5. 第10讲图形的旋转 例1(1)，△ACP在平面内绕点A按顺时针方向旋转得 到△ABD, ∴.AD=AP,∠DAB=∠PAC, ∴∠DAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP, 即∠DAP=∠BAC ,△ABC为等边三角形， .∠BAC=60°， ∠DAP=60°， ∴△ADP为等边三角形. (2),△ACP在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到 △ABD, .'.BD=CP=5. ,△ADP为等边三角形， ∠APD=60°，PD=PA=3. ∠APB=150, .∠DPB=∠APB-∠APD=150°-60°=90°， .PB=√BD-DP=√/52-32=4. 例2D 例3C提示：A(3,0),B(0,4),AE=EB, ∴E(8,2) ÷直线OD的解析式为y=亭x 设D(m,亭m),:0D=0B=4, m+(号m）°=16， ∴m=号或m=号（合去）， D(得9) 例4A提示：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得 △CBD,连接PD.由△ABP≌△CBD得△PBD为等 边三角形，△PCD就是以PA,PB,PC为边的三角形. :∠APB:∠BPC:∠CPA=5:6:7, .∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°， ∠PDC=100°-60°=40°，∠CPD=120°-60°=60， ∠PCD=180°-40°-60°=80°. ∴.以PA,PB,PC为边的三角形的三个角的大小之比 为2：3：4. B 例4图 例5图 例5C提示：如图，过点Q作QE⊥AP于点E,过点C 作CF⊥AP交延长线于点F,连接AC交弧于点P1, 则∠QEP=∠CFP=90°. 又，∠QPC=90°， .∠EQP+∠EPQ=∠FPC+∠EPQ=90°， ∠EQP=∠FPC, 由旋转得PC=PQ, 3 参考答案与提示 ∴.△QPE≌△PCF(AAS), ∴EQ=PF PF≤PC,.EQ≤PC, ∴.AP+PF≤AP+PC≤AC 即当点P在P1时，EQ的值最大，长度与CP1相同， ,四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AP1=CD=AB=1, .AC=√AD+DC=√2， .EQ的值最大为CP1=√2-1， △APQ的最大面积是号×1XW2-1)=21 2 【变式题组】 1-12.提示：过点A'作A'H⊥BC 于点H,如图 ,四边形ABCD为矩形， .BC=AD=9,∠B=90 ,将PA绕点P顺时针旋转90°得到PA', ..PA=PA'. .∠PAB+∠APB=90°，∠APB+∠A'PH=90°， ∠PAB=∠A'PH. ∠B=∠PHA', 在△ABP和△PHA'中，∠PAB=∠A'PH, PA=AP, ∴.△ABP≌△PHA'(AAS), ∴.PB=A'H,PH=AB=5. 设PB=x,则A'H=x,CH=9-x-5=4-x. 在Rt△A'CH中，x2+(4-x)2=(2√2)2， 解得x1=x2=2,即BP的长为2. 2-1C2-2C 3-1(3√2,3√2).提示：如图，将线段OA绕点O逆时 针旋转45°得到OA1,过点A1作A1B⊥x轴于点B,则 ∠ABO=90°， :点A的坐标为(6,0)，.OA=6, 由题意得OA=OA1=6,∠AOA1=45°， ∴.OB=OA1cos45°=3√2，A1B=OA1sin45°=3√2， ∴点A对应点的坐标为(3√2,3√2). D OB A B 变式3-1图 变式4-1图 4-1C提示：如图，将△BEC绕点B逆时针旋转90°可 得△BPA,连接PE,过点B作BH⊥AE,交AE的延 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 长线于点H. .AP=EC=√6，BP=EB=1,∠PBE=90°， .PE=√2，∠BPE=∠BEP=45° :AP2=6,AE2+PE2=4+2=6, .'.AP2=AE2+PE2, ∴.∠AEP=90, .∠BEH=45°. BH⊥EH, .∠EBH=∠BEH=45°， EH-BH-号8E-号， M=2+盟， .AB=AP+BHP=5+2√2. ,四边形AECD的面积=S正方形ABCD一SAABE一S△EC =S正方形ABCD一SAPBE一SAAPE, “四边形AECD的面积=5+2E-合×1X1-合× 2xwE=号+E. 5-1A提示：，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到 线段DF, .DE=DF,∠EDF=90° 又，∠A=∠ABC=90°，AB=4,BC=3,AD=1, 如图1，过点D作DG⊥BC于点G,在DG上取一点 H,使得DH=AD=1,延长FH交AB于点I,则四边 形ABGD是矩形， ∴.∠GDA=∠ADE+∠EDG=9O°=∠EDG+∠HDF .∠ADE=∠HDF, .△DHF≌△DAE(SAS), .∠DHF=∠DAE=90°， .FH⊥DG,即点F在FH上运动， .四边形DAIH和四边形BGHI是矩形， ..HI=AD=BG=1,AI=DH=1,BI=4-1=3, ∴.∠A=∠ABC=90°，AB=4,BC=3,AD=1, .DE=√12+(4-BE),CE=√32+BE, .EC-ED=√32+BE-√J12+(4-BE)Z, 当BE最大时，EC-ED最大， A(E)1 图1 图2 3 如图2，当点E与点A重合，点F与点H重合时，BF 最小，此时EC=√42+3=5，ED=1,EC-ED=5- 1=4≠2√5，故A错误. BF=√HI2+BI产=√12+32=√10，故B正确. 如图3，作点D关于AB的对称点M,连接MC,则 ED=EM,AD=AM=1,∠BAM=∠BAD=90°，过点 M作MN⊥CB于点N,此时EC+ED≥CM,当C,E, M三点共线时，EC十ED最小. .MN⊥CB,∠ABN=180°-90°=90°， .四边形AMNB是矩形， ..BN=AM=1,CN=3+1=4,AB=MN=4, ∴.EC+ED的最小值等于AC=√4+4=4√2， 故C正确。 M B(E 图3 图4 当点E与点A重合时， CF=√GH2+CG=√(3-1)2+(4-1)2=√13， 当点E与点B重合时，过点C作CQ⊥FH,则四边形 CQIB是矩形，如图4， .∴.CQ=IB=4-1=3,QI=BC=3, :△DHF≌△DAE,.FH=AE=4, ..QF=FH+HI-QI=4+1-3=2, .FC=√CQ+FQ=√/22+32=√13， 综上，FC的最大值为√3，故D正确. 6-1(1)如图1，在Rt△ADE中， .AD=DE,.∠A=45° ,BA=BC,△ABC为直角三角形， ∴.∠BCA=45°，∠ABC=90°. 在Rt△EDC中， ,点M是斜边EC的中点，∴.DM=EM=MC. 同理，BM=EM=MC,∴.DM=BM. .DM=MC=BM, ∴.∠1=∠2，∠3=∠4. 又，∠1+∠2=∠5，∠3+∠4=∠6， .2∠2=∠5,2∠3=∠6， .∠5+∠6=2（∠2+∠3） 又：∠2+∠3=∠1+∠3=45°， ∴.∠BMD=2X45°=90°， ∴.BM⊥DM且BM=DM. 图1 图2 (2)仍有BM=DM且BM⊥DM证明如下： 方法一如图2，连接BD,把△ABD绕点B按逆时针 方向旋转90°至△CBN的位置，则点A旋转到点C,点 D旋转到点N,且△ABD≌△CBN. .AD=CN,∠1=∠2，BD=BN,∠DBN=90° ∠ABC=90°，∠3+∠7=90. ∠8=∠7，∴∠3+∠8=90°. :∠ADE=90°，∠2+∠5=90° ∠5=∠6，∠6+∠2=90 ∴.∠2+∠3+∠6+∠8=90°+90°=180° ,∠4+∠6+∠8=180°，∴.∠4=∠2+∠3， .∠4=∠1+∠3，.CN∥ED. 连接MN.·DA=DE,DA=NC,∴.DE=NC 又，EM=MC,∠4=∠MCN, .△DEM≌△NCM, ∴.∠9=∠10，DM=MN. ,∠10+∠EMN=180°， '.∠9+∠EMN=180°， D,M,N三点共线. 在Rt△DBN中，'BD=BN,DM=MN, ∴.BM=2DN=DM且BMLDM. 方法二（倍长中线）如图3，延长DM到点H,使DM= MH,连接BD,BH,CH. 图3 ①证△EDM≌△CHM; ②再证△ABD≌△CBH. 关键点：，∠2十90°=45°-a十45°+B,.∠2=B-a, .∠1=B-∠2=B-(8-a)=a. 参考答案与提示 【能力平台】 1B提示：如图所示， 分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点M 和点N, 由旋转可知OA=OB,∠AOB=90°， .∠AOM+∠BON=∠A+∠AOM=90°， ∴.∠A=∠BON. ∠A=∠BON, 在△AOM和△OBN中，∠AMO=∠ONB, OA=OB, ∴.△AOM≌△OBN(AAS), ..BN=MO,ON=AM. 点A的坐标为（一4,6）， ..BN=MO=4,ON=AM=6, 点B的坐标为(6,4). M N B4 第1题图 第2题图 2D提示：如图，连接AD,交CC于点O, 由旋转得AC=AC=4,∠ACB'=∠ACB=90°， .∠ACD=90. (AD=AD, 在Rt△ACD和Rt△ACD中， AC=AC, .Rt△ACD≌Rt△ACD(HL), .CD=CD=3,.AD垂直平分CC', ..CC-20C.AD CC. ∠ACB=90°，AC=4,CD=3, ∴.AD=√AC+CD=5. :Sam=2CD·AC=2AD.0C, 0C=CD:AC=3X4-12. AD 5 51 0C=2x2=24 551 3D提示：选项A,B,C中都不能找到这样的一个点， 使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以 不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使 图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是 中心对称图形. 4A提示：在平面直角坐标系中，点A的坐标为（一1， 目培优竞赛超级课堂9年级数学 2),故点A关于y轴对称的点为A2(1,2),将点A2(1, 2)绕原点O旋转180°，如图，则点A1(-1,一2). y 391234x B A r- --1--- 5A提示：如图，连接BD,:将△ABC绕点A顺时针 旋转90°得到△ADE,点B,C的对应点分别为点D, E,连接CE,点D恰好落在线段CE上， ∠BCD=90°，AB=AD,∠BAD=90, 又CD=3,BC=1, .∴.BD=√/CD+BC=√32+12=√/10， AD-号D-竖x而-成 y B C B 第5题图 第6题图 a(.4-g). 提示：如图，作CF⊥AO,交y轴于点 F,由题意可得OA=4. ,△ABC是等边三角形，AO⊥BC, ∴.AO是∠BAC的角平分线， ∴.∠OAC=30°， 0C-AC, 在Rt△AOC中，AO+OC=AC, 即16+(3AC)‘=AC, 解得AC=8 3 AC=AC-85,On=A0-AP=4-45,C=4. 3 3 “点C的坐标为(4,44智) 7(1)如图1中，利用旋转变换的性质作出点E的对应 点F即可，连接AC交网格线于点O,作直线FO交 AB于点G即可.点F和直线FG即为所求. E 图1 图2 (2)如图2，取格点J,K,连接AK,CJ交于点M,连接 KJ交网格线于点P,取格点W,连接PW,延长PW 交BD于点N,作射线MN即可.点M和射线MN即 为所求 8V2-1.提示：如图，连接B'C,AC B B ,旋转角∠BAB=45°，四边形ABCD和A'B'C'D'为正 方形， ∴.∠D=∠B=∠AB'O=90°，∠BAC=∠ACD=45°， AB=BC=AB'=1, ∴.点B在对角线AC上，AC=√12+1=√2， .B'C=AC-AB=√2-1. :∠ACD=45°，∠AB'O=90°， .∠COB=45°，△COB为等腰直角三角形， .B'C=B'O=√2-1， .S四边形AB'OD=S△MCD-SABOC =号×1-2×wE-10 =√2-1. 913.提示：：四边形ABCD为菱形，BD=8,AC=10, :.ACLBD,BE-BD-4.CE-7AC-5. ,△GFB与△BEC关于B点中心对称， ∴.BF=BE=4,∠F=90°，GF=CE=5, ∴.FD=BF+BD=4+8=12, ∴.GD=√/FD+GF=√/122+5=13. 0B提示：将△ABC绕点B逆时针旋转100°到 △ABC'的位置， ∴.∠A'BC'=∠ABC=40°. :∠ABA'=100°，∠ABC=60°. IB提示：连接OB,过点C作CP⊥OA,垂足为点P, 如图所示. .AB=CB=2,QA=OC,OB=OB, ∴.△AOB≌△COB(SSS), ∴∠A0B=b∠A0C=30 .在Rt△AOB中，AB=2, ∠AOB=30°， .OA=√3AB=23, .0C=23. ,在Rt△COP中，OC=2√3，∠POC=60°， :CP=50c=3,0P=号0c=5, 点C的坐标为(W3,3). 每次旋转90°，360°÷90°=4， .每旋转4次为一个循环 2023÷4=505…3, ∴第2023次旋转结束时，点C的位置和第3次旋转 结束时点C的位置相同， ∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为(3，一√3). 第11讲圆的基本性质 例1D提示：如图，连接OA. ,⊙O的半径OF与弦AB垂直于点E,AB=12, ∴AE=2AB=6. 当点C,O,E在同一条直线上时，CE最 长.设⊙0的半径为r,则OE=18-r. 在Rt△AOE中，OE2=OA2-AE2, 即(18-r)2=2-6,解得r=10. .OE=18-10=8, ∴.EF=OF-OE=10-8=2. 例2如图，连接AC,BD.设∠1=∠AOC,∠2=∠COD, ∠3∠DOB,∠4=∠OAB,∠5=∠AB0, ,AC=CD=BD,∠AOB=90°，OA=OB, .∠1=∠2=∠3=30°，∠4=∠5=45°，AC=CD=BD, .∠AEC=∠1+∠4=30°+45°=75° 在△AOC中， OA=OC,∴.∠AC0=75, ∠ACO=∠AEC.∴.AE=AC 同理BF=BD,∴.AE=BF=CD. 例3(1)，O为AD的中点，OC∥AE, ∴.2OC=AE. 参考答案与提示 又：AD是⊙O的直径， ..20C-AD ∴.AD=AE (2)由条件得四边形ABCO是平行四边形， .BC∥AD. 又AE=2OC,.AB=BE=4 AD=AE,∴BC=BE=4. 如图，连接BD 点B在⊙O上， ∠DBE=90°， .DB⊥AE. .AB=BE, B ..DA=DE=AE, ∴.△AED是等边三角形， ∴.BC=OA=BE=CE=4, ∴△BCE是等边三角形， .SARCE=43. ☒(I:0CLAB,AD=AB=9m 如图，连接AO,设AO=r, 根据题意得2=92十(r一3)2， 解得r=15. 答：圆弧形拱桥的半径为15米. (2)ED=2,OD=12, .E0=14. :MN.LCO,÷ME=2MN 如图，连接OM .0M=15, .ME=√/152-142=√29>3， 该货船可以顺利通过. 例5B提示：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB 为⊙O的直径，∠B=60°，点E为⊙O上的点，如图，作 AM⊥CD,交CD的延长线于点M,作GN⊥AD,交 DA的延长线于点N,∴∠M=∠N=90°. M D G E DE⊥AB,AD=AE ∴.∠ACM=∠NDG. DG-AC, ,∴.△ACM≌△GDN(AAS),第10讲 图形的旋转 泉情境课堂 李善兰(1811一1882)，清代数学家.同治七年(1868年)他任同文馆算学总教习，以《测圆海镜》为基本教 材，培养人才甚多.他学通古今，融中西数学于一身，主要著作都汇集在《则古昔斋算学》内，其中对尖锥求积 术的探讨已初具积分思想. 海盗与宝藏 从前，有一群海盗专门在海上进行抢劫的勾当，抢了很多财宝.一天，海盗头领带着众海盗用船装着他们 抢来的财物来到一个荒岛，他们要把这些财物埋在岛上.因为怕待的时间久了会被人发现，他们来不及画标 记位置的藏宝图.他们发现，岛上有三棵树，一棵是山毛榉，两棵是橡树.海盗头领对一个 海盗说：“从山毛榉到这棵橡树拉一根绳子，然后从橡树出发，沿着垂直于绳子的方向，往 岛里走一段路，等于这段绳子的长度，到达一点，把它叫1号地，点.”海盗这样做了. 海盗头领又对另一个海盗说：“你到另一棵橡树那儿去，也拉根绳子，然后从橡树出 发，沿着垂直于绳子的方向向岛内走一段路等于这段绳子的长度，到达一点，把它叫 2号地点.”第二个海盗也这样做了 等两个海盗找到1号、2号地，点的时候（如图1所示），海盗头领便下令说：“伙计们，我们把财宝埋藏在这 两点的正当中吧！” 橡树 S橡树 B 仙毛榉 E 橡树财宝F 号 D2号 A橡树 财宝 图1 图2 海盗们把财宝埋好就上船走了.过了几个月，其中的一个海盗想独吞这笔财宝，于是偷偷地串通了海盗 头领的小侍从，两个人回到岛上.可谁知，那棵山毛榉被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有那两棵橡树 还在.海盗非常懊恼，觉得他们的美梦要落空了.可是，小侍从却很聪明，他说：“别急，没有山毛榉我一样能把 财宝找出来！” 只见小侍从找到两棵橡树连线的中点，由中点引了这条连线的垂线，再沿岛内方向量出两棵橡树距离的 一半（如图2所示），找到一点，对水手说：“这儿就是藏宝的地，点，我们快挖吧！” 水手将信将疑，顺着小侍从指的那一点试着挖了下去，挖了一会儿，果然挖到了海盗们之前埋下的财宝. 两个人把财宝全都挖了出来，高高兴兴地用船运走了， 爱思考的读者，你能说出其中的道理吗？ ·66 第10讲图形的旋转 《海盗与宝藏》问题的揭秘 《海盗与宝藏》中的问题可以转化为这样一个数学问题：如图3，在五边形ABCED ⊙ 中，AB⊥AD,BC⊥CE,且AB=AD,BC=CE,F为DE的中点，FN⊥AC.求证：AN= NC=NF.以下给出四种做法的思路： 方法一如图4，过，点A作AG⊥AC交直线ED的延长线于点G,过点C作CH⊥ AC交直线DE的延长线于点H,在AC上取一点M使AM=AG. 易知①△ABM≌△ADG(SAS),②△BCM≌△ECH(AAS). 图3 BM=GD=EH.,点F为GH的中点. ∴.2NF=AG+CH=AM+MC=AC(NF为梯形ACHG的中位线). 方法二如图5，分别作BH⊥AC于，点H,DG⊥AC于点G,EM⊥AC于点M 易知①△ABH≌△DAG(AAS),②△BCH≌△CEM(AAS). ..AG=BH=CM,DG=AH,EM=CH. 又：AN=AG+GN=CM+MN=CN,∴AN=NC-2AC, 在梯形DGME中，FN=2(DG+EW=号(AH+HC)=2AC.“FN=AN=NC B 图4 图5 图6 图7 方法三如图6，延长AF到，点G,使AF=FG,连接CF,EG,CG,则△ADF≌△GEF(SAS). ∴.AD=EG=AB.再证∠B=∠CEG,△ABC≌△GEC(SAS),△ACG,△AFC为等腰直角三角形. 方法四如图7，连接BD,BE,AF,分别过点A,C作AG⊥BD于点G,CH⊥BE于点H,连接GF,HF. 先证△AGF≌△FHC(SAS),再证△ACF为等腰直角三角形. 典例剖析 类型1) 旋转的性质 例1如图，在等边三角形ABC中，点P在其内部，且AP=3,CP=5, ∠APB=150°，将△ACP在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到△ABD. (1)求证：△ADP为等边三角形； (2)求线段PB的长 ·67· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 ⑤【学找切入点】(I)由旋转得AD=AP,∠DAB=∠PAC,可得∠DAP-∠BAC.由等边三角形的性质得 ∠BAC=60°，则∠DAP=60°，即可得△ADP为等边三角形.(2)由旋转得BD=CP=5,再由等边三角形的性 质和勾股定理可解. 变式1-13(2023，西宁中考)如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接 PA,将PA绕点P顺时针旋转90°得到PA',连接CA',若AD=9,AB=5, CA'=2√2，则BP= 类型2)中心对称图形 ,例2(2025，烟台中考)2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个 中国航天日从纪念变为庆祝.下列航天图案是中心对称图形的是( A D ⑤【学找切入点】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.把一个图形绕某一点旋转180°，如 果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫作中心对称图形，这个点叫作对称中心 变式2-1（经典，宜昌中考）下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的 是( A B D 变式2-2（经典，广元中考）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形，又是中心 对称图形的是( A.医疗废物 B.中国红十字会 C.医疗卫生服务机构 D国际急救 ·68 第10讲图形的旋转 类型3)坐标与图形的变化 例3如图，在平面直角坐标系中，A(3,0),B(0,4),将△AOB绕点O顺时针旋 转一定角度得到△COD,点A,B的对应点分别为点C,D,若OD恰好经过AB E 的中点E,则点D的坐标为(). A得》 B(,) c得》 D(, ®【学找切入点】先求出直线OD的解析式y=号，设D(m,号m,再根据OD=0B=4,构建方程求出m 即可. 变式3-1(2025，山西中考)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6,0)，将线段OA绕点O 逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为 。 y O A 类型4)旋转变换的应用 例4（经典，全国初中数学竞赛）如图所示，P是等边△ABC内部一点， ∠APB,∠BPC,∠CPA的大小之比是5：6：7，则以PA,PB,PC为边的三角 P 形的三个角的大小（从小到大）之比是(). A.2:3:4 B.3:4:5 C.4:5:6 D.不确定 ⑧【学找切入点】因为PA,PB,PC没有构成三角形，所以需作辅助线来构造以它们为边的三角形，不妨进行 旋转变换。 变式4-1如图，已知E是正方形ABCD内的一点，连接EA,EB,EC,如果EA= 2,EB=1,EC=√6，则四边形AECD的面积为( ) A.2+9 B.√2+9 2 C2+号 ·69· 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 拓展总结 图形的旋转的应用 1.在条件不易集中利用的情形下，可以通过旋转变换把分散的线段、角相对集中起来，将已知条件集中 在一个熟悉的基本图形中，使问题得到解决。 2.图形中出现等边三角形、正方形、等腰直角三角形时常用旋转变换，把旋转角分别定为60°，90°，45° 3.图形的旋转主要有如下应用： (1)证明线段与角的相等以及和、差、倍、商； (2)在旋转中探索规律，寻找图形性质的变化； (3)在旋转中寻找变量之间的函数关系； (4)利用旋转进行图案设计. 类型5)旋转中有关最值的问题 例5(2025，淄博中考)如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为 半径的弧BD上的点，连接AP,CP,将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到 线段PQ,连接AQ.若AB=1,则△APQ的最大面积是(). A B23 C,2-1 D2+1 2 2 4 ⑧【学找切入点】过点Q作QE⊥AP于点E,过点C作CF⊥AP交延长线于点F,连接AC交弧于点P1,则 可得到△QPE≌△PCF,即可得到EQ=PF,根据垂线段最短和三角形三边关系得到AP+PF≤AP+PC≤ AC,即可得到点P在P1时，EQ的值最大，为CP1长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可. 变式5-13(2025，安徽中考)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=4,BC=3, AD=1,E为边AB上的动点.将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接FB,FC, EC,则下列结论错误的是(). A.EC-ED的最大值是2√5 B.FB的最小值是√I0 C.EC十ED的最小值是4√2 D.FC的最大值是√I3 ·70· 第10讲图形的旋转 《研讨乐园 例6（经典，华中师大一附中网招试题）在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点 M,N（点M靠近点A)使∠MCN=45°，记AM=m,MN=x,BN=n,则以x,m,n为边 长的三角形为(）. A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.随x,m,n的变化而变化 【解】甲的探究AM,MN,BN不在一个三角形中，是否能转化到一个三角形中呢？经验告诉我们，似乎可尝 试将△CAM旋转90° 如图1，将△ACM绕，点C逆时针旋转90°得到△BCD,连接DN. .△ACM≌△BCD,∴.∠ACM=∠BCD,CM=CD. .∠MCN=45°，∴.∠ACM+∠NCB=45°，即∠NCD=45°. .△MCW≌△DCN,.DN=MN, .∠DBC=∠CAM=45°，∠CBA=45°，∴.∠DBN=90°， 图1 ∴.以x,m,n为边长的三角形是直角三角形 乙的探究∠MCN=45°是∠ACB=90°的一半. 联想到对称，感觉△ACM和△BCN翻折后会在△MCN中重叠 如图2，在△CMN中作∠DCM=∠ACM,取CD=AC,连接MD,DN. 易证△ACM≌△DCM.同理可证△DCN≌△BCN. ∴.∠MDN=∠MDC+∠NDC=∠CAB+∠CBA=45°+45°=90° ∴.以x,m,n为边长的三角形是直角三角形. 图2 变式6-13已知在Rt△ABC中，AB=BC,在Rt△ADE中，AD=DE,连接EC,取EC的中点M, 连接DM,BM. (1)若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1所示，求证：BM=DM且 BM⊥DM. (2)将△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2所示，那么(1)中的结论是否仍然成 立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明. B M 图1 图2 ·71· )培优竞赛超级课堂 9年级数学 能力平台 ©培优训练 (建议用时30分钟) y 1.(2024,湖北中考)如图，点A的坐标是(-4,6)，将 线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的 121 39 坐标是( A.(4,6) B.(6,4) C.(-6,-4) D.(-4,-6) B A.(-1,-2) B.(1,2) C.(2,1) D.(-2,-1) 5.(2024,广元中考)如图，将△ABC绕点A顺时针旋 转90°得到△ADE,点B,C的对应点分别为点D, D E,连接CE,点D恰好落在线段CE上，若CD=3, BC=1,则AD的长为( 第1题图 第2题图 2.(2025,天津中考)如图，在△ABC中，∠ACB= A.5 B.10 C.2 D.2√2 90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C',点 B,C的对应点分别为B',C,B'C'的延长线与边 BC相交于点D,连接CC.若AC=4,CD=3,则线 D 段CC的长为( B A号 B9 C.4 号 B 3.(2025,山西中考)科技创新型企业的不断涌现，促 第5题图 第6题图 进了我国新质生产力的快速发展.以下四个科技创 6.(2024,潍坊中考)如图，在直角坐标系中，等边三角 新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是 形ABC的顶点A的坐标为(0,4)，点B,C均在 x轴上.将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到 △AB'C,则点C的坐标为 7.(2025,武汉中考)如图是由小正方形组成的3×4 网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形ABCD 的四个顶，点都是格点.现仅用无刻度直尺在给定网 格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过 五条 4.(2025,青岛中考)如图，在平面直角坐标系中，点 A,B,C都在格点上，将△ABC关于y轴的对称图 形绕原点O旋转180°.得到△A1B1C1,则点A的对 应点A的坐标是(). 图1 图2 ·72· 第10讲图形的旋转 (1)如图1，E是格点，先将点E绕点A逆时针旋转：9.(2025，西安校级自主招生)如图，四边形ABCD为 90°，画对应点F,再画直线FG交AB于点G, 菱形，对角线交于点E,△GFB与△BEC关于点B 使直线FG平分矩形ABCD的面积； 中心对称，已知BD=8,AC=10,则GD的长 (2)如图2，先画点C关于直线BD的对称点M,再 为 画射线MN交BD于点N,使MN∥AD. 10.(2023,惠民县自主招生)如图，在△ABC中， ∠ABC=40°，在同一平面内，将△ABC绕点B逆 时针旋转100°到△A'BC'的位置，则∠ABC= (). A.40 B.60° C.80 D.100° A ⑧竞赛训练 (建议用时20分钟) 第10题图 第11题图 8.(2025,广州校级自主招生)如图，把边长为1的正 11.(2023,河南自主招生)如图，在平面直角坐标系 方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB' 中，四边形OABC的顶点O在原点上，OA边在 CD',边B'C'与DC交于点O,则四边形AB'OD的 x轴的正半轴上，AB⊥x轴，AB=CB=2,OA= 面积为 OC,∠AOC=60°，将四边形OABC绕点O逆时针 C 旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点 0 C的坐标为( A.(-3,W3) B.(3,-√) B C.(-√3,1) D.(1,-√3) ·73·