第9讲 反比例函数的应用-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年九年级全一册数学

第9讲 反比例函数的应用 泉情境课堂 中国古代数学有着光辉灿烂的历史，但自明代以后由于停滞不前而落后于西方.20世纪初，伴随着科学 与民主日益高涨的呼声，中国学者踏上了学习西方先进数学知识的艰难历程.20世纪20年代是中国现代数 学发展道路上的关键时期，全国各地的大学纷纷创办数学系.1928年，留美博士熊庆来出任清华大学数学系 主任，不久，留美博士杨武之加入，两人共同谱写了清华大学的数学传奇，营造了当时中国数学的一方乐土. 到当代，中国出现了华罗庚与陈景润两位享誉世界的数学家， 华罗庚(1910一1985)，我国当代自学成才的科学巨匠，是世界著名的数学家.他 的主要研究领域是数论.从20世纪60年代开始，他把数学方法应用于实际，筛选出 以提高工作效率为目标的优选法和统筹法，取得了显著的经济效益.他曾走遍中国 n30 的工厂，为100000名以上的工人做有关工业数学的讲座.陈景润(1933一1996)，世 界著名解析数论学家.1966年他证明了“每个大偶数都是一个素数及一个不超过两 华罗庚 个素数的乘积之和”，这使他在“哥德巴赫猜想”的研究上居于世界领先地位.这一结果被国际上誉为“陈氏定 理”，受到广泛征引，美国数学大师阿·威尔曾这样称赞他：“陈景润的每一项工作都好像是在喜马拉雅山山 巅上行走.” 典例剖析 类型1 实际问题中反比例函数图象的考查 例1一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示. 设小矩形的长和宽分别为x,y,剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函 数图象是( ). 10 10 【学找切入点】建立x,y之间的函数关系式，注意自变量x的取值范围. )变式1-1为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自2020年 1月开始限产并进行治污改造，其月利润y(单位：万元)与月份x之间的变化关系如图所示，治污 ·57· 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分.下列选项中错误的是 () A.4月份的利润为50万元 B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 C.9月份该厂利润达到200万元 D.治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 y/万元 70 200 110 35 2 6x/月份 25 x/分钟 变式1-1题图 变式1-2题图 变式1-2如图所示是某种电子理疗设备工作原理的示意图，其开始工作时的温度是20℃，然后 按照一次函数关系一直增加到70℃，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿着 反比例函数关系缓慢下降至35℃，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至70℃，再 在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至35℃，如此循环下去. (1)t的值为 (2)如果在0~t分钟内温度大于或等于50℃时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持 续时间为 分钟， 类型2) 反比例函数在其他学科中的应用 例2(2025，贵州中考)小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gā0)的古代汲水工具 (如图1)，有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处 固定300N的物体，且OB=1m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F,当改变点A与点O的距 离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与有一定的关系，记录了拉力的大小F与的变 化，如表： 点A与点O的距离1/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a (1)表格中a的值是 (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与1之间的关系.在如图2所示的平面 直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象 (3)根据以上数据和图象判断，当OA的长度增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由. ·58· 第9讲反比例函数的应用 竹 A 桔槔 F/N 300 200 B 100 2 3 5 图1 图2 ⑤【学找切入点】(1)根据表中数据，可发现1与F的乘积为定值300，即可得到答案. (2)将表格中的数值在平面直角坐标系中描出各点，将所描出的点用平滑的曲线连接起来就能得到这个函 数的图象 (3)根据反比例函数的性质即可得到答案. 变式2-1(2025，哈尔滨中考)某玩具汽车的功率P(单位：W)为定值，行驶速度v(单位：m/s)与 所受阻力F(单位：N)成反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率P= W. 4v/(m/s) 4v/(m/s) 20 10 F/N 3750 F/N 变式2-1题图 变式2-2题图 )变式2-2(2023，南通中考)某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s)与所受阻力F (单位：N)是反比例函数关系，其图象如图所示.若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s, 则所受阻力F为 N. 类型3)运用反比例函数解决实际问题 例3通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化 y 90 而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后 注意力开始分散.若学生的专注度y随时间x(单位：分钟)变化的函数图象 A 如图所示.当0≤x<10和10≤x<a时，图象是线段；当a≤x≤45时，图象 是双曲线的一部分.根据函数图象回答下列问题. 010a 4045x (1)a= (2)当0≤x<10时，求y与x的函数关系式 (3)数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目 的讲解时，专注度不低于60？请说明理由。 ·59· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 ⑤【学找切入点】(1)由函数图象即可求解.(2)从图象看，点A和点D的纵坐标相同，则点A(0,45),即可求 解.③)当y60时，则y=45x十45=60，解得z=号，当y=60时，则y180-60,解特x=30由30-9>25， x 即可求解。 变式3-1当某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图 所示是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(单位：℃)与时间x(单位：) 之间的函数关系，其中线段AB,BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统 关闭阶段[即当10≤x≤24时，大棚内的温度y(单位：℃)是时间x(单位：h)的反比例函数]，已知 点A的坐标为(0,10) 请根据图中信息解答下列问题： (1)当0≤x≤6时，求大棚内的温度y与时间x的函数关系式. (2)求恒温系统设定的恒定温度： (3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害.问这一天内，恒温系统最多可以关闭多 少小时能使蔬菜避免受到伤害？ B 15 10 03610 24x/h 类型4)反比例函数中的规律探索问题 例4两个反比例函数y=3和y=6在第一象限内的图象如图所示，点P, y年 P P,P,,Ps在反比例函数y=的图象上，它们的横坐标分别为A, P ,…,2013,纵坐标分别为1,3,5，…，共2013个连续奇数，过点P1,P2,P3,…, Ps分别作y轴的平行线，与y一的图象交点依次是Q(a),Q(,),Q,(),, Q2o13(x2013,y2013),则y2013= ⑤【学找切入点】列表分析如下： 1 2 3 4 2013 P (9,1 (g3 (得5) (,) 6 (2×2013-12X2013-1 Q (月，) (停) (得) (,) 6 2×2013-1 2×2013-11 2 由表可知y2os的值. ·60 第9讲反比例函数的应用 变式4-1（经典，聊城中考）如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1,A2,A3,A4,…, A,过这些点作x轴的垂线与反比例函数y=的图象分别相交于点P1,P,P,P:,, Pn,作P2B1⊥A1P1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,…,PnBm-1⊥An-1Pm-1,垂足分别为B1,B2,B3, B4,…,Bn-1,连接P1P2,P2P3,P3P4,…,Pn-1Pn,得到一组Rt△P1B1P2,Rt△P2B2P3, Rt△P3B3P4,…,Rt△Pm-1Bn-1P,则Rt△Pm-1Bn-1Pn的面积为 y BB. B.B P BB… O A,A2 AA,A; O A,A2 AA 变式41题图 变式4-2题图 变式4-23（经典，绍兴中考）如图，边长为n的正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上，点A1, A2,…,A-1为OA的n等分点，点B1,B2,…,Bn-1为CB的n等分点，连接A1B1,A2B2,…, A,1B.1,分别交曲线y=”二2(x>0)于点C,C,,C-1.若C5B6=16CA5,则n的值为 (n为正整数) 《研讨乐园 例5“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分y 角”，下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图 M 所示).将给定的锐角∠AOB置于平面直角坐标系中，边OB在x轴上，边 0A与函数y-的图象交于点P,以点P为圆心，以20P为半径作弧，交d B y一的图象于点R,分别过点P和点R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M,连接OM 得到∠MOB,则∠MOB=3∠AOB.要明白帕普斯的方法，请研究以下问题： (1)设P(a,),R(b,),求直线OM对应的函数表达式；（用含a,b的代数式表示） (2)分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q,请说明点Q在直线OM 上，并据此证明∠MOB=3∠AOB; (3)应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角.（用文字简要说明) ⑤【学找切入点】(I)设直线OM的函数表达式为y=kx,将P,R两点的坐标代入，求出k的值.(2)结合矩形 及外角的性质.(3)在(2)的基础上确定方法. ·61· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 【解】 D设直线OM的画数关系式为y=kc,又P(a,),R(6,方) 则M,a）,返=子÷6= a ab 直线OM的函数关系式为y=b. 1 (2②)：点Q的坐标(0，号)满足y=,·点Q在直线OM上 :四边形PQRM是矩形，.SP=SQ=SR=SM=?PR,∠SQR=∠SRQ. :PR=2OP,∴PS=OP=2PR,∠POs=∠PS0. ,∠PSQ是△SQR的一个外角，∴∠PSQ=2∠SQR,∴.∠POS=2∠SQR. .QR∥OB,∴.∠SOB=∠SQR.∴.∠POS=2∠SOB, ∴∠MOB=号∠AOB. (3)以下方法只回答一种即可. 方法一利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分即可 方法二可先把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分，最后利用等边三角形或 其他方法将直角三等分即可. 变式5（经典，盖战中考）知识证移：当。>0且>0时，因为，一9} ≥0，所以x-2√a+ 是≥0，从而x+是≥2a(当x=a时取等号).记函数y=x十(>0，>0)，由上述结论可知： 当x=√a时，该函数有最小值2√a. 直接应用：已知函数M=x(x>0)与函数2=1(x>0),则当x= 时，y1十y2取得 最小值为 变形应用：已知函数y=x十1(x>-1)与函数2=(x十1)2十4(x>-1),求2的最小值，并 指出取得该最小值时相应的x的值. 实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃 油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001.设该汽车一次运 输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ ·62· 第9讲反比例函数的应用 能力平台 ©培优训练 (建议用时40分钟) 系图象，该图象经过点P(880,0.25),根据图象可 1.(2025,湖北中考)已知蓄电池的电压为定值，使用 知，下列说法错误的个数有(). 蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反 ①1与R的函数关系式是I=2没(R>0):②当 比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于 I<0.25时，R<880;③当R>1000时，I>0.22; 92时，电流I可能是(). ④当880<R<1000时，I的取值范围是0.22< A.3A B.4A C.5A D.6A 1<0.25. I/A P/W /A 20 0.25 9 R/O O 60t/s 880R/ 第1题图 第2题图 A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2025,长春中考)在功W(J)一定的条件下，功率 5.(2025,连云港中考)某气球内充满了一定质量的气 P(W)与做功时间t(s)成反比例，P(W)与t(s)之 体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa) 间的函数关系如图所示.当25≤t≤40时，P的值 是气球体积V(m)的反比例函数.当V=1.2m3时， 可以为( ). p=20000Pa.则当V=1.5m3时，p= Pa. A.24 B.27 C.45 D.50 6.(2023,南充中考)小伟用撬棍撬动一块大石头，已 3.(2023,荆州中考)已知蓄电池的电压U为定值，使 知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m,当动力 用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：2)是 臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省 U 反比例函数关系(I一发)，则下列反映电流I与电 N的力.（杠杆原理：阻力×阻力臂=动 力×动力臂) 阻R之间函数关系的图象大致是( 7.(2023,扬州中考)某气球内充满了一定质量的气 IA 体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强（单 位：Pa)是气球体积V(单位：m)的反比例函数，且当 R/O R/O V=3m时，p=8000Pa当气球内的气体压强大于 40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气 A B 球的体积应不小于 m3. IA I/A↑ 8.(2023,河南中考)小军借助反比例函数图象设计 “鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例 R/O R/2 函数)=冬图象上的点A(3,1)和点B为顶点，分 D 别作菱形AOCD和菱形OBEF,点D,E在x轴上， 4.某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变可以通 以点O为圆心，OA长为半径作AC,连接BF 过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示是 (1)求的值； 该台灯的电流I(单位：A)与电阻R(单位：2)的关 (2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数； ·63· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 (3)请直接写出图中阴影部分面积之和. S(单位：万元)取得最大值时进行销售，现根据 第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产 品每件的销售价格x定在8元/件以上，当第二 年的年利润不低于103万元时，请结合年利润 S(单位：万元)与销售价格x(单位：元/件)的函 数示意图，求销售价格x(单位：元/件)的取值 范围 y万件 40 A(4,40) 30 B(8.20) 20 0 C(28,0) 0481216202428x1(元/件) 9.(经典，黄冈中考)某公司用160万元作为 新产品的研发费用，成功研制出了一种 市场急需的电子产品，已于当年投入生 产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为 4元/件，在销售过程中发现每年的年销售量y(单 位：万件)与销售价格x(单位：元/件)的关系如图 ⑧竞赛训练 (建议用时30分钟) 所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为 10.(2025,如皋校级自主招 y/℃ 一次函数图象的一部分.设公司销售这种电子产品 100 生)长江高级中学的自 的年利润为S(单位：万元)（注：若上一年盈利，则盈 动饮水机，开机加热时 利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计 每分钟上升10℃，加热 20 入下一年的成本). 到100℃，停止加热，水 x/min (1)求出y(单位：万件)与x(单位：元/件)之间的函 温开始下降.此时水温y(℃)与通电时间x(min)成 数解析式； 反比例关系.当水温降至20℃时，饮水机再自动 (2)求出第一年这种电子产品的年利润S(单位：万元) 加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电 与x(单位：元/件)之间的函数解析式，并求出第 时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确 一年年利润的最大值； 的是() (3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润 A.水温从20℃加热到100℃需要7min ·64… 第9讲反比例函数的应用 B.水温下降过程中，y与x的函数关系式是 y400 x C.上午8点接通电源可以保证当天9：30能喝到 图1 图2 不超过40℃的水 (1)请补全下面的表格，在图3中补全点，画出R D.水温不低于30℃的时间为写min (单位：2)与F(单位：N)的关系图象，并写出 阻值R(单位：2)与压力F(单位：N)的函数关 11.(2024,巴中市巴州区校级自主招生)如图，反比例 系式 函数y=与一次函数y=ax十b的图象交于点 F/N 120 60 50 30 A2,2,B(2m. R/2 5 6 10 1215 20 (1)求这两个函数的解析式； AR/O 25 (2)将一次函数y=ax十b的图象沿y轴向下平移 20 m个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 6 乡的图象有且只有一个交点，求m的值 10 20406080100120140FN 图3 (2)已知电路中电流I(单位：A)与电阻、电源电压 的关系式I一R十R。,当电流表的示数达到最 大值时，台秤达到量程的最大值.若电流表的 量程为0~0.5A,则该台秤最大可称多重的 物体？ (3)已知力敏电阻受压力F(单位：N)与所测物体的质 量m(单位：kg)的关系为F=mg(g≈10N/kg).若 力敏电阻阻值的变化范围为8≤R≤25，则所测物 体的质量m(单位：kg)的变化范围是 12.(2023,河南自主招生)某科技小组的同学制作了 一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电 路如图2所示，其中电流表的表盘被改装为台秤 的示数.已知电源电压U为18V,定值电阻R,为 302,电阻R为力敏电阻，其阻值R(单位：2)与 所受压力F(单位：N)符合反比例函数关系. ·65·∴.点E(-2,-12).点B(2,0),D(4,6), .BE=√(2+2)2+(0+12)2=4√10， DB=√(4-2)2+6=2√10， ∴CN=2BD=I而， :SAm-BE.CN-X4/10X /10-20. (3)观察图象，不等式ax十6>冬的解集-2<x<0或 x>4. 第9讲反比例函数的应用 例1A 例2(1)根据题表中的数据，可发现1与F的乘积为定值 300,..3a=300,..a=100,故答案为100. (2)画出F与1的函数图象如图所示. AF/N 300 200-+ 100- 23 4 5 l/m (3)当OA的长增大时，拉力F减小，理由如下： F,1都是正数， 这条曲线是反比例函数的一支 .FL=300, ∴其函数表达式为F=300 >0, ,在第一象限内，F随1的增大而减小， 即当OA的长增大时，拉力F减小 例3(1)20. (2)由题图知，点020,90)，设双曲线的表达式为)y一空， 将点C的坐标代入抛物线的表达式，得m=20×90= 1800, 则反比例函数的表达式为y=1800, 当x=40时，y=1800=45,则点D(40,45). x 由题图知，点A和点D的纵坐标相同，则点A(0,45) 设直线AB的表达式为y=kx十45， 将点B(10,90)代人上式，得90=10k+45, 解得k=4.5,则直线AB的表达式为y=4.5x+45. (3)可以.理由如下： 当y=60时y=4.5x十45=60，解得x=号， 2 参考答案与提示 当)y=60时，3y=1800=60,解得x=30. x :30-9>25,故安排在号分钟到30分钟之间即可。 例12012.5.提示y20-2X2013-1=2012.5. 2 【变式题组】 团D提示：设反比例函数的解析式为y一冬，把(1， 200)代人得k=200, ·反比例函数的解析式为y=200, 当x=4时，y=50, ∴.4月份的利润为50万元，A正确，不合题意； 治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万， 故每月利润比前一个月增加30万元，B正确，不合 题意； 设一次函数的解析式为y=kx十b, (4k+b=50, (k=30, 则 解得 6k十b=110, b=-70, 故一次函数的解析式为y=30x一70， 故当y=200时，200=30x一70，解得x=9, 则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达 到200万元，C正确，不合题意； 当y=100时，100=200，解得x=2, x 则只有3月、4月、5月共3个月的利润低于100万元， D不正确，符合题意 1-250:20.提示：(1)当25≤x≤t时，设第一次循环过 程中反比例函数的表达式为y一买，由题意得，0=芳， 六m=1750,y-1750. x .当y=35时，t=50, t的值是50. (2)当0≤x≤25时，设第一次循环过程中一次函数的 表达式为y=x十b, 将020，(25,70)代人，得20， 解得 k=2, 25k+b=70, b=20, ∴.一次函数的表达式为y=2x十20. .当y=50时，2x十20=50，解得x=15; 当y=50时，1750=50，解得x=35. x .在0~t分钟内温度大于或等于50℃时，治疗效果 最好，则维持这个温度范围的持续时间为35一15= 20(分钟). 2图20，提示：设0与F之间的函数关系式为0=号， 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 把(0,2)代入=号，得P=20, 故该玩具汽车的功率P=20W. 2-22500.提示：设功率为P,由题意可知P=Fv, 即 将F=3750N,o=20m/s代入，得P=75000, 即反比例函数为0=75000 F 当=30m/s时，F=75,000=2500(N. 30 3-1(1)设线段AB的解析式为y=1x十b(k1≠0). 线段AB过点(0,10)，(3,15)，代入y=k1x十b中， 得/=10， 解得 13k1+b=15, b=10, 5 AB的解析式为)y=号x+10(0≤≤6)， (2②：AB的解析式为y=号x+10(0≤x<0。 当x=6时=号x+10=20, .恒温系统设定的恒温为20℃. (3)设双曲线CD的解析式为y=(k2≠0)， C(10,20),.k2=200, “双曲线CD的解析式为y=200(10≤≤24)， x 把y=10代入y=200中，解得x=20, x .20-10=10, 恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害. 1 42mn- 提示：设OA1=A1A2=A2Ag=…= An-1An-a, 当x=a时y= a ∴点P,的坐标为(a,): :当x=2a时，y=2a 1 ∴点P的坐标为(2a,云) R△PBP,的面积=合XaX(日云)， 依此类推，R△P,BP,的面积=号×aX(会)）， R△RBP,的面积=号×aX(品）… △PBR.的面积=合×aX[nDa] 2×1×(n马)2md-D 4-217.提示：，正方形OABC的边长为n,点A, A2,…,An-1为OA的n等分点，点B1,B2,…,Bn-1为 CB的n等分点， ∴.OA15=15,CB15=15. C5B1s=16C15A15, C(15,7). :点C5在曲线y=”二2(x>0)上， x 15×费=1-2， 解得n=17. 5-1直接应用：1；2. 变形应用：总-+4-+1+>-1D, y x+1 ∴业有最小值2√4=4. 3y1 当x十1=√4即x=1时，取得最小值. 实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为y元， 则y=0.0012+1.6+360=0.001z+360+1.6 =0.001(x+360,000)+1.6, x ∴.当x=√360000=600时，该汽车平均每千米的运 输成本y最低，最低成本为0.001×2√360000+ 1.6=2.8(元). 【能力平台】 1A提示：根据题图知，当R>9时，I<4, .当电阻R大于92时，电流I可能是3A,不可能是 4A,5A或6A, A符合题意，B,C,D不符合题意， 2C提示：设功率P(单位：W)与做功的时间t(单位：s) 的函数解析式为P=(k≠0)，把t=60,P=20代入 解析式，得20=急解得k=120, ∴.功率P(单位：W)与做功的时间t(单位：s)的函数解 析式为P=1200 t :反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而 减小， ÷当≥25时，P<10=48,当0时，P2180 =30,,∴.30≤t48. 3D提示：：电流I(单位：A)与电阻R(单位：2)是反 比例函数关系(1=是)，R,I均大于0，“反映电流 I与电阻R之间函数关系的图象大致是D. 4C提示：由题图可知，I与R成反比例函数， 当R=880时，I=0.25,.IR=880×0.25=220, 即1与R的函数关系式是I=2(R>O),故①错误； R 当I<0.25时，R>880,故②错误； 当R100时，K忍0即1<02，故③借误： 当880<R<1000时，I的取值范围是0.22<I< 0.25,故④正确， 516000.提示：设p与V之间的函数关系式为p= (k为常数，且k≠0)， 将V=1.2,p=2000代入p=合，得2000=2解 得k=24000, ·b与V之间的函数关系式为p=24000 当V=1.5时，p=24000-16000, 1.5 .当V=1.5m3时，p=16000Pa. 6100.提示：根据杠杆定律有FL=1000×0.6, :“函数的解析式为F-2, 当L=1.5时，F-09=40, 当L=2时，F=600=300. 2 因此，撬动这块石头可以节省400一300=100(N). 70.6.提示：设气球内气体的压强（单位：Pa)与气球 体积V(单位：m)之间的函数解析式为p=专。 :当V=3m3时，p=8000Pa, .∴.k=Vp=3×8000=24000, p=24000 V 气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸， ∴.当≤≤40000时，气球不爆炸， :.24000≤40000，解得V>≥0.6， ,∴，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6m3. 日a将A6,D术入中，得1=后 解得k=√3. (2)如图，过点A作OD的垂线，交x轴于点G. 参考答案与提示 A(W5,1D, .AG=1,0G=√3,0A=V√(W3)2+12=2, ∴.扇形AOC的半径为2. :AG=20A, .∠A0G=30°. 由菱形的性质可知，∠AOG=∠COG=30°， ∠AOC=60°， .扇形AOC的圆心角的度数为60°， (3),OD=2OG=2√3 ÷s0o=子XACX0D=25, ∴S0soc=合XxXP= 3 设BF与x轴的交点为H,在菱形OBEF中，SAHO= S△BHO, SA0=2=2 S8m=2X9-3, .S阴影=SAFB0十S菱形A0CD一S扇形AoC=V3十2V3 号x=3B-号元 日(1)当4≤≤8时，设y=是，将A(4,40)代入，得= 4×40=160, y与x之间的函数解析式为y19, 当8<x≤28时，设y=k'x+b,将B(8,20),C(28,0)代 18k'+b=20, k=-1, 入，得 解得 28k'+b=0, b=28, .y与x之间的函数解析式为y=一x+28. 综上所述，y (160(4≤x≤8)， x -x+28(8<x≤28). (2)当4≤≤8时，S=(x-4)y-160=(x-4)160 160 =-640 x ,当4≤x≤8时，S随着x的增大而增大， ∴当x=8时，Sm=_640=一80： 8 当8<x≤28时，S=(x-4)y-160=(x-4)(-x十 目培优竞赛超级课堂9年级数学 28)-160=-(x-16)2-16, .当x=16时，Smax=-16. :一16>一80，∴.当每件的销售价格定为16元时， 第一年年利润的最大值为一16万元. (3)·第一年的年利润为一16万元， ∴.一16万元应作为第二年的成本. 又，x>8,.第二年的年利润S=(x一4)(-x十28) -16=-x2+32x-128. 令S=103,则103=-x2+32x-128, 解得=11，x2=21. 易知当S≥103时，11≤x≤21，∴.当11≤x≤21时， 第二年的年利润S不低于103万元. 10D提示：，水温从20℃加热到100℃，升温幅度为 100一20=80℃，加热速度是每分钟10℃， .∴.所需时间为80÷l0=8min,故A项错误 加热到100℃时，用时8min,即此时x=8,y=100, 降温阶段y与x成反比例， “设y—兰，代入得100=冬，解得=80， 即y一800，故B项错误 x 上午8点接通电源，9：30距离接通电源的时间为90min, 当y=20时，代入y-82,得x=40,即40min后水温 降至20℃，然后饮水机再次加热8min后，水温再次 升到100℃，90-40-40-8=2min. 当x=2时，y=20十2×100.20=40，故上午8点接 8 通电源，可以保证当天9：30不能喝到不超过40℃的 水，故C项错误 加热阶段：水温从20℃到100℃，当y=30时，20+ 10x=30,解得x=1,加热阶段满足y≥30的时间是 8-1=7min. 降温阶段：将y一30代人y一8，得x-,降温阶段 满足≥0的时间是智-8=智告-警mm 3 六总时间为7+曾-召min,故D项正确 田(1)A(2,2)在反比例函数y=冬的图象上， “=4,“反比例函数的解析式为y一兰 又：点B(分，)在反比例函数y=生的图象上， ∴号n=4,解得m=8,即点B的坐标为（号，8）： 由A(2,2,B(合，8)在一次函数y=az+b的图象 (2=2a+b, a=-4, 上，得 1 解得 8=2a+b, b=10, .一次函数的解析式为y=一4x十10. (2)将直线y=一4x十10向下平移m个单位得直线的 解析式为y=一4x十10-m. :直线=-4x+10一m与双曲线y=兰有且只有- 个交点， 令-4z+10-m=兰得4r2+(m-10)z+4=0, .△=(m-10)2-64=0,解得m=2或m=18. 四1)120X5-100,120X5=40,补全表格如表所示. 6 15 F/N120 100 60 50 40 30 R/Q5 6 10 12 15 20 阻值R(单位：)与压力F(单位：N)的关系图象如图 所示，函数关系式为R=60. F +R/ 2533 20E3 15 10E 0型芋非主目 20406080100120140F/N (2)当电流表的示数为0.5A时，0.5=R千30， 18 解得R=6, 把R=6代人R-,得6-，解得F=10, .该台秤最大可称100N的物体， (3)2.4≤m≤7.5.提示：F=mg=10m,R=600, F R=600=60 10m m :8≤R≤25,8≤0≤25， m 解得2.4≤m≤7.5. 第10讲图形的旋转 例1(1)，△ACP在平面内绕点A按顺时针方向旋转得 到△ABD, ∴.AD=AP,∠DAB=∠PAC, ∴∠DAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP, 即∠DAP=∠BAC ,△ABC为等边三角形， .∠BAC=60°， ∠DAP=60°，