第8讲 反比例函数的图象和性质-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年九年级全一册数学

目培优竞赛超级课堂9年级数学 :抛物线的解析式为)y=一6+16， 当y=0时，x1=16,x2=-16, ∴点A的坐标为（一16,0），点C的坐标为(16,0)， .∴.AC=16-(-16)=16+16=32, ,∴.AB=3AC=96,即桥长AB为96米 11(1)把(2,2.3)，(3,2.6)代入y=a.x2+bx+1.1, 得a+26+1.1=2.3, a=-0.1, 解得 （9a+3b+1.1=2.6, （b=0.8, ∴y=-0.1x2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)2+2.7. -0.1<0, 当x=4时，y有最大值，最大值为2.7. ,2.8>2.7,∴羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高 度不能达到2.8m (2),保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ∴.a=-0.1, ∴.解析式为y=-0.1x2+x十1.1， 当x=5时，y=-0.1×52+5k+1.1>2.1, 解得k>0.7. ,球的落地点与球网的水平距离小于6， .当x=11时，y=-0.1×112+11k+1.1<0, 解得k<1, ∴.k的取值范围为0.7<k<1. 第8讲反比例函数的图象和性质 例1D提示：反比例函数的图象在第二、四象限， .b<0. 对于A,,二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右 侧，与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴.a>0,b<0, c<0,∴一次函数的图象应该过第一、二、四象限，A 错误； 对于B,二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右 侧，∴.a<0,b>0,.与b<0矛盾，B错误； 对于C,二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右 侧，∴a<0,b>0,与b<0矛盾，C错误； 对于D,·二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右 侧，与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴.a>0,b<0,c<0, 一次函数的图象应该过第一、二、四象限，D正确。 例25.提示：如图，过点A作x轴 的垂线，交x轴于点M,过点B作 x轴的垂线，交x轴于点N. :点A,B在反比例函数)>dMN 0)的图象上，点A,B的横坐标分别为1,2， ∴A1,1D,B(2,2) :AC/BD∥y轴，∴C1,k),D(2,冬)： ,△OAC与△ABD的面积之和为3， 5%=Ssw0D一S0s4B=2(1十号)X1-合× (1+2)×1=2, 合-+月=3， 4 解得k=5. 例32023 253· 提示：如图，P1,P2,P3,…,P2o24的横坐 标依次为1,2,3，…，2024， ∴阴影矩形的一边长都为1，将除第一个矩形外的所有 矩形向左平移至y轴， 则S1十S2十S3十…十S2o23=S矩形ABP,D. 把x=2024代入关系式，得y=253, 即0A=253' ∴SE形0A=0A·0C=253 1 由几何意义得S矩形ocP,D=8, ∴Sm0=8点-2器 P。 P P.Ps AB O1C2345 2024x 例4(1)，直线y=-x十b与x轴的交点为B(3,0), .0=一3十b, 解得b=3,.一次函数的解析式为y=一x十3， 把A(a,2)代入y=-x十3，得2=-a十3，解得a=1, :点A1,2),把点A1,2)代入)兰，得长=1X2=2 (2)如图，连接AD, 由(1)得，反比例函数的解析式为)一兰。 ,直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C, 点A(1,2), 点C的坐标为(-1，-2)， ∴.AC=(1+1)2+(2+2)2=20, 设点D的坐标为(m,品)， AD2=1-m)2+(2-品)，CD2=(-1-m2+ (), :∠ACD=90°，.AD2=CD2+AC, 1-m+(2品）°=(-1-m+(-2品）‘+0， 解得m=-4或-1（舍去）， ∴点D的坐标为(-4，-)， 设直线AD的函数表达式为y=k1x十b(k1≠0)， 把点(-4，-2)，1,2)代人，得 -+6=-， 1+b=2, = 解得 6=是， “直线AD的函数表达式为y=x十多 (3)设点E的坐标为(，)，直线AE的解析式为y k2x十b2, 把点(，），1,2代人，得 +h=2, k2+b2=2, t 解得 2=2+2 t x+2+2 ·直线AE的解析式为y=一 t 当)y=0时，0=-名+2， 解得x=什1， 点P的坐标为(t+1,0), .BP=|t+1-3|=t-2, Sm=2X(-%)XBP=2×(-2)Xk-21, ,△BEP的面积为2， …号×(-2）)×-2=2，解得=号或=-2， 参考答案与提示 点E的坐标为（一2，-1）或（号，3）， 例524.提示：设OA=4a,:AO=2AB,∴AB=2a, ∴.OB=AB+OA=6a,则B(6a,0). 在正方形ABEF中，AB=BE=2a, Q为BE的中点， B0AB=a,Q60,a0》. :Q在反比例函数y=是(>0)上， ∴.k=6a·a=6a2. ,四边形OACD是正方形，∴.C(4a,4a). ,点P在CD上，∴点P的纵坐标为4a. :点P在反比例函数y=是(>0)上， ∴点P的横坐标为x=名，P(名a4a), .四边形OMHN是矩形， NH-=会MH=-a, ∴SoaN=NH·MH=&·a=6, 则及=24. 【变式题组】 1-1B提示：当>0时，一次函数y=kx一k经过第一、 三四象限，函数y=合（≠0）的图象在第一、二 象限， 故选项②的图象符合要求 当<0时，一次函数y=kx一k的图象经过第一、二、 四象限，函数)=奇（≠0）的图象经过第三，四象限， 故选项③的图象符合要求 2-1D提示：设圆的半径是r,根据圆的对称性以及反 比例函数的对称性可得42=4红，解得r=4。 :点A(W3a,a)是反比例函数y=与⊙0的一个 交点， √3a2=k且√(-√3a)2+(-a)2=r,a2=4. 六k=√3×4=4V3,则反比例函数的解析式是y=4y3 x 312.提示：如图，延长CA交y轴于点E,延长CB交 x轴于点F, 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 .CELy轴，CF⊥x轴， .四边形OECF为矩形. x2=21, A为CE的中点. 由几何意义得S△OE=S△OF, B为CF的中点， ∴SAN8=S是r=6, .S矩形080r=16, ∴Sc=g×16=2 322升D提示：0A=AA=AA==A1 A.=1, 设B1(1,y),B2(2,y2),B3(3,3),…,Bn(n,y), B1,B2,B,…,Bm在反比例函数y=二(x>0)的图 象上，=1助=号%=号…，%= S=号×1X(0m-2) =3×1x(1-2) =2×(1-2), s=号×1×(%-)=2×（合-号）， s=合×1x0%-w)=号×(}-4)， 8=2(分n), .S+S2+Sg+…+Sm =2(1-号+日-}+号-++7-n） -24D 4-1(1)在y=2.z十4中，令y=0,得2x+4=0, 解得x=一2， 点A的坐标为（一2,0）， 在y=2x十4中，令x=0,得y=4, 点B的坐标为(0,4). (2)过点C作CE⊥BD,垂足为点E,如图. :△BCD是以BD为底边的等腰三角形， ∴CB=CD, CE⊥BD,BE=DE, 在=华中，令=4，得x=冬，D(冬，4， BE=DE=专 8 在y=中，令x=台，得=8，c(格8， 点C在一次函数y=2x十4的图象上， ÷8=2×冬+4，解得及=16， .k的值为16. 5-1一8.提示：设点M的坐标是(m,m),则mn=k. ,在□ABOC中，M是OA的中点， 点A的坐标是(2m,2n),点B的纵坐标是2m. 把y=2m代入y=兰得x盒 x 即点B的横坐标是品 AB-0C-会一-2m,0c边上的高是2m (会-2m2m=24, 即k-4mm=24,∴.k-4k=24, 解得k=一8. 6号.提示：“正方形OABC的边长为2，“点D 的纵坐标为2，即y=2,将y=2代入y=2x得x=1, 点D的坐标为(1,2). :函数y=飞的图象经过点D, x 2=是，解得=2， 一反比例函数的解析式为y=名 x .E(2,1),F(-1,-2). 如图，过点F作FG⊥AB, 与BA的延长线交于点G, E(2,1),F(-1,-2), ∴.AE=1,FG=2-(-1)=3, ∴△AEF的面积为号AE·FG =×1×3= 【能力平台】 1C提示：由题意可知，当x>0时，x=x .y= 士<0，则此时图象在第四象限当<0时， x|=-x ∴y=<0,则此时图象在第三象限。 2C提示：反比例函数y=7,=-7<0, ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的 增大而增大，故C符合题意。 日B提示：反比例函数y=生，k=4>0, 在每个象限内，y随x的增大而减小， “当2<4时，<<，1<<2 4D提示：根据二次函数图象，当x>1时，y随着x的 增大而减小，同样当x>1时，反比例函数y2随着x的 增大而减小 5D提示：y=k1x(k1>0)的图象与反比例函数y= 经(>0)的图象有两个交点，其中-个交点的横坐 标为1，.k=2. 令k1=k=(k>0),则y=x=kx,y=2=是 x (p=kt, 将点A(t,p)和点B(t十2，q)代入y=x,得 q=k(t+2) 将点C,m和点D+2,m代人y=是，得 t k “p-m=如-是=(2-)， qn=(+2)年2-(+2+2)， ∴(p-m(g-)=(-)(+2-2)<0, (-)(+2-2)<0 (-是）(+2-2)=.+221 t+2 e+1)2(t-10+32<0, t(t+2) :t0t3)<0, t(t+2) ∴.t(t-1)(t+2)(t+3)<0. ①当t-3时，t(t-1)(t+2)(t+3)>0, t<一3不符合要求，应舍去； ②当-3<t<-2时，t(t-1)(t+2)(t+3)<0, -3<t<-2符合要求； ③当-2<t0时，t(t-1)(t+2)(t+3)>0, .一2<t<0不符合要求，应舍去； ④当0<t<1时，t(t-1)(t+2)(t+3)<0, 2 参考答案与提示 ∴.0<t<1符合要求； ⑤当t>1时，t(t-1)(t+2)(t+3)>0, .t>1不符合要求，应舍去. 综上，t的取值范围是一3<t<一2或0<t1. 61(答案不唯一). 提示：反比例函数y一冬的图象分别位于第一第三 象限，∴.k>0,不妨令k=1. 口子提示：将反比例函数)一代入兰中，可得)一， :1<x≤3，当x增大时，2也随之增大，9则随之减小， 因此，是在=3时取得最小值，代入计算，得是-号。 日1.5（答案不唯一）.提示：令6,3k=一7z十b, x 整理得7x2一bx十(6一3k)=0. :反比例函数y=63k(>1且k≠2)的图象与一次 函数y=一7x十b图象的两个交点的横坐标为x1,x2, 3=6-3k 7 :x>0,673k>0,k2, 7 ∴.满足条件的值可能为1.5（答案不唯一）. 习(1)八点P(1,2)在函数y=(k>0,>0)的图象上， 2=桌，k=2, 即k的值为2. (2),点A(t,0)在x轴负半轴上， ..OA=-t. ,四边形OABC为正方形， ∴.OC=BC=OA=-t,BC∥x轴， “△BCP的面积为S=是X(-)X(2-)=2r-t, “T=2S-2e=2(2-t)-2=-e-2=-(+ 1)2+1. 一1<0，∴抛物线开口向下， 当t=一1时，T有最大值，最大值是1. 0(1)八正比例函数y=x(k≠0)与反比例函数y= x (m≠0)的图象交于A,B两点， ∴点A,B关于原点对称. 点A的横坐标为一4，点B的纵坐标为一6， ∴.A(-4,6),B(4,-6) ”点A(-4,6)在反比例函数y=严(m≠0)的图象上， x 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 6=% .m=-24, 一反比例函数的表达式为y=一24 (2)观察函数图象可知，当一4<x<0或x>4时，正比 例函数y=kx的图象在反比例函数y=严(m≠0)的 图象下方， “不等式虹<婴的解集为一4长<0或>4 (3)如图，连接BF,作BH⊥x轴于点H. ,点A(一4,6)在直线y=kx上， 直线AB的表达式为y=一 3 x. .CD∥AB, ∴.SA0BD=SA0Br=20. B(4,-6), ∴20F.6=20,0F= 3 r(9o, 设直线CD的表达式为y=一号x+o, 代人点F的坐标，得一是×四+=0，解得6=10 3 ∴直线CD的表达式为y=一号x十10， 团A提示：由函数)一可知，函数是两条曲线，它的 两个分支分别位于第一、二象限，当x>0时，y随x的 增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大. 回（罗，0） ,提示：在正方形OABC中，OA=AB= BC=4,∴点M的横坐标和点N的纵坐标都是4， 由题意可得M(4,冬)，N(冬，4)， BM=BN=4-冬， ,'S正方形OABC=SACCN十SAOM十SAOMN+SAMBN, 2 2+2+35+2(4)》=4X4, 解得k=12(负值舍去)， ∴.M(4,3),N(3,4). 如图，作点M关于x轴的对称点M',连接MN交 x轴于点P,连接PM,此时PM+PN最小， y M ·点M与点M'关于x轴对称，.M(4,-3), 设直线MN的表达式为y=kx十b, 14k+b=-3, k=一7， 由题意可得 3k+b=4, 解得 b=25, ∴.直线MN的表达式为y=-7x十25， 令y=0,则=要， ∴点P的坐标为（罗0）， 13(1)点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(2,0)， .OA=4,OB=2. y 如图，作DM⊥y轴于点M. M 四边形ABCD是正方形， ∠BAD=90°，AB=AD, ∴.∠OAB+∠DAM=90°. ∠OAB+∠ABO=90°， ∴.∠DAM=∠ABO. (∠ABO=∠DAM, 在△AOB和△DMA中，∠AOB=∠DMA=90°， AB-DA, ∴.△AOB≌△DMA(AAS), .AM=OB=2,DM=OA=4,.D(4,6) :双曲线y=名（≠0）经过点D, k=4×6=24,“双曲线为y=24 x 把点B(2,0),D(4,6)代入y=ax十b, 12a+b=0, (a=3, 得 4a+b=6 解得 b=-6, ∴.直线BD的解析式为y=3x-6. (2)如图，连接AC,交BD于点N. ,四边形ABCD是正方形， ∴.BD垂直平分AC,AC=BD, [y=3x-6, =24,解得 联立 =4或-2。 y=6 1y=-12, ∴.点E(-2,-12).点B(2,0),D(4,6), .BE=√(2+2)2+(0+12)2=4√10， DB=√(4-2)2+6=2√10， ∴CN=2BD=I而， :SAm-BE.CN-X4/10X /10-20. (3)观察图象，不等式ax十6>冬的解集-2<x<0或 x>4. 第9讲反比例函数的应用 例1A 例2(1)根据题表中的数据，可发现1与F的乘积为定值 300,..3a=300,..a=100,故答案为100. (2)画出F与1的函数图象如图所示. AF/N 300 200-+ 100- 23 4 5 l/m (3)当OA的长增大时，拉力F减小，理由如下： F,1都是正数， 这条曲线是反比例函数的一支 .FL=300, ∴其函数表达式为F=300 >0, ,在第一象限内，F随1的增大而减小， 即当OA的长增大时，拉力F减小 例3(1)20. (2)由题图知，点020,90)，设双曲线的表达式为)y一空， 将点C的坐标代入抛物线的表达式，得m=20×90= 1800, 则反比例函数的表达式为y=1800, 当x=40时，y=1800=45,则点D(40,45). x 由题图知，点A和点D的纵坐标相同，则点A(0,45) 设直线AB的表达式为y=kx十45， 将点B(10,90)代人上式，得90=10k+45, 解得k=4.5,则直线AB的表达式为y=4.5x+45. (3)可以.理由如下： 当y=60时y=4.5x十45=60，解得x=号， 2 参考答案与提示 当)y=60时，3y=1800=60,解得x=30. x :30-9>25,故安排在号分钟到30分钟之间即可。 例12012.5.提示y20-2X2013-1=2012.5. 2 【变式题组】 团D提示：设反比例函数的解析式为y一冬，把(1， 200)代人得k=200, ·反比例函数的解析式为y=200, 当x=4时，y=50, ∴.4月份的利润为50万元，A正确，不合题意； 治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万， 故每月利润比前一个月增加30万元，B正确，不合 题意； 设一次函数的解析式为y=kx十b, (4k+b=50, (k=30, 则 解得 6k十b=110, b=-70, 故一次函数的解析式为y=30x一70， 故当y=200时，200=30x一70，解得x=9, 则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达 到200万元，C正确，不合题意； 当y=100时，100=200，解得x=2, x 则只有3月、4月、5月共3个月的利润低于100万元， D不正确，符合题意 1-250:20.提示：(1)当25≤x≤t时，设第一次循环过 程中反比例函数的表达式为y一买，由题意得，0=芳， 六m=1750,y-1750. x .当y=35时，t=50, t的值是50. (2)当0≤x≤25时，设第一次循环过程中一次函数的 表达式为y=x十b, 将020，(25,70)代人，得20， 解得 k=2, 25k+b=70, b=20, ∴.一次函数的表达式为y=2x十20. .当y=50时，2x十20=50，解得x=15; 当y=50时，1750=50，解得x=35. x .在0~t分钟内温度大于或等于50℃时，治疗效果 最好，则维持这个温度范围的持续时间为35一15= 20(分钟). 2图20，提示：设0与F之间的函数关系式为0=号，第8讲 反比例函数的图象和性质 桌情境课堂 A REFIND VALUE OF R 3E ABACUS 10-14TH CENTU 田 究【右左刷分》 中人民拉图分 销声7经至2加.5：退室其相 AAGE O VEMRTC 光8楼消 334 LIBERIA $5 祖冲之 刘徽对π的估算值 中国算盘 数学在中国历史悠久，但真正意义上的中国古代数学体系形成于西汉至南北朝的三四百年间.《算数书》 是传世的中国最早的数学专著；《周髀算经》包括了“勾股定理”这一数学成就；《九章算术》是世界数学史上最 早提出负数概念及正负数加减法法则的著作，标志着以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成.注重实 际应用是中国古代数学的一个显著特点. 中国古代数学在三国及两晋时期侧重于理论研究，其中以赵爽与刘徽为主要代表人物.用几何方法求解 二次方程是赵爽对中国古代数学的一大贡献；刘徽则注释了《九章算术》，而且系统地阐述了中国传统数学的 理论体系与数学原理. 南北朝是中国古代数学的蓬勃发展时期，有《孙子算经》《张丘建算经》等算学著作问世，祖冲之、祖脸父 子则将圆周率精确到小数点后第七位。 隋唐时期开始建立中国数学教育制度，《算经十书》成为学生的专用教材.14世纪，明朝统治者奉行以八 股文为特征的科举制度，大幅度削减数学内容，中国古代数学开始全面衰落 典例剖析 类型1反比例函数的图象和性质 例1（经典，青岛中考）已知反比例函数y=b的图象如图所示，则一次函数y=cx十a和二次 函数y=a.x2十bx十c在同一平面直角坐标系中的图象可能是(). ·49· 官培优竞赛超级课堂9年级数学 B D 【学找切入点】根据反比例函数的图象得出b<0,逐一分析四个选项.根据二次函数图象的开口方向以及 对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出α，b,c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限， 再与函数图象进行对比即可得出结论. 变式1工①（经典，荆门中考）在同一平面直指坐标系中，函数)一红一长与y=冬(k≠0)的大致 图象是( ① ② ③ A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 类型2) 求反比例函数的解析式 例2如图，点A,B在反比例函数y=1(x>0)的图象上，点C,D在反比例 函数y=(x>0)的图象上，AC/BD/y轴，已知点A,B的横坐标分别为1， 2,△OAC与△ABD的面积之和为3，则k的值为 ⑥【学找切入点】过点A作x轴的垂线，过点B作x轴的垂线，求出A(1,1),B(2,2),C(1,k),D(2,多) 将面积进行转换S△OAC=S△aOM一S△AOM,S△ABD=S稀形AMND一S稀形AMNB进而求解. 变式2-1①如图，点A(W3a,a)是反比例函数y=的图象与⊙0的一个交点， 图中阴影部分的面积为4π，则反比例函数的解析式为(). A.y=2 By=23 C.y=4 D.y=4③ ·50 第8讲反比例函数的图象和性质 类型3 y=(k≠0)中k的几何意义的运用 例3(2023，枣庄中考)如图，在反比例函数y=8(x>0)的图升 象上有P1,P2,P3,…,P224等点，它们的横坐标依次为1,2,3，…， 2024,分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影 部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,…,S223,则S1十S2十 P P S3+…+S2023= P2024 01C2345 ⑤【学找切入点】将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，得出 2024元 所求面积为矩形ABPD的面积，再分别求矩形ODP1C和矩形OABC的面积即可. 变式3-1①(2023，绍兴中考)如图，在平面直角坐标系x0y中，函数y=(k为大于0的常数， x>0)图象上的两点A(x,y1),B(x2,y2),满足x2=2x1,△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴， 若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 P■ A,A2 As 变式3-1题图 变式3-2题图 变式3-2如图，已知A1,A2,A3,…,An是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=An-1A.=1,分 别过点A1,A2,A3,…,An作x轴的垂线交反比例函数y=1(x>0)的图象于点B1,B2,B,, Bn,过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1,过点B3作BP2⊥A2B2于点P2…,记△B1P1B2的面积为 S1,△B2P2B3的面积为S2,…,△B,P,Bn+1的面积为Sn,则S1十S2十S3十十Sn= 拓展总结 反比例函数图象中的相等面积 (1)知图1，y=是（≠0）中刻的几何意义：SAam=Sac=号k1,SN=. x (2)如图2，S△PA=S△OCD,S△aC=S梯形PADC. (3)如图3，S梯形OPB=S梯形BCA,SARPE=S△CE, . 图1 图2 图3 ·51· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 类型4)反比例函数与一次函数 ,例4(2025，成都中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=一x十b与反比例函数y=的图象的一个 B 交点为A(a,2),与x轴的交点为B(3,0). (1)求k的值； 备用图 (2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点D在反比例函数的图象上，若 ∠ACD=90°，求直线AD的函数表达式； (3)P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E(异于A),连接BE,若△BEP的 面积为2，求点E的坐标. ⑥【学找切入点】(1)把B(3,0)代入y=一x十b,可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可 求解 (2)连接AD,求出点C的坐标为(-1，-2》，可得AC=20.设点D的坐标为(m,品)，可得到AD2=(1 m)2+(2易)》，CD=(-1-m)+(-2)°，再由勾股定理求出m的值，即可求解. (3)设点E的坐标为(：，2），求出直线AE的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解 答，即可求解. )变式4-1了(2025，苏州中考)如图，一次函数y=2x十4的图象与x轴，y轴分别交于A,B两点， 与反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象交于点C,过点B作x轴的平行线与反比例函数 x y=(k≠0，x>O)的图象交于点D.连接CD. (1)求A,B两点的坐标； (2)若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值. ·52· 第8讲反比例函数的图象和性质 类型5)反比例函数与几何的综合 例5(2023，衢州中考)如图，点A,B在x轴上，分别以OA,AB为边，在x轴 上方作正方形OACD,ABEF,反比例函数y=(k>O)的图象分别交边 D F E CD,BE于点P,Q.作PM⊥x轴于点M,QN⊥y轴于点N.若OA=2AB,Q N 为BE的中点，且阴影部分的面积等于6，则k的值为 A B ⑤【学找切入点】设OA=4a,因为OA=2AB,所以AB=2a,则A(4a,0),B(6a,0),由于正方形OACD, ABEF,则C(4,4a.因为CDLy轴，P在CD上，所以点P的纵坐标为4a,则点P的模坐标为x岳由于点 Q为BE的中点，且BELx轴，所以BQ=AB=a,则Q(6a,a).由于点Q在反比例函数y=(k>0)上，所以 =602.根据已知阴影部分为矩形，长为品，宽为a,面积为6，所以可得品Xa=6. 变式5-1（经典，宁波自主招生）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原 B 点，□ABOC的对角线相交于点M,双曲线y=(x<O)经过点B,M若 口ABOC的面积为24，则k= 拓展总结 1.设点的坐标，利用几何图形的性质得出相关线段的关系，再表示出相关点的坐标，最后代回到解析式 中或直接求解具体问题，是平面直角坐标系中解决函数与几何问题常用的方法. 2.变化是永恒的，不变是相对的，在纷繁复杂的变化中寻找不变量、不变性，是以不变应万变的智慧.反比 例函数y= 上中y=k为定值是列方程、设而不求和整体代入求值思想的源泉. 研讨乐园 例6问题情境：学习了反比例函数后，老师提出了一个问题： 如图1，一次函数y=一x十3的图象与x轴、y轴交于A,B两点，与反比例函数y= 是的图象交于C,D两点，分别过C,D两点作y销x销的垂线，垂足为点E,R连接 CF,DE,EF.现有下列四个结论：(1)△CEF与△DEF的面积相等；(2)EF∥AB;(3)△DCE≌ △CDF;(4)AC=BD.其中正确的结论是 ·53· 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 M 图1 图2 图3 【解】甲的探究在y=一x十3中，当x=0时，y=3;当y=0时，x=3. A(3,0),B(0,3.联立y=-x十3和y=2解得C(2,1),D1,2),F1,0),E(0,1), “S=2X2X1=1,Sae=号×1×2=1，S6m=SAE .OE=OF=1,OA=OB=3,∴.△EOF与△BOA都是等腰直角三角形， ∴.∠BAO=∠EFO=45°，∴.EF∥AB. 又，DE=√12+1z=√2=DC,EC=2,CF=√12+1平=√2，DF=2, .EC=DF,DC=CD,DE=CF,∴.△DCE≌△CDF. ,'EF∥AB,EC∥OA,∴.四边形EFAC为平行四边形， ∴.EF=AC.同理，四边形EFDB为平行四边形，∴.EF=BD,.AC=BD.因此，(1)(2)(3)(4)都正确. 数学思考如果改变条件，将一次函数解析式变为y=ax十b(a≠0)，反比例函数解析式变为y=飞(k≠ 0),结果又如何呢？ 乙的探究如图2，作CM⊥x轴于点M,DN⊥y轴于，点N,EC,DF交于点K. :S延形OFDN=S矩形OMCE=k,·∴S能形OFDN一S延形OFKE=S矩形OMCE一S矩形OFKE,.SE形NEKD=SE形AMCK, .SADEK=SAcK,'.SADEK十SArK=SACFK十SAK,即SAEr=SACEF. 又两个三角形共底EF,∴，点D到EF的距离与点C到EF的距离相等，∴EF∥DC .DE,CF不一定相等，△DCE与△CDF不一定全等. :EF∥CD,EC∥x轴，.四边形EFAC为平行四边形， .EF=AC,同理，EF=BD.故AC=BD..正确的结论是(1)(2)(4). 类比探究若点C,D分别在反比例函数y=的图象的不同分支上，如图3，则上迷结论又如何？ 丙的探究：Sw=SK一SaBx=号SwK一SaBx=(k十S)一SK,SE=Sa Sx=号SEw-SAK=号（肠k十SEE)-SAK,÷Sm=SEr· 同理可得(2)(4)也正确，故正确的结论为(1)(2)(4). 丁的探究当a=士1时，结论(3)成立，结论(1)(2)(4)的成立与否均与a,b,k的取值无关， 上面的探究揭示了一次函数与反比例函数结合而生成的不变性，你能用上面的结论解决下面的问题吗？ 变式6-1如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原 点重合，其边长为2，点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上，函数y=2x的图象 与CB交于点D,函数y一么(k为数，k≠0)的图象经过点D,与AB交于点 E,与函数y=2x的图象在第三象限内交于点F,连接AF,EF,则△AEF的面 积为 ·54. 第8讲反比例函数的图象和性质 能力平台 ©培优训练 (建议用时40分钟) 的图象上(t≠0且t≠一2)，点C(t,m)和点D(t十 1.(2025,德州中考)在平面直角坐标系中，函数y= 2,m)在函数y=的图象上.当力一m与q一”的积 一文的图象是(). 为负数时，t的取值范围是(). A-名<K-3或2<1 R-名<K-3或1<K号 C.-3<t<-2或-1<t<0 D.-3<t<-2或0<t1 6.(2025,武汉中考)在平面直角坐标系中，某反比例 函数y=冬的图象分别位于第一、第三象限，写出 一个满足条件的k的值是 2.(2025,济江中考)已知反比例函数)=，下列选 7.(2025,南京中考)已知反比例函数y=,则当1≤ 项正确的是(). x≤3时，兰的最小值是 A.函数图象在第一、三象限 8.(2023,日照中考)已知反比例函数y=6-3k(>1 B.y随x的增大而减小 C.函数图象在第二、四象限 且k≠2)的图象与一次函数y=一7x十b的图象共 D.y随x的增大而增大 有两个交点，且两交点横坐标的乘积x1x2>0,请写 3.(2025,河北中考)在反比例函数y=4中，若2< 出一个满足条件的k值 9.(2023,株洲中考)如图，在平面直角坐标系xOy y<4,则(). 中，四边形OABC为正方形，其中点A,C分别在 A. B.1<x<2 x轴负半轴、y轴负半轴上，点B在第三象限内，点 C.2<x<4 D.4<x<8 A(t,0),点P(1,2)在函数y=(>0,x>0)的图 x 4.(2024,广州中考)函数y=ax2十 象上 bz十c与y2=的图象如图所 (1)求的值； 示，当( )时，y1,y2均随着x (2)连接BP,CP,记△BCP的面积为S,设T=2S 的增大而减小. -2,求T的最大值. V A.x<-1 B.-1<x<0 y=皇(k>0,x>0) C.0x<2 D.x>1 5.(2023,湖州中考)已知在平面直角坐标系中，正比 例函数y=1x(k1>0)的图象与反比例函数y 2(2>0)的图象有两个交点，其中一个交点的横 坐标为1，点A(t,p)和点B(t十2，q)在函数y=k1x ·55· 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 10.(2023,巴中中考)如图，正比例函数y=x(k≠0) 12.(2025,巴中自主招生)如图，在平面直角坐标系 与反比例函数y=”(m≠0)的图象交于A,B两 中，正方形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴 点，点A的横坐标为一4，点B的纵坐标为一6. 上，且OA=4,反比例函数y=(k≠0，x>0)的 (1)求反比例函数的表达式： 图象与正方形OABC的两边AB,BC分别相交于 (2)观察图象，直接写出不等式kx的解集； M,N两点，且△OMN的面积为3.5，若动点P在 x轴上，则PM十PN取最小值时，点P的坐标为 (3)将直线AB向上平移n个单位长度，交双曲线 于C,D两点，交坐标轴于点E,F,连接OD, BD,若△OBD的面积为20，求直线CD的表 达式 OPA 13.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为 (0,4),点B的坐标为(2,0)，连接AB,以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD,直线BD: y=ax十b交双曲线y=(k≠0)于D,E两点，连 x 接CE. (①)求双曲线y=飞(k≠0)和直线BD的解析式； x (2)求△BEC的面积； (3)请直接写出不等式ax十b>的解集。 y, E ⑧竞赛训练 (建议用时20分钟) 山.(2024，深圳市福回区较级自主招生)函数y= 的大致图象是(). ·56.