第7讲 实际问题与二次函数-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年九年级全一册数学

第7讲 实际问题与二次函数 泉情境课堂 苏步青(1902一2003)，主要研究领域为微分几何学.早期对仿射微分几何学和射影微分 几何学作出了突出贡献.他和陈建功共同把浙江大学和复旦大学的数学系建成一个具有相 当高水平的教学和科学研究基地. “圈地”中的数学问题 俄国著名作家列夫·托尔斯泰在他的作品中写了这样一个故事： 苏步青 巴霍姆想到巴什基尔人的草原上买一块地.他问卖地人价钱如何，卖地人说：“每天1000卢布，就是你如果愿 出1O00卢布，那么你从日出到日落走过的路所围成的地就都归你，不过，要是你在日落之前回不到原来出发 的地方，你的钱就算白花了.” 巴霍姆觉得很合算，就付了1000卢布.第二天，太阳刚从地平线上一露面，他就连忙在大草原上奔跑起 来.他先笔直往前跑了10千米，然后朝左拐弯；接着又走了13千米，再向左拐弯；这样又走了2千米.这时， 他发现太阳离地平线不远了，于是马上改变方向，笔直朝出发地，点跑去.为了不使1000卢布白费，他拼命地 跑，总算在太阳落山之前赶回到出发地点.可是他向前一扑，口吐鲜血，再也站不起来了 贪婪的巴霍姆为了能得到尽可能多的土地，结果累死了，最后人财两空.但是，他却给我们留下了一个数 学问题，下面我们来研究一下. 仔细阅读前面的故事，把巴霍姆跑过的路程画出来，就可以看出形状是直角梯形（如图所 示)，它的面积是(10+2)×13÷2=78（平方千米）. 10 如果巴霍姆一天只能走40千米，而且所走的路线恰好围成一个矩形，那么，他应该怎样走 才能使矩形面积最大呢？ 典例剖析 类型1 用二次函数解决“抛物线型”问题 例1(2025，陕西中考)某景区大门上半部分的截 y B 面示意图如图所示，顶部L1,左、右门洞L2,L3均呈 M 抛物线型，水平横梁AC=16m,L1的最高点B到 AC的距离BO=4m,L2,L3关于BO所在直线对 称.MN,MP,NQ为框架，点M,N在L1上，点P,Q分别在L2,L3上，MN∥AC,MP⊥AC, NQ LAC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. ·40… 第7讲实际问题与二次函数 (1)求抛物线L1的函数表达式； (2)已知抛物线L:的函数表达式为y=一(x一4，NQ 之m,求MN的长. ⑤【学找切入点】(1)理解题意，先设抛物线L的函数表达式为y=a(x一0)2十4，结合二次函数的对称性得 A(一8,0)，C(8,0),再代入y=a(x-0)2+4进行求解，即可作答 (2)理解题意，得出)=w地=号，再结合抛物线4，山的函数表达式分别为y=G十4，y=一。（红一4） 代入y=yN一yQ=2,整理得x2-12x十36=(x一6)2=0，再解方程，即可作答. 变式1-1(2025，新疆中考)天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速 公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展.如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作抛物 线的一部分.若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系. (1)求抛物线的函数解析式. (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当 两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）.若 宽3米、高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由. y 甲 车 12m 类型2)用二次函数解决最优方案问题 ,例2（经典，黄冈中考）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于 50元/件，一个月可售出5万件；若月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件.其中月销 售单价不低于成本.设月销售单价为x(单位：元/件)，月销售量为y(单位：万件). (1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. (2)当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？ (3)为响应国家乡村振兴政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已 知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求α的值. ·41· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 ⑤【学找切入点】(1)根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可.(2)根据销售量和销售单价之间的 关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可.(3)根据(2)中的函数和月销售单价不高于70元/件的取 值范围，确定α的值即可. 变式2-13(2025，内江中考)2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国 电影票房的新纪录，商家推出A,B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个，B款300个， 需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元. (1)求A,B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元. (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A,B两款“哪吒” 纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现当每个A款纪念品售价为60元时，可售出200个，售价每增加 1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元，W表示该商家销售A款纪 念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值. 拓展总结 方案最优化问题实际上就是求函数的最大（小）值.在现实生活中，诸如费用最低、利润最大、储量最大 材料最省、效益最好等问题，往往可以通过建立适当的函数关系式求函数的最值来解决.如果根据题意列出 的关系式是二次函数，通过配方转化为顶点式后，即可达到求最值的目的. (类型3)用二次函数解决面积问题 例3（经典，无锡中考）如图所示，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上， D 剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成 一个长方体形状的包装盒(A,B,C,D四个顶点正好重合于上底面上一点).已 知E,F是AB边上被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE= BF=x cm F B (1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V. (2)某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？ ⑤【学找切入点】(1)根据已知条件得出这个正方体的底面边长a=√2x,EF=√2a=2x,再利用AB=24cm, 求出x,即可得出这个包装盒的体积V.(2)利用已知条件表示出包装盒的表面积，从而求出函数的最值即可. ·42 第7讲实际问题与二次函数 变式3-13如图，在矩形ABCD中，AB=2cm,AD=5cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度 沿AD向终点D移动，设移动的时间为t(单位：s).连接PC,以PC为一边作正方形PCEF,连接 DE,DF,则△DEF面积的最小值为 变式3-1题图 变式3-2题图 变式3-2如图，已知正方形ABCD的边长为4，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA上的动 点，且AE=BF=CG=DH,则四边形EFGH面积的最小值为 类型4)二次函数知识的综合运用 ,例4(2025，深圳中考)综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与 安检时间、安检通道数之间的关系， 黑点表示观众 00 安检口00000 礬 00安检口oo000 安检口0Q。00 通道未开放 【研究条件】 条件1：观众进场后立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数一已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人： 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之 间满足关系式：y=一x2+60x十100(0≤x≤30). 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道，安检时间为x分钟时，已入场人数为 ,排队人数@与安检 时间x的函数关系式为 【模型应用】 (2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最多是多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ ·43· 官)培优竞赛超级课堂 9年级数学 【总结反思】 运用函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发 情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性 ⑤【学找切入点】(1)根据题意可得安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x,心与x的函数表达 式为0-y-18x=-x2+42x+100. (2)根据二次函数的性质可得出结论. (3)运用二次函数的性质解答即可. 变式4-1(2025，辽宁中考)为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上 增加立柱.为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 活动准备 2.准备皮尺等测量工具. E 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息 A D 如下： 采集数据 1.大门形状为矩形（矩形ABCD); 2.底部跨度(AD的长)为8m; 3.立柱OE的长为2m,且OE⊥AD,垂足为O,AO=OD. 图1 考虑实用和美观等因素，在A,D间增加两根与AD垂直的立 设计方案 柱，垂足分别为M,M,立柱的另一端点N1,N2在抛物线形 ty/m E 框架结构上，其中AM1=M2D=1m W A D M, 小组成员经过讨论，确定以点O为坐标原点，线段AD所在 M.x/m 直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.点E的坐 确定思路 标为(0,2)，设抛物线的表达式为y=ax2十2，分析数据得到 点A或点D的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达 图2 式求出增加立柱的长度，从而解决问题. 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为2的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算判断这根材料的 长度是否够用.（因施工产生的材料长度变化忽略不计） ·44 第7讲实际问题与二次函数 研讨乐园 例5已知函数y=2+x一1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是一，则m的取值范围是 (). A.m≥-2 R.0En≤ C-25m<-司 以≤一司 ⊙【学找切入点】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是一号，得 出m≤一2，最后求得当x=1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m 的下限. 【解】甲的探究”函数y=x2十x一1的对称轴为直线x=- 2, ∴当x=-2时y有最小值，此时y=是-2-1=-是 4 :画数)=x十x-1在m≤《1上的最小值是一， m≤-2 :当x=1时=1十1-1=1，对称轴为直线x=一， “当x=-2-[1-(-2)]=-2时y=1 :通教y=+z一1在m≤<1上的最大值是1，且m≤2， -2mc-号 乙的探究画出函数图象，如图所示。 “y=2+x-1=(x+2)2-, 六当x=1时y=1,当x=2y=-8,当x=-2,y=1. :画数y=文十x一1在m≤x<1上的最大值是1，最小值是一， -2≤m≤-2 变式5-1已知y=|x一1|-|x+2,则x2+y2的最小值为(). A君 B号 c D.1 ·45· )培优竞赛超级课堂 9年级数学 能力平台 ⑤培优训练 (建议用时30分钟) 4.(2025,浙江中考)为了实时规划路径，卫星导航系 1.(2025,甘肃中考)如图，一个圆形喷水池的中央竖 统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图1， 直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向外喷 点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿 水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落 笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x(km) 下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度 (0≤x≤n),PQ为y(km).如图2，y关于x的函 y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=一x2十 数图象与y轴交于点C,最低点D(m,81),且经过 2x+?(>0),则水流喷出的最大高度是( E(1,225)和F(n,225)两点.下列选项正确的是 (). A.3 m B.2.75m C.2 m D.1.75m yA y/m y E 225 0.6 A M 0.3 815- x/m 02001000 3000x B m 第1题图 第2题图 图1 图2 2.(2025,山东中考)在水分、养料等条件一定的情况 A.m=12 下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x B.n=24 (勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围 C.点C的纵坐标为240 (200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关系； D.点(15,85)在该函数图象上 在中、高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成 5.(2023,天津中考)如图，要围一个矩形菜园ABCD, 二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下 其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m,其 列结论正确的是(). 余的三边AB,BC,CD用篱笆制成，且这三边的和 A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 为40m,有下列结论：①AB的长可以为6m;②AB B.当x=2000时，y有最大值 的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为 C.当y≥0.6时，x≥1000 192m;③菜园ABCD面积的最大值为200m.其 D.当y=0.4时，x=600 中正确结论的个数是( 3.(2025,巴中中考)从地面竖直向上抛出一小球，小 D 球高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的关系式是 菜园 h=30t-5t(0≤t≤6).有下列结论： ①小球运动时间是1s时，高度为25m; A.0 B.1 C.2 D.3 ②小球运动中的高度可以是50m; 6.(2025,盐城中考)【生活观察】小明通过观察发现， ③当3≤t≤6时，高度h随着时间t的增大而减小 可将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊 其中正确结论的个数是(). 球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两 A.0 B.1 C.2 D.3 种路线，如图1和图2所示. ·46· 第7讲实际问题与二次函数 7.(2025,青岛中考)小磊和小明练习打网球.在一次 击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将 球击出。 y米 图1 扣杀近似路线 图2 网前吊球近似路线 4.2 3.2 小明击球点 1.8A 2 4 米 C E 图3 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原 【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直 点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作二次函数 线，网前吊球的路线近似为抛物线.羽毛球运动轨 y=a.x2十bx+1.8(a,b为常数)图象的一部分，其 迹的剖面如图3所示，从A点击球，击球点是抛物 中y(米)是球的高度，x(米)是球和原点的水平距 线的最高点，点A到地面的距离AO=2.4m,球网 离，图象经过点(2,3.2)，(4,4.2) 上端点B到地面的距离BC=1.55m,人与球网之 信息二：球和原点的水平距离x(米)与时间t(秒) 间的距离OC=1.6m,假设两种击球路线都经过点 (0≤≤1.6)之间近似满足一次函数关系，部分数 B正上方0.05m处的点D,网前吊球和扣杀球的 据如下表： 落点分别为点E,F, t/秒 0 0.4 0.6 (1)请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分 x/米 0 4 6 别求出两种击球路线的函数表达式. (1)求y与x的函数关系式. 【模型应用】 (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最 (2)网前吊球的落点到球网的距离CE的长是 大高度是多少？ m. (3)当t为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限 (3)甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约 的运动路线可以看作二次函数y=一0.02x2十 为36m/s,网前吊球时，羽毛球下降的高度 px十m(p,m为常数)图象的一部分，其中y(米) h(m)与时间t(s)之间的关系式为h=5t.乙在 是球的高度，x(米)是球和原点的水平距离.当 看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能 网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于等 成功接球的时间至少需要0.5s.请通过计算说 于1.8时，p的取值范围为 .（直接写出 明乙能接到哪种方式的击球 结果) ·47· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 ⑧竞赛训练 (建议用时20分钟) 变，改变发球方式，使其解析式变为y=ax2+ 8.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位： x十1.1，发球点与球网的水平距离是5m.若 万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中 羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过 x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售 2.1m,且球的落地点与球网的水平距离小于 15辆车，则能获得的最大利润为( 6m.求k的取值范围。 A.45.51万元 B.45.56万元 C.45.6万元 D.45.606万元 9.已知y=x2+(1-a)x+1是关于x的二次函数，当 x的取值范围是一1≤x≤3时，y只在x=一1时取 y/m 得最大值，则实数a的取值范围是 发球点 10.某城市规划修建一座观光人行桥，此工程由桥梁 0 x/m 工程与桥上拱形工程组成，桥上拱形工程包含三 组完全相同的拱形，观光人行桥的正视图如图所 示。已知桥面上三组扶桥都为抛物线)一一（女一 )2+t的一部分，拱高（抛物线最高点到桥面AB 的距离)都为16米，三条抛物线依次与桥面AB 相交于点A,C,D,B,则桥长AB= 米。 ( D 11.(2025,武汉中考)某校数学小组开展以 “羽毛球飞行路线”为主题的综合实践 活动. 研究背景羽毛球飞行路线所在的平面与球网 垂直 收集数据某次羽毛球飞行的高度y(单位：m)与 距发球点的水平距离x(单位：)的对应值如表所 示（不考虑空气阻力）. 水平距离x/m 0 2 6 高度y/m 1.12.32.62.62.3… 探索发现数学小组借助计算机画图软件，建立 平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球 飞行路线是抛物线y=a.x2+bx十1.1的一部分. 建立模型求y关于x的函数解析式.（不要求写 自变量的取值范围) (1)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达 到2.8m?请说明理由， (2)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不 ·48目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 致图象如图所示， 由图象知，当x= 号时，y>0,当x=号时>0， 3×(-号)°+mx(-号)-2>0， 3x(号)}‘+m×号-2>0， 解得3员<mK4号 m为整数，.m=4. 9(1)令y=0,得x2-(2m-1)x十m2-m=0. ,△=(2m-1)2-4(m2-m)×1=(4m2-4m+1) (4m2-4m)=1>0, ∴方程有两个不等的实数根， 此抛物线与x轴有两个不同的交点。 (2)令x=0,根据题意有m2一m=-3m十3， 解得m=-3或1. 10(1),△=-4a(-3a)=b+12a2≥0，且a≠0， .△>0， ∴该函数图象与x轴的交点个数为2. (2:x=1=a ，.b=-2a, 则抛物线的解析式为y=ax2+bx一3a=ax2-2ax一3a. 当1=2=5a,即y=a.x2-2a.x-3a=5a时， 解得x=4或-2，则0=-2，x2=4. (3)将点(1,1)代入抛物线的解析式，得1=a+b-3a, 则b=2a十1. ,a<b,a<2a十1，解得a>-1. 则抛物线的解析式为y=a.x2十(2a十1)x一3a. 由(1)知，函数图象与x轴的交点个数为2且图象的顶 点在第二象限， 则抛物线的开口向下，即a<0, 则函数的对称销=一会-2安<0， 2a 解得a<-号， 故-1<a<-号，故-1<2a+1<0, 即2a十b的取值范围为一3<2a十b<一1. 第7讲实际问题与二次函数 例1(1).BO=4m, 抛物线L1的顶点B的坐标为(0,4). 2 设抛物线L1的函数表达式为y=a(x一0)2十4， AC=16m,结合二次函数的对称性得A(-8,0), C(8,0),将C(8,0)代入y=a(x-0)2+4, 1 得0=64a十4，则a=一16， =162+4. (2)由(1得抛物线L的函数表达式y=一r+4, :MN∥AC,MPLAC,nqlAc,NQ=号m, 且抛物线L的函数表达式为)y一最（ú一40， y=w-0=-2+4-[-是e-40]-号， 整理得x2一3(x-4)2=24, ∴.x2-3x2+24x-48=24, ∴.x2-12x十36=(x-6)2=0,解得1=x2=6, ..MN=2X6=12(m). 例2(1)由题意知，当40≤x≤50时，y=5; 当50<x≤100时，y=5-(x-50)×0.1=10-0.1x. y与x之间的函数关系式为 /y=5(40≤x≤50)， y=10-0.1x(50<x100). (2)设月销售利润为之，由题意可知，当40≤x≤50时， x=50时利润最大， 此时之=(50-40)×5=50（万元）； 当50<x≤100时，之=(x-40)y=(x-40)(10- 0.1x)=-0.1x2+14x-400=-0.1(x-70)2+90, .当x=70时，之有最大值，最大值为90万元 综上所述，当月销售单价是70元时，月销售利润最大， 最大利润是90万元. (3)设捐款后月销售利润为w, 由题意可知w=(x-40-a)(10-0.1x) =-0.1x2+(14+0.1a)x-400-10a, 此抛物线的对称轴为直线x=一品=0十 0.5a>70, ,∴.当月销售单价是70元时，捐款后的月销售利润w最大， 即(70-40-a)×(10-0.1×70)=78, 解得a=4,∴.a的值为4. 例3(1)根据题意知，这个正方体的底面边长a=√2x,EF= √2a=2x,.x+2x+x=24, 解得x=6,则a=6√2. ∴.V=a3=(6√2)3=432√2(cm3). 答：这个包装盒的体积V为432√2cm3. (2)设包装盒的底面边长为acm,高为hcm, 则a=/2x,h=24-2x=212-, √2 ..S=4ah+a2 =4√2x·√2(12-x)+(W2x)2 =-6(x-8)2+384. .0<x<12, .当x=8时，S取得最大值384cm2. 例4(1)若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已 入场人数为18.x(用x表示)， 若排队人数为，则w与x的函数表达式为w=y 18x=-x2+42x+100. 故答案为18x,=一x2+42x+100. (2)w=-x2+42x+100=-(x-21)2+541, .当x=21时，max=541. 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最多人数为 541人. (3)设开了m条通道， 则=y-6mx=一x2+60.x+100-6mx=-x2+ 6(10-m)x+100, .对称轴为x=3(10一m). ,排队人数在安检开始10分钟内（包括10分钟）减少， 0c3(10-m≤10，即9≤m<10, 又最多开通9条， 9<m≤9， ,m为正整数， m的最小值为7，即最少开7条通道. 【变式题组】 图(1)由题意得顶点为（号8），即(6,8》， 设抛物线的解析式为y=a(x一6)2十8(a≠0， 代人点(12,0)得a(12-6)2+8=0,解得a=-号， :抛物线的解析式为)=-号红一6)+8(0≤≤12。 (2)能安全通过，理由如下： 如图，由题意得以=号-号 2 3=2. y 车 2 参考答案与提示 将x=2代入=-号（红-6+8， 则y=-号×(2-62+8=9 :智-35=洛>0.5，能安全通过 2-1(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪 吒”纪念品每个进价为y元， 200x+300y=14000, 1x=40, 由题意得 解得 100.x+200y=8000, y=20. 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒” 纪念品每个进价为20元. (2)设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪 念品(400-m)个， 由题意得40(400-m)+20m≤12000，解得m≥200. .m的最小值为200. 答：至少需要购进B款纪念品200个 (3)由题意得W=(a-40)[200-5(a-60)]=(a-40)· (200-5a+300)=(a-40)(500-5a)=500a-20000 -5a2+200a=-5(a-70)2+4500. .-5<0,60≤a≤100， .当a-70=0,即a=70时，W最大，最大值为4500. B号.提示：设△PCD的面积为y, 由题意得AP=t(0≤5)，PD=5-t, ∴gy=2CD·PD-合×2X6-0=5-4 ,四边形EFPC是正方形， ∴Sae十Sam=号SEee. .PC2=PD2+CD2, .PC2=22+(5-t)2=t-10t+29, Sm=2(G-102+29）-(5-0=22-4+ 号=-0+2， ∴当：为4时，△DEF的面积最小，且最小值为多 3-28.提示：设AE=x(0≤x≤4)， 则AE=BF=CG=DH=x, :正方形ABCD的边长为4， ∴.AH=DG=BE=CF=4-x, ∴.△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH(SAS), ∴.∠AEH+∠BEF=90°，∠EFB+∠GFC=90°， ∠FGC+∠HGD=90°， ∴.∠HEF=∠EFG=∠FGH=9O° ,EF=EH=HG=FG,.四边形EFGH是正方形. 目培优竞赛超级课堂9年级数学 在Rt△EAH中，EH=AE2+AP, 即EH2=x2+(4-x)2, .S四边形rGH=EH=2x2-8x十16=2(x-2)2+8, .当x=2时，S四边形rGH有最小值，最小值为8. 4-1(1)由条件可得AD=8,QA=OD=4,∴.A(-4,0), 由条件可得0=16a十2， ∴a=-g,y=-g2+2 (2).OM1=OM=3, .N,N2关于y轴对称， “y=ge+2. 当=3时y=-g×3+2=名， MN=M=名， 2x8=子<2， .这根材料的长度够用 5-1B提示：当x≤-2时，y=-x十1十(x十2)=-x十 1+x+2=3,.x2+y2=x2+9>13. 当-2<x<1时，y=-x+1-(x+2)=-2x-1, .x2+y2=x2+(-2x-1)2=x2+4x2+4x+1= 5++1=6(x+号》°+房 当x=一号时，+y的最小值为号 当x≥1时，y=x-1-x-2=-3, .x2+y2=x2+9≥10. 综上所述，2+子的最小值为号 【能力平台】 日B提示：y=-2+2x+子=-(x-1)+1+名= -a-10+4, .-1<0, ∴当x=1时，y取最大值，最大值为，即2.75米。 2B提示：当x≥1000时，y随x的增大先增大，后减 小，故A错误 抛物线过点(1000,0.6)，(3000,0.6)， :抛物线的对称轴为直线工=100,300-=200， 2 ,抛物线的开口向下， ∴当x=2000时，y有最大值，故B正确. 由图象可得，当y=0.6时，x=1000,x2=3000, .当y≥0.6时，1000≤x≤3000，故C错误 2 由图象可得，当y=0.4时，x对应的值有2个，故D 错误 3C提示：①当t=1时，h=30-5=25(m),故①正确； ②h=30t-5t2=-5(t-6t)=-5(t-3)2+45, .-5<0, '.当t=3时，h取最大值，最大值为45m, 故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线 t=3, .当3≤t长6时，高度h随着时间t的增大而减小，故 ③正确. 故正确的个数为2个 4D提示：如图，作PG⊥AB于点G,当x=1时，动点 Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知P= 225,当点Q运动到点G的时候，PQ最小，即PG= 81,HG=m-1=12. H K B 在Rt△PGH中，由勾股定理得225=81+(m一1)2， .m=13.∴.A错误， ..AG=m=13,HG=m-1=12. 当x=n时，点Q运动到点B,则PB=225=PH, ..PB=PH. PG⊥AB, .BG=HG=12, .AB=13+12=25,.B错误 当x=0,即点Q在A点时， AP2=AG+PG=132+81=250, ∴点C的纵坐标为250，∴.C错误 当x=15时，点Q运动到点K, .AK=15, ∴.GK=AK-AG=2, .PK2=KG+PG=4+81=85, ∴.点(15,85)在该函数的图象上，D正确. 日C提示设AD的边长为工m,则AB的边长为02m 当AB=6时，则402=6，解得x=28, AD的长不能超过26m,x≤26，故①不正确。 菜园ABCD的面积为192m2, x.402=192, 2 整理得x2一40x十384=0， 解得x=24或x=16. ∴.AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为 192m2,故②正确 设矩形菜园的面积为ym,根据题意得 y=x.02=-2d-40m)=2x-209+20 2 :-7<0,20<26, .当x=20时，y有最大值，最大值为200，故③正确. 6(1)以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OA所在 的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. C E F 则A(0,2.4),D(1.6,1.6), 设直线AD的解析式为y=kx十n, （n=2.4, 1.6k十n=1.6, n=2.4, “扣杀球击球路线的函数表达式为y一一分十2.4 设网前吊球击球路线的函数表达式为y=ax2+2.4, 1.6=aX162+24,a=-最， “网前吊球击球路线的函数表达式为y一一品+24 (2令=0，则-0x2+24=0. “>0,x=83, 5 ∴(8g）,0E-8g(m, 5 CE=0E-0c-(8￥5-1.6)m. (3对于y=一7x+24,令y=0, 则-2x+2.4=0, .x=4.8, F(4.8,0),.OF=4.8, ∴.AF=√OF2+OA2=√4.82+2.4≈5.52(m). :扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s, 5,52≈0.15（秒. 36 0.15<0.5, 乙不能接到扣杀球的击球 ”从A点击球，击球点是抛物线的最高点， ∴.2.4=5t. 2 参考答案与提示 t>0,.t=0.68. 0.68>0.5, ∴乙能接到网前吊球的击球 7(1)由题意知，二次函数y=a.x2十bx十1.8经过点 (2,3.2)和(4,4.2)， 14a+2b+1.8=3.2, ∴.a=-0.05,b=0.8, （16a+4b+1.8=4.2, ∴.二次函数为y=-0.05x2十0.8x十1.8. (2)由题意知，，二次函数为y=-0.05z2十0.8x十1.8， 其对称销为直线工一名2及6-8， 0.8 .此时最大高度为y=-0.05×82+0.8×8+1.8=5. 又根据信息二知，x与t是一次函数关系， .可设x=bt十c, 结合表格数据可知，图象过点(0,0)和(0.4,4)， .c=0,且0.4k十c=4..k=10,c=0. ∴.一次函数为x=10t, .当x=8时，t=0.8(秒)， ∴.经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米 (3)由题意知，当t=1.6秒时，x=10×1.6=16, ∴.代入原抛物线得y=-0.05×162+0.8×16+ 1.8=1.8, 即此时球的坐标为(16,1.8). 又，新抛物线y=-0.02x2十px十m过点(16,1.8)， 得m=1.8+0.02×162-16p=6.92-16p, ∴.抛物线为y=一0.02x2十px十6.92一16p. 又当x=2时，y≥1.8， .-0.02×22+2p+6.92-16≥1.8. ∴.≤0.36. 8C提示：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15一x)辆， .总利润S=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+ 3.06x+30(0≤x≤15). ,∴.当x=10.2时，S取最大值 x必须是整数， ∴.x=10,此时Smax=45.6(元). 9a>3.提示：，当-1≤x≤3时，y只在x=一1时取 得最大值，-1,4>1，+3，解得。>3. 2 2 1096.提示：如图，以线段AC的中垂线为y轴，AB为 x轴，建立平面直角坐标系. y A O C D 则抛物线AC的顶点坐标为(0,16)， 目培优竞赛超级课堂9年级数学 :抛物线的解析式为)y=一6+16， 当y=0时，x1=16,x2=-16, ∴点A的坐标为（一16,0），点C的坐标为(16,0)， .∴.AC=16-(-16)=16+16=32, ,∴.AB=3AC=96,即桥长AB为96米 11(1)把(2,2.3)，(3,2.6)代入y=a.x2+bx+1.1, 得a+26+1.1=2.3, a=-0.1, 解得 （9a+3b+1.1=2.6, （b=0.8, ∴y=-0.1x2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)2+2.7. -0.1<0, 当x=4时，y有最大值，最大值为2.7. ,2.8>2.7,∴羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高 度不能达到2.8m (2),保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ∴.a=-0.1, ∴.解析式为y=-0.1x2+x十1.1， 当x=5时，y=-0.1×52+5k+1.1>2.1, 解得k>0.7. ,球的落地点与球网的水平距离小于6， .当x=11时，y=-0.1×112+11k+1.1<0, 解得k<1, ∴.k的取值范围为0.7<k<1. 第8讲反比例函数的图象和性质 例1D提示：反比例函数的图象在第二、四象限， .b<0. 对于A,,二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右 侧，与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴.a>0,b<0, c<0,∴一次函数的图象应该过第一、二、四象限，A 错误； 对于B,二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右 侧，∴.a<0,b>0,.与b<0矛盾，B错误； 对于C,二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右 侧，∴a<0,b>0,与b<0矛盾，C错误； 对于D,·二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右 侧，与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴.a>0,b<0,c<0, 一次函数的图象应该过第一、二、四象限，D正确。 例25.提示：如图，过点A作x轴 的垂线，交x轴于点M,过点B作 x轴的垂线，交x轴于点N. :点A,B在反比例函数)>dMN 0)的图象上，点A,B的横坐标分别为1,2， ∴A1,1D,B(2,2) :AC/BD∥y轴，∴C1,k),D(2,冬)： ,△OAC与△ABD的面积之和为3， 5%=Ssw0D一S0s4B=2(1十号)X1-合× (1+2)×1=2, 合-+月=3， 4 解得k=5. 例32023 253· 提示：如图，P1,P2,P3,…,P2o24的横坐 标依次为1,2,3，…，2024， ∴阴影矩形的一边长都为1，将除第一个矩形外的所有 矩形向左平移至y轴， 则S1十S2十S3十…十S2o23=S矩形ABP,D. 把x=2024代入关系式，得y=253, 即0A=253' ∴SE形0A=0A·0C=253 1 由几何意义得S矩形ocP,D=8, ∴Sm0=8点-2器 P。 P P.Ps AB O1C2345 2024x 例4(1)，直线y=-x十b与x轴的交点为B(3,0), .0=一3十b, 解得b=3,.一次函数的解析式为y=一x十3， 把A(a,2)代入y=-x十3，得2=-a十3，解得a=1, :点A1,2),把点A1,2)代入)兰，得长=1X2=2 (2)如图，连接AD,