第 29 章 圆 20分钟小练-2026-2027学年九年级人教版数学上册

第 29 章 圆（全章综合一）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．⊙O 的半径为 5,点 P 到圆心 O 的距离为 3,则点 P 与 ⊙O 的位置关系是（　　） A．点 P 在 ⊙O 内　B．点 P 在 ⊙O 上　C．点 P 在 ⊙O 外　D．无法确定　 2．⊙O 的半径为 5,弦 AB=8,则圆心 O 到弦 AB 的距离为（　　） A．2　B．3　C．4　D．5　 3．在 ⊙O 中,圆心角 ∠AOB=110°,则它所对的弧所对的圆周角为（　　） A．55°　B．110°　C．220°　D．70°　 4．圆锥的母线长为 10,它的侧面展开图（扇形）的圆心角为 216°,则这个圆锥底面圆的半径为（　　） A．4　B．6　C．8　D．10　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．直角三角形的斜边长为 26,则它的外接圆的半径为　　　　　　。 6．四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形,若 ∠A=75°,则 ∠C 的度数为　　　　　　度。 7．半径为 6、圆心角为 150° 的弧长为　　　　　　。 8．⊙O 的半径为 4,弦 AB 所对的圆心角为 90°,则 AB 的长为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,AB 是 ⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E,且 CD=12,BE=2。求 ⊙O 的半径。 （提示：设半径为 r,则 OE=OB−BE=r−2。） 10．如图,A、B 是 ⊙O 上的两点,∠AOB=120°,C 是弧 AB 的中点,连接 OA、OC、OB、AC、BC。 求证：四边形 OACB 是菱形。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．A　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．13 6．105 7． 8． 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】半径为 10（CE=6，设 r，OE=r−2，r²=6²+(r−2)²，解得 r=10） 由垂径定理得 CE=½CD=6 3 分； 设半径为 r，则 OE=OB−BE=r−2 2 分； 在 Rt△OEC 中，r²=6²+(r−2)²，解得 r=10 5 分。 10．【标准答案】证明见评分标准（三个等边三角形 → 四边相等 → 菱形） C 是弧 AB 的中点，所以 弧AC=弧CB，∠AOC=∠COB=60° 3 分； 由 OA=OC，∠AOC=60°，得 △OAC 是等边三角形，AC=OA 3 分； 同理 CB=OB 2 分； 所以 OA=AC=CB=BO，四边形 OACB 是菱形 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1.1 圆的有关概念（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列说法中,正确的是（　　） A．弦是直径　B．半圆是弧　C．过圆心的线段是直径　D．等圆的半径不一定相等　 2．已知 ⊙O 的半径为 6,点 P 在 ⊙O 的内部,则 OP 的取值范围是（　　） A．OP<6　B．OP>6　C．OP≤6　D．OP≥6　 3．如图,AB 是 ⊙O 的直径,点 C、D 在 ⊙O 上,连接 AC、BD,则图中的弦共有（　　） A．2 条　B．3 条　C．4 条　D．5 条　 4．下列说法中,错误的是（　　） A．同圆的半径相等　　B．直径是圆中最长的弦　　 C．能够重合的两个圆叫等圆　　D．长度相等的两条弧是等弧　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．已知 ⊙O 的半径为 3,点 P 到圆心 O 的距离为 5,则点 P 在 ⊙O 的　　　　　　（填"内""上"或"外"）。 6．⊙O 的半径为 5,则圆上的点到圆心 O 的最大距离为　　　　　　。 7．⊙O 的半径为 4,则 ⊙O 中最长的弦长为　　　　　　。 8．一棵 40 年树龄的树,树干的横截面（圆形）直径为 24 cm,则横截面的半径平均每年增加　　　　　　cm。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D 为斜边 AB 的中点。求证：A、B、C 三点在以点 D 为圆心、 以 DA 为半径的同一个圆上。 10．体育课上要在操场上画一个半径为 5 m 的圆。小明说用一根长 5 m 的绳子和一根木桩就可以完成。 （1）写出小明画圆的方法；（6 分） （2）说明这样画出的曲线是圆的理由。（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．A　　3．B　　4．D 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．外 6．10 7．8 8．0.3 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】证明见评分标准（利用"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"） 由 ∠C=90°，得 CD 为斜边 AB 上的中线 4 分； 由"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"，得 CD=DA=DB 4 分； 所以 A、B、C 三点到 D 的距离都等于 DA，三点在同一个圆上 2 分。 10．【标准答案】（1）把木桩固定在定点上，用长 5 m 的绳子一端系在木桩上，拉紧绳子另一端绕木桩转一圈；（2）理由：线段绕固定端点旋转一周，另一端点形成的图形叫圆 （1）把木桩固定作为定点，绳长 5 m 一端系在木桩上 3 分； 拉紧绳子另一端，绕木桩旋转一周画出曲线 3 分。 （2）线段 OP 绕固定的端点 O 旋转一周，另一端点 P 所形成的图形叫圆 4 分。 29.1.2 反证法（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．用反证法证明一个命题时,第一步应（　　） A．直接证明结论成立　　B．提出与结论相反的假设　　 C．举反例说明结论不成立　　D．从已知条件出发推理　　 2．用反证法证明"一个三角形中不能有两个角是直角"时,第一步应假设（　　） A．三角形中三个角都是直角　　B．三角形中有两个角是直角　　 C．三角形中没有直角　　D．三角形中只有一个直角　　 3．用反证法证明"在同一平面内,若 a∥b,c 与 a 相交,则 c 与 b 也相交"时,第一步应假设（　　） A．c 与 b 相交　B．c 与 b 平行　C．c 与 a 不相交　D．a 与 b 相交　 4．用反证法证明命题时,若推出的结论与已知条件矛盾,则应（　　） A．肯定假设成立　　B．说明假设不成立,从而原结论成立　　 C．改变假设重新推理　　D．得出命题无法证明　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．用反证法证明"在同一平面内,两条不重合的直线 a、b 最多有一个交点"时,应假设　　　　　　。 6．用反证法证明"一个三角形中至少有两个锐角"时,应假设　　　　　　。 7．用反证法证明"两直线平行,同位角相等"时,应假设同位角　　　　　　。 8．用反证法证题时,从假设出发推出　　　　　　,从而肯定原命题的结论成立。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．用反证法证明：400 人中至少有两个人的生日相同。 （按"提出假设—推出矛盾—得出结论"三步写出证明。） 10．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。 （按"提出假设—推出矛盾—得出结论"三步写出证明。） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．B　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．a、b 有两个（或两个以上）交点 6．三角形中至多有一个锐角（即至少有两个直角或钝角） 7．不相等 8．矛盾 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】证明见评分标准（假设 400 人生日各不相同 → 一年最多 366 天 → 矛盾） 假设 400 个人的生日两两不同，即每天最多只有 1 人过生日 3 分； 而一年最多有 366 天，366<400，每天最多 1 人时 400 人无法安排 3 分； 与事实矛盾，假设不成立 2 分； 所以 400 人中至少有两个人的生日相同 2 分。 10．【标准答案】证明见评分标准（假设三角形中有两个直角 → 内角和大于 180° → 矛盾） 假设三角形中有两个角是直角，设 ∠B=∠C=90° 3 分； 则 ∠B+∠C=180°，得 ∠A+∠B+∠C>180° 3 分； 这与"三角形内角和等于 180°"矛盾，假设不成立 2 分； 所以一个三角形中不能有两个角是直角 2 分。 29.1.2 过三点的圆（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．经过一个已知点 A 作圆,可以作的圆有（　　） A．1 个　B．2 个　C．3 个　D．无数个　 2．经过两个已知点 A、B 作圆,圆心（　　） A．在线段 AB 上　　B．在线段 AB 的垂直平分线上　　 C．在直线 AB 上　　D．只能在 AB 的中点　　 3．三角形的外心是三角形的（　　） A．三条角平分线的交点　　B．三条中线的交点　　 C．三条高所在直线的交点　　D．三边垂直平分线的交点　　 4．若一个三角形的外心在这个三角形的外部,则这个三角形是（　　） A．锐角三角形　B．直角三角形　C．钝角三角形　D．等腰三角形　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．经过不在同一条直线上的三个点可以确定　　　　　　个圆。 6．直角三角形的两条直角边分别为 6 和 8,则它的外接圆的半径为　　　　　　。 7．等边三角形的边长为 6,则它的外接圆的半径为　　　　　　。 8．经过线段 AB 的两个端点作圆,所有这样的圆的圆心都在　　　　　　上。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,已知 △ABC。 （1）用尺规作 △ABC 的外接圆 ⊙O（保留作图痕迹,标出圆心 O）；（6 分） （2）说明圆心 O 为什么是 AB、BC 的垂直平分线的交点。（4 分） 10．如图是一块破碎的圆形玻璃镜片的一部分,弧上依次有三点 A、B、C。工人师傅要配一块同样大小的圆形镜片, 需要先确定原来圆形镜片的半径。 （1）用尺规作出原镜片所在圆的圆心 O（保留作图痕迹）；（6 分） （2）写出这样作图的依据。（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．D　　2．B　　3．D　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．1 6．5 7． 8．线段 AB 的垂直平分线 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）图略：作 AB、BC 的垂直平分线，交点为外心 O，以 O 为圆心、OA 为半径作圆；（2）O 在 AB、BC 的垂直平分线上，故 OA=OB=OC （1）正确作出 AB（或 BC）的一条垂直平分线 2 分； 两条垂直平分线相交确定圆心 O 2 分； 以 O 为圆心、OA 为半径正确画出外接圆并标出 O 2 分。 （2）圆心到 A、B 的距离相等，在 AB 的垂直平分线上；到 B、C 的距离相等，在 BC 的垂直平分线上 3 分； 所以 O 是两条垂直平分线的交点，且 OA=OB=OC 1 分。 10．【标准答案】（1）图略：连接 AB、BC，分别作线段 AB、BC 的垂直平分线，交点即圆心 O；（2）依据：不在同一条直线上的三个点确定一个圆 （1）正确连接 AB、BC 2 分； 分别作出 AB、BC 的垂直平分线并交于点 O 3 分； 确定圆心 O 1 分。 （2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆（或弦的垂直平分线过圆心，得到 OA=OB=OC） 4 分。 29.1 圆的有关概念（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列说法中,正确的是（　　） A．弧是半圆,半圆是弧　　B．直径是弦,弦不一定是直径　　 C．长度相等的弧是等弧　　D．圆的任意一条弦都等于直径的一半　　 2．以平面直角坐标系的原点 O 为圆心、5 为半径作 ⊙O,点 P 的坐标为 (3, 4),则点 P 与 ⊙O 的位置关系是（　　） A．点 P 在 ⊙O 内　B．点 P 在 ⊙O 上　C．点 P 在 ⊙O 外　D．无法确定　 3．直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12,则它的外接圆的半径为（　　） A．5　B．6　C．6.5　D．13　 4．用反证法证明"过同一条直线上的三点不能作圆"时,第一步应假设（　　） A．过同一条直线上的三点不能作圆　　B．过同一条直线上的三点可以作一个圆　　 C．过任意三点都不能作圆　　D．过同一条直线上的三点只能作一个圆　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．⊙O 的半径为 4,点 P 在 ⊙O 的外部,则 OP　　　　　　4（填">""="或"<"）。 6．等边三角形的边长为 ,则它的外接圆的半径为　　　　　　。 7．⊙O 中最长的弦长为 10,则 ⊙O 的半径为　　　　　　。 8．用反证法证明"一个三角形中最多有一个直角"时,应假设　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。 求证：A、B、C、D 四点在以点 O 为圆心、OA 为半径的同一个圆上。 10．如图,在 △ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8。 （1）用尺规作 △ABC 的外接圆 ⊙O（保留作图痕迹,标出圆心 O）；（6 分） （2）求 △ABC 的外接圆的半径。（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．B　　3．C　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．> 6．4 7．5 8．三角形中有两个（或两个以上）直角 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】证明见评分标准（矩形对角线相等且互相平分 → OA=OB=OC=OD） 四边形 ABCD 是矩形，所以 AC=BD（矩形对角线相等） 3 分； 对角线互相平分，得 OA=OC=½AC，OB=OD=½BD 4 分； 所以 OA=OB=OC=OD，四点在以 O 为圆心、OA 为半径的圆上 3 分。 10．【标准答案】（1）图略：作两边的垂直平分线定圆心 O（直角三角形外心在斜边中点）；（2）半径为 5 （1）正确作出两条边（或斜边与一条直角边）的垂直平分线 3 分； 确定圆心 O 并画出外接圆、标出 O 3 分。 （2）由勾股定理得 AB=10，直角三角形的外心是斜边中点 2 分； 所以外接圆半径 =½AB=5 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2 圆的有关性质（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．⊙O 的半径为 10,圆心 O 到弦 AB 的距离为 6,则弦 AB 的长为（　　） A．8　B．16　C．12　D．20　 2．四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形,若 ∠A=80°,则 ∠C 的度数为（　　） A．80°　B．90°　C．100°　D．160°　 3．如图,AB 是 ⊙O 的弦,∠OAB=40°,则 ∠AOB 的度数为（　　） A．40°　B．50°　C．80°　D．100°　 4．⊙O 的半径为 5,弦 AB=6,则圆心 O 到弦 AB 的距离为（　　） A．3　B．4　C．5　D．6　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．一座圆弧形拱桥的跨度为 16 m,拱高为 4 m,则拱桥所在圆的半径为　　　　　　m。 6．⊙O 的半径为 3,弦 AB 所对的圆心角为 120°,则 AB 的长为　　　　　　。 7．AB 是 ⊙O 的直径,点 C 在 ⊙O 上,∠BAC=25°,则 ∠B 的度数为　　　　　　度。 8．四边形 ABCD 内接于 ⊙O,∠A:∠C=3:2,则 ∠A 的度数为　　　　　　度。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,AB 是 ⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E,且 CD=8,AE=2。求 ⊙O 的半径。 （提示：设半径为 r,则 OE=r−AE=r−2。） 10．如图,四边形 ABCD 内接于 ⊙O,连接 OB、OD,∠BOD=140°。 （1）求 ∠A 的度数；（5 分） （2）求 ∠C 的度数。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．C　　3．D　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．10 6． 7．65 8．108 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】半径为 5（CE=4，设 r，OE=r−2，r²=4²+(r−2)²，解得 r=5） 由垂径定理得 CE=½CD=4 2 分； 设半径为 r，则 OE=OA−AE=r−2 2 分； 在 Rt△OEC 中，r²=4²+(r−2)² 3 分； 解得 r=5 3 分。 10．【标准答案】（1）∠A=70°；（2）∠C=110°（过程见评分标准） （1）∠A 与 ∠BOD 是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=½∠BOD=70° 5 分； （2）四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠C=180°−∠A=110° 5 分。 29.2.1 垂直于弦的直径（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．垂径定理的内容是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧 D．平分弧的弦垂直平分弧所对的弦 2．如图,AB 是 ⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E。下列结论中不一定成立的是（　　） A．CE=DE　B．AE=BE　C．AC=AD　D．OA=OB　 3．⊙O 的半径为 5,弦 AB=8,则圆心 O 到弦 AB 的距离为（　　） A．2　B．3　C．4　D．5　 4．下列命题中,正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦　　B．垂直于弦的直线过圆心　　 C．弦的垂直平分线必经过圆心　　D．平分弦的直径必平分弦所对的弧　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．⊙O 的半径为 13,弦 AB=24,则圆心 O 到弦 AB 的距离为　　　　　　。 6．一座圆弧形拱桥,跨度（弧所对弦长）为 36 m,拱高（弧的中点到弦的距离）为 6 m,则拱桥所在圆的半径为　　　　　　m。 7．如图,AB 是 ⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E。若 CD=8,OE=3,则 ⊙O 的半径为　　　　　　。 8．水平放置的圆柱形排水管的截面半径为 1 m,截面中有水部分（弓形）的水面宽 1.6 m,则圆心到水面的距离为　　　　　　m。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．一座圆弧形拱桥,跨度（弧所对弦长）AB=24 m,拱高 CD=8 m,其中 D 为 AB 的中点,C 为弧 AB 的中点。 求拱桥所在圆的半径。 10．如图,两个圆都以点 O 为圆心,大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点。求证：AC=BD。 （提示：过圆心 O 作 OE⊥AB,垂足为 E。） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．B　　3．B　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．5 6．30 7．5 8．0.6 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】半径为 13 m（过程：AD=12，OD=R−8，R²=12²+(R−8)²，解得 R=13） 连接 OA，作 OD⊥AB 于 D，由垂径定理得 AD=½AB=12 4 分； 设半径为 R，则 OD=OC−CD=R−8 3 分； 在 Rt△OAD 中，R²=12²+(R−8)²，解得 R=13 3 分。 10．【标准答案】证明见评分标准（作 OE⊥AB 于 E，AE=BE、CE=DE，相减即得） 过 O 作 OE⊥AB，垂足为 E 3 分； 由垂径定理得 AE=BE，CE=DE 4 分； 所以 AE−CE=BE−DE，即 AC=BD 3 分。 29.2.2 圆心角（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列关于圆心角的说法中,正确的是（　　） A．顶点在圆内的角是圆心角　　B．顶点在圆心的角是圆心角　　 C．两边都与圆相交的角是圆心角　　D．顶点在圆上的角是圆心角　　 2．在 ⊙O 中,弦 AB=CD,则下列结论中不一定成立的是（　　） A．AB 所对的弧与 CD 所对的弧相等　　B．∠AOB=∠COD　　 C．AB∥CD　　D．AB 与 CD 的弦心距相等　　 3．圆是中心对称图形,它的对称中心是（　　） A．圆上任意一点　B．圆心　C．任意一条直径的中点以外的点　D．不存在　 4．如图,AB 是 ⊙O 的直径,弧BC=弧CD=弧DE,∠COD=35°,则 ∠AOE 的度数为（　　） A．70°　B．75°　C．105°　D．35°　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．弦 AB 把 ⊙O 分成 1:3 的两条弧,则劣弧所对的圆心角为　　　　　　度。 6．⊙O 的半径为 5,圆心角 ∠AOB=60°,则弦 AB 的长为　　　　　　。 7．⊙O 的半径为 2,弦 AB 所对的圆心角为 120°,则圆心 O 到弦 AB 的距离为　　　　　　。 8．等边三角形 ABC 的三个顶点都在 ⊙O 上,则 ∠AOB 的度数为　　　　　　度。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在 ⊙O 中,AB=AC,∠ACB=60°。求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC。 （提示：先说明 △ABC 是等边三角形。） 10．如图,OA、OB、OC 是 ⊙O 的三条半径,弧AC=弧BC,M、N 分别是 OA、OB 的中点。求证：MC=NC。 （提示：连接 OC,证明 △MOC≌△NOC。） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．C　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．90 6．5 7．1 8．120 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】证明见评分标准（AB=AC 且 ∠ACB=60° → △ABC 是等边三角形 → 三弦相等 → 三个圆心角相等） 由 AB=AC 得 △ABC 是等腰三角形，又 ∠ACB=60°，所以 △ABC 是等边三角形 4 分； 所以 AB=BC=AC 2 分； 在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等，得 ∠AOB=∠BOC=∠AOC 4 分。 10．【标准答案】证明见评分标准（SAS 全等 △MOC≌△NOC） 由弧AC=弧BC 得它们所对的圆心角 ∠AOC=∠BOC 3 分； 由 OA=OB，M、N 分别是中点，得 OM=ON 3 分； 又 OC=OC，由 SAS 得 △MOC≌△NOC，所以 MC=NC 4 分。 29.2.3 圆周角（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列关于圆周角的说法中,正确的是（　　） A．顶点在圆内的角是圆周角　　B．顶点在圆上并且两边都与圆相交的角是圆周角　　 C．顶点在圆心的角是圆周角　　D．顶点在圆上的任意角都是圆周角　　 2．在 ⊙O 中,圆心角 ∠AOB=100°,则它所对的弧所对的圆周角为（　　） A．25°　B．50°　C．100°　D．200°　 3．AB 是 ⊙O 的直径,点 C 在 ⊙O 上,∠BAC=30°,则 ∠B 的度数为（　　） A．30°　B．45°　C．60°　D．90°　 4．下列结论中,错误的是（　　） A．同弧所对的圆周角相等　　B．直径所对的圆周角是直角　　 C．90° 的圆周角所对的弦是直径　　D．圆周角等于圆心角的一半　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．一条弧所对的圆心角为 70°,则这条弧所对的圆周角为　　　　　　度。 6．⊙O 的直径 AB=10,弦 AC=6（C 在圆上）,则 BC 的长为　　　　　　。 7．点 A、B、C 都在 ⊙O 上,∠BAC=40°,则圆心角 ∠BOC 的度数为　　　　　　度。 8．如图,点 A、B、C 都在 ⊙O 上,∠BAC=50°,连接 OB,则 ∠OBC 的度数为　　　　　　度。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,⊙O 的直径 AB 的长为 10,弦 AC 的长为 6,∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D。 （1）求 BC 的长；（5 分） （2）求 AD、BD 的长。（5 分） 10．如图,A、P、B、C 是 ⊙O 上的四个点,∠APC=∠CPB=60°。 （1）判断 △ABC 的形状；（4 分） （2）证明你的结论。（6 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．B　　3．C　　4．D 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．35 6．8 7．80 8．40 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）BC=8；（2）AD=BD=5√2（过程见评分标准） （1）由 AB 是直径得 ∠ACB=90°，BC=√(AB²−AC²)=8 5 分； （2）由 CD 平分 ∠ACB 得 弧AD=弧BD，所以 AD=BD 3 分； 在 Rt△ABD 中，AD²+BD²=AB²，又 AD=BD，所以 AD=BD=5√2 2 分。 10．【标准答案】（1）△ABC 是等边三角形；（2）证明见评分标准 （1）△ABC 是等边三角形 4 分。 （2）∠ABC 与 ∠APC 是同弧 AC 所对的圆周角，得 ∠ABC=60° 3 分； ∠BAC 与 ∠CPB 是同弧 BC 所对的圆周角，得 ∠BAC=60° 2 分； 两个角是 60°，第三个角也是 60°，所以 △ABC 是等边三角形 1 分。 圆的内接四边形（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形,若 ∠A=70°,则 ∠C 的度数为（　　） A．70°　B．90°　C．110°　D．130°　 2．四边形 ABCD 内接于 ⊙O,点 E 在 BC 的延长线上,若 ∠DCE=50°,则 ∠A 的度数为（　　） A．130°　B．40°　C．100°　D．50°　 3．下列说法中,正确的是（　　） A．圆内接四边形的对角相等　　B．圆内接四边形的对角互补　　 C．圆内接四边形的外角等于它的邻角　　D．任何四边形都有外接圆　　 4．四边形 ABCD 内接于 ⊙O,若 ∠B:∠D=1:2,则 ∠B 的度数为（　　） A．30°　B．60°　C．90°　D．120°　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形,若 ∠A=50°,则 ∠C 的度数为　　　　　　度。 6．四边形 ABCD 内接于 ⊙O,点 E 在 CD 的延长线上,若 ∠ADE=70°,则 ∠ABC 的度数为　　　　　　度。 7．四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形,∠A:∠B:∠C=2:3:4,则 ∠D 的度数为　　　　　　度。 8．四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形,且 AB=AD,若 ∠C=78°,则 ∠ABD 的度数为　　　　　　度。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形,若 ∠BOD=100°。求 ∠A 和 ∠C 的度数。 （提示：先由圆周角定理求 ∠A。） 10．如图,四边形 ABCD 内接于 ⊙O,点 E 在 CD 的延长线上。 求证：∠ADE=∠ABC。 （提示：利用圆内接四边形对角互补和平角定义。） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．D　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．130 6．70 7．90 8．39 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】∠A=50°，∠C=130°（过程见评分标准） 由圆周角定理，∠A=½∠BOD=½×100°=50° 5 分； 由圆内接四边形对角互补，∠C=180°−∠A=130° 5 分。 10．【标准答案】证明见评分标准（同角的补角相等） 因为四边形 ABCD 内接于 ⊙O，所以 ∠ADC+∠ABC=180° 4 分； 因为 E 在 CD 的延长线上，∠ADC+∠ADE=180° 4 分； 所以 ∠ADE=∠ABC（同角的补角相等） 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.3 弧长和扇形面积（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．半径为 6、圆心角为 60° 的弧长为（　　） A．π　B．　C．　D．　 2．半径为 3、圆心角为 120° 的扇形面积为（　　） A．　B．　C．　D．　 3．圆锥的底面半径为 3,母线长为 5,则它的侧面积为（　　） A．　B．　C．　D．　 4．圆锥的底面半径为 6,母线长为 18,则它的侧面展开图（扇形）的圆心角为（　　） A．60°　B．90°　C．120°　D．150°　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．一个圆心角为 75° 的弧长为 2.5π,则这段弧所在圆的半径为　　　　　　。 6．一个扇形的弧长为 20π,面积为 240π,则这个扇形的圆心角为　　　　　　度。 7．用圆心角为 120°、半径为 4 的扇形纸片卷成一个圆锥（无重叠）,则这个圆锥底面圆的半径为　　　　　　。 8．圆锥的母线长为 10,底面圆的半径为 6,则它的侧面展开图的圆心角为　　　　　　度。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,两个大小相等的皮带轮（圆形）用一条传送带（与两轮都相切）连接,两轮的直径均为 2 m, 两个轮心的距离为 10 m（传送带紧套在两轮上）。 （1）求传送带直线部分的长度；（4 分） （2）求这条传送带的总长度（结果保留小数点后一位,π 取 3.14）。（6 分） 10．如图是一个圆锥形烟囱帽,它的底面圆的直径为 80 cm,母线长为 50 cm。 （1）求制作一个这样的烟囱帽所需铁皮的面积（即圆锥的侧面积,用 π 表示）；（5 分） （2）制作 100 个这样的烟囱帽至少需要多少平方米铁皮（π 取 3.14）?（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．A　　3．B　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．6 6．150 7． 8．216 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）10 m；（2）总长 (20+2π) m≈26.3 m（过程见评分标准） （1）传送带与两轮都相切，直线部分长等于两轮心距离，为 10 m 4 分； （2）上下两段直线部分共 2×10=20 m 2 分； 弯曲部分为两个半圆周，2πr=2π×1=2π m 2 分； 总长 20+2π≈26.3 m 2 分。 10．【标准答案】（1）20π cm²（约 0.2π m²）；（2）约 62.8 m²（过程见评分标准） （1）底面直径 80 cm，得半径 r=40 cm，母线 l=50 cm 2 分； 侧面积=πrl=2000π cm²，即 0.2π m² 3 分。 （2）100 个需 100×0.2π=20π m² 2 分； 取 π=3.14，得约 62.8 m² 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 29 章 圆（全章综合二）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列说法中,错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦　B．半圆是弧　C．同圆的半径相等　D．长度相等的弧是等弧　 2．用反证法证明"一个三角形中至少有两个锐角"时,第一步应假设（　　） A．三角形中至少有一个锐角　　B．三角形中至少有两个钝角　　 C．三角形中至多有一个锐角　　D．三角形中没有锐角　　 3．⊙O 的半径为 13,弦 AB=10,则圆心 O 到弦 AB 的距离为（　　） A．5　B．12　C．13　D．8　 4．一个扇形的半径为 6,面积为 9π,则它的圆心角为（　　） A．60°　B．80°　C．90°　D．120°　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．若 ⊙O 是 △ABC 的外接圆,则 OA、OB、OC 的大小关系是　　　　　　。 6．⊙O 的半径为 10,弦 AB=12,则圆心 O 到弦 AB 的距离为　　　　　　。 7．半径为 3 的圆中,一段弧长为 π,则这段弧所对的圆心角为　　　　　　度。 8．一个圆锥的侧面展开图是半径为 9、圆心角为 120° 的扇形,则这个圆锥底面圆的半径为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,AB 是 ⊙O 的直径,点 C、D 在 ⊙O 上,∠ADC=25°。 （1）求 ∠ABC 的度数；（5 分） （2）求 ∠BAC 的度数。（5 分） 10．如图,从一块直径为 4 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90° 的扇形 BAC,其中点 A 在圆上,点 B、C 在圆上且扇形的两条半径分别在 AB、AC 上。 （1）求剪下扇形后剩余部分铁皮的面积（结果保留 π）；（6 分） （2）把剪下的扇形围成圆锥,求这个圆锥底面圆的半径（结果保留小数点后两位）。（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．D　　2．C　　3．B　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．相等 6．8 7．60 8．3 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）∠ABC=25°；（2）∠BAC=65°（过程见评分标准） （1）∠ABC 与 ∠ADC 是同弧 AC 所对的圆周角，∠ABC=∠ADC=25° 5 分； （2）AB 是直径，得 ∠ACB=90° 3 分； ∠BAC=90°−∠ABC=90°−25°=65° 2 分。 10．【标准答案】（1）剩余面积为 2π m²；（2）底面半径约 0.71 m（过程见评分标准） （1）由 ∠BAC=90° 是圆周角，得 BC 是 ⊙O 的直径，BC=4 2 分； Rt△BAC 中 AB=AC（等腰），AB=AC=2√2 2 分； S扇形=¼π×(2√2)²=2π，S圆=π×2²=4π 1 分； 剩余面积 =4π−2π=2π m² 1 分。 （2）扇形弧长 =¼×2π×2√2=√2π 2 分； 2πr=√2π，r=√2/2≈0.71 m 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $