第6讲 二次函数与一元二次方程-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年九年级全一册数学

第6讲 次函数与一元二次方程 卑情境课堂 吴文俊(1919一2017)，世界著名数学家，中国数学机械化研究的创始人之一，中国科学院院士，他的主要 研究方向是拓扑学.他的“吴方法”在国际机器证明领域产生了巨大影响，当前国际流行的主要符号计算软件 都采用了吴文俊教授的算法. 函数与方程的思想 函数与方程是两个不同的概念，但有时它们之间又存在着密切的联系.一个函数若存在解析式，比如y f(x),那么可令y=0,所得的f(x)=0就是一个方程，或者移项得f(x)一y=0也是一个方程.一个二元方 程两个变量之间的对应关系如果是函数关系，比如f(x)=0,那么可将其解看作函数y=f(x)的图象与x轴 交点的横坐标等.因此，许多方程问题与函数问题是可以相互转化的， 对于二次函数我们可通过下表来说明其图象与一元二次方程根的关系： △>0 △=0 △<0 二次函数y=a.x2十bx十c (a>0)的图象 抛物线与x轴有两 抛物线与x轴有一个交 抛物线与x轴没有交 交点个数 个交点 点（顶点在x轴上） 点，抛物线与x轴相离 方程有两个不相等的 一元二次方程的根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 实数根 典例剖析 类型1) 二次函数的图象与x轴的交点问题 例1量当n=1,2,3,…,2026,2027时，二次函数y=(2十n)x2-(2n十1)x十1的图象被x轴所 截得的线段长度之和为( ). A.2025 B2026 D2028 2026 2027 C.o2s 2029 ⑤【学找切入点】先由求根公式求出方程(n2+)x2一(2n十1)x十1=0的两个根，再利用数轴上两点间的距 离公式可求出此函数的图象被x轴所截得的线段长度的表达式，再把n=1,n=2,…,n=2026,n=2027代入 表达式，找出规律即可. ·33· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 变式1风如果关于x的方程！号1-22，有非负整数解，且关于x的二次函数y(a一1r+ (4a一1)x+4a与x轴有交点，那么满足条件的所有整数a的和为( ). A.6 B.11 C.12 D.15 变式1-2已知m<n,则函数y=(x一m)(x一n)+1与x轴的交点的横坐标为a,b,且a<b,则 （). A.bn>ma B.nbam C.nmb>a D.ba>n>m 拓展总结 二次函数的根与系数的灵活运用 1.若二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)与x轴交于两，点A(x1,0),B(x2,0),则一元二次方程a.x2十bx十c 0的两个根即为，，利用根与系数的关系可得：(1)a十=一名，=台，(2)AB=a一= a 2.不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx十c<0的解集可分别看作二次函数y=a.x2+bx+c的函数值大于 或小于0时，自变量相应的取值范围。 类型2)二次函数与一元二次方程的关系 例2(2025，武汉中考)已知二次函数y=ax2+(a一2)x-2(a为常数，且a≠0).下列五个 结论： ①该函数图象经过点（一1,0）； ②若a=一1，则当x>一1时，y随x的增大而减小； ③该函数图象与x轴有两个不同的交点； ④若a>2,则关于x的方程a.x2十(a一2)x一2=0有一个根大于0且小于1； ⑤若a>2,则关于x的方程|a.x2+(a-2)x-2=2的正数根只有一个. 其中正确的是 ·(填序号) ⑥【学找切入点】把x=一1代入二次函数中，得y=0,即可判断①；当a=一1时，该二次函数的图象开口向 下，对称轴为直线x=一多，则可根据增减性判断②：利用判别式的值可直接荆新③；由①与韦达定理可判断 ④⑤. 变式2-1已知二次函数y=ax2+bx十c的图象经过(-3,0)与(1,0)两，点，关于x的方程a.x2+ bx十c十m=0(m>0)有两个根，其中一个根是3，则关于x的方程ax2十bx十c十n=0(0<n<m) 有两个整数根，这两个整数根是(). A.-2或0 B.-4或2 C.-5或3 D.-6或4 ·34 第6讲 二次函数与一元二次方程 类型3)利用函数图象确定相关代数式的值 例3如图是二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象，下列结论： ①ac<0;②当x≥1时，y随x的增大而减小； ③2a十b=0,④方程ax2十bx十c=0的根是x1=-1,x2=3; ⑤4a+2b+c<0. 其中正确的个数是( ). A.2 B.3 C.4 D.5 ⑤【学找切入点】根据图象的开口方向、与y轴的交点位置可知a>0,c<0,即可判断①；根据二次函数的对 称轴及增减性可判断②③；根据图象与x轴的交点可判断④；当x=2时，y<0,可判断⑤. 变式3-1二次函数y=a.x2十bx十c(a,b,c是常数，a≠0)的图象经过点(2,0)，与y轴正半轴相 交，其对称轴是直线x=一1.则下列结论中正确的是(). A.62-4ac<0 B.当y<0时，x>2 C.方程ax2十bx十c=0的两个根是x1=2,x2=-3 D.当m≠一1时，am2十bm<a-b 变式3-2如图，抛物线y=a.x2十bx十c(a≠0)，其对称轴是x=1,且与x轴的一个交点在(3,0) 和(4,0)之间，结合图象给出下列结论： ①abc<0; ②2a+b=0; ③4a-2b+c>0; ④对于任意实数m,总有am2+bm一a一b≥0； -2-101 3\ 45 ⑤关于x的方程a.x2+bx十c=0(a≠0)的另一个根在一2和 一1之间. 其中正确的结论有( A2个 B.3个 C.4个 D.5个 拓展总结 二次函数y=a.x2十bx十c的图象与系数的关系 (1)由抛物线的开口方向确定a的符号. (2)由对称轴x=一品确定6的符号。 (3)由抛物线与y轴的交点确定c的符号. (4)由抛物线与x轴的交，点的个数确定△=b一4ac的符号. (5)若抛物线过，点(1,0)，则a十b十c=0;若点(1，a十b十c)在x轴的上方，则a十b十c>0;若，点(1，a十b十 c)在x轴的下方，则a十b十c<0.同理可得a一b十c,4a十2b十c,4a-2b十c等代数式的符号. ·35· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 类型4)二次函数与几何图形的面积问题 例4如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC,以底边BC的垂直平分线和 BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线)=号 2x十4经过A, B两点 (1)写出点A,B的坐标 (2)若一条与y轴重合的直线1以每秒2个单位长度的速度向右平 移，分别交线段AB,OA,CA和抛物线于点Q,点E,点M和点P,连接PA,PB.设直线l移动的 时间为t(0<t<4)秒，求四边形PBCA的面积S(面积单位)与t(单位：秒)的函数关系式，并求出 四边形PBCA的最大面积. (3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点P,使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由， ⑤【学找切入点】(1)在解析式中令x=0,可得点B的坐标；令y=0,可得点A的坐标. (2②)Sa我m=Sa度十Ss,丙Saa=SA十SaAm=号PQ·OE+号PQ·AE=号PQ·OA,再用含t 的式子表示出PQ,即可求出S与t的函数关系式，由函数的性质可求得S的最大值. (3)在△PAM中，∠AMP,∠APM不可能是直角，当∠PAC是直角时，直线PA与直线AC垂直，由直线 AP的解析式可求出点P的坐标. 变式4-1如图，已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C,D 两点，P是抛物线上的一个动点， (1)求此抛物线的解析式； (2)求C,D两点的坐标及△BCD的面积； (3)若点P在x轴下方的抛物线上，且满足S△m-SAm,求点P的坐标 D ·36 第6讲二次函数与一元二次方程 《研讨乐园 (x-1)2-1(x≤3)， ,例5已知函数y= 若使y=k成立的x值恰好有三个，则的值为 (x-5)2-1(x>3), A.0 B.1 C.2 D.3 ⑤【学找切入点】方法一，画出函数图象，直线y=3与已知函数图象共有三个交点。 方法二，分别解方程(x一1)2一1=k及(x一5)2一1=，解出的四个根中有两个根相等，从而求出. 【解】甲的探究如图所示，当=3时，直线y=k与函数y的图象有三个交点； 当一1<k<3时，直线y=与函数y的图象有四个交点； 1三 x=5 当>3或k=一1时，直线y=k与函数y的图象有两个交，点： 当<一1时，直线y=k与函数y的图象没有交点.故=3. 乙的探究依题意由(x一1)2一1=k,解得x=1士√十1. 由(x-5)2-1=k,解得x=5士√k十1. ∴.x1=1+√k+1,x2=1-√k+1,x3=5+√k+1,x4=5-√k+1. 若k十1=0，则方程只有两个根，不合题意，故十1>0，此时x3最大，x2最小.由题意知方程有三个根，故 x1=x4,即1+√十1=5-√+1，.k=3. 变式5-1了（经典，广元中考）将二次函数y=-一x2+2x十3的图象在x轴上方的 部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线y=x十b与新函数的 图象恰有3个公共点时，b的值为(). A24或3 B或-3 c梁或-3 D.9或-3 变式5-23当m取何值时，方程x2一4|x+5=m有4个互不相等的实数根？ ·37· )培优竞赛超级课堂 9年级数学 能力平台 ⑤培优训练 (建议用时30分钟) 4.二次函数y=ax2十bx十c(a,b,c是常数，且a≠0) 1.(2025,青岛中考)将二次函数y=x2-2x-3的图 的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示： 象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴 -1 0 上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数 m 的描述正确的是( 当x=是时，对应的函数值y<0,则下列结论： ①abc>0;②当x≤0时，y随x的增大而增大； ③关于x的方程ax2十bx十c=0有异号的两实数 根，而且负实数根在-}和0之间，④3m一K-9 A.图象与y轴的交点坐标是(0，一3) 其中正确的结论是( B.当x=1时，函数取得最大值 A.②③ B.③④ C.图象与x轴两个交点之间的距离为4 C.②③④ D.①②③④ D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 5.已知抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)，对称轴为x= 2.新定义：[a,b,c]为二次函数y=ax2十bx十c(a≠0， t,且a十b十c=0,a<bc,有以下结论： a,b,c为实数)的“图象数”.比如y=x2-2x十3的 ①抛物线一定经过点(1,0)； “图象数”为[1，一2,3]，若“图象数”是[m,2m十4， 2m十4幻的二次函数的图象与x轴只有一个交点， ②0<K2: 1 则m的值为( ) ③关于x的一元二次方程ax2+bx十c十1=0必有 A.-2 B是 C.-2或2 D.2 一根大于1； 3.已知抛物线C:y=x2-2x(0≤x≤2)交x轴于 ④关于m的一元二次方程m2+bm+ac=0一定有 O(0,0),A两点.将C1绕点A旋转180得到抛物线 两个不相等的实数根， C2,交x轴于另一点A1;将C2绕点A1旋转180°得 上述结论中，所有正确结论的序号是(). 到抛物线C3,交x轴于另一点A2…如此进行下 A.①②④ B.①③④ 去，形成如图所示的图象，则下列各点在图象上的 C.①②③ D.②③④ 是(). 6(2025,准安中考)已知二次函数)=2-mx+ m一1(m为常数). A (1)若点(2，一1)在该函数图象上，则m= A.(2026,1) B.(2026,-1) (2)求证：该二次函数的图象与x轴有两个不同的 C.(2027,1) D.(2027,-1) 公共点 ·38· 第6讲二次函数与一元二次方程 (3)若该函数图象上有两个点A(m十1，y),B(m十10.（经典，太仓自主招生）在平面直角坐标系中，设二 p,y2),当y1<y2时，直接写出p的取值范围. 次函数y=ax2十bx一3a(a,b是实数，a≠0). (1)判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明 理由； (2)若该函数图象的对称轴为直线x=1,A(, y),B(x2y2)为函数图象上的任意两点，其中 x1<x2,求当x1,x2为何值时，y1=y2=5a; (3)若该函数图象的顶点在第二象限，且过点 (1,1),当a<b时，求2a十b的取值范围. ⑧竞赛训练 (建议用时30分钟) 7.(经典，黄冈校级自主招生)已知y=x2十mx一6，当 1≤m≤3时，y<0恒成立，那么实数x的取值范围 是 8.(经典，全国联赛)设m是整数，且方程3x2十mx一 2=0的两个根都大于一号且小于号，则m= 9.(经典，滨州市惠民县自主招生)已知抛物线y= x2-(2m-1)x+m2-m. (1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； (2)若此抛物线与直线y=x-3m十3的一个交点 在y轴上，求m的值. ·39·目培优竞赛超级课堂9年级数学 1]B提示：'A(m一2，a),C(m,a)关于对称轴对称， .m-2+m=--24 2 2 .∴.m一1=t,且点A在对称轴左侧，点C在对称轴右侧， ,抛物线与y轴的交点为(0,3)，抛物线的对称轴为直 线x=t, .此交点关于对称轴的对称点为(2m一2,3)， 又.'a<b<3,t>0,4<2m-2, .m>3, 当点A,B都在对称轴左侧时， ,a<b,.4<m-2,解得m>6, 当点A,B分别在对称轴两侧时，·a<b, ∴点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离， .∴.4-(m-1)>m-1-(m-2), 解得m<4, .3<m<4, 综上所述，3<m<4或m>6. 2C提示：，A(2-t,边)，B(t边)是抛物线y=x2十 bx十c上不同的两点， .-5=2-g+=1, 2 2 b=-2, .抛物线y=x2-2x十c=(x-1)2十c-1. ,抛物线开口向上，对称轴为直线x=1, ∴.函数在x=1时有最小值c一1， .当x=0或2时，y=c. ,当0≤x≤t时，恒有c-1≤h≤c, ∴.1<t≤2. 第6讲二次函数与一元二次方程 例1C提示：当y=0时，(2十n)x2-(2n十1)x十1=0， 解得市女 1 设题中二次函数的图象被x轴截得的线段长度为d, d=a一=丹nh .d1+d2+…+d2o27 -(1-号)+（分-号）++(202722s) 12027 =1-20282028 例2①②④⑤.提示：把x=-1代入二次函数y=ax2十 (a-2)x-2中，得y=a十2-a-2=0, 故该函数图象经过点（一1,0），①正确； 当a=一1时，该二次函数的图象开口向下， 对称轴为直线=一名=-“2=一是， 故当x>-号时y随x的增大而诚小， 因此当x>一1时，y随x的增大而减小，②正确； △=-4ac=(a-2)2+8a=(a+2)2≥0， ∴该函数图象与x轴有两个不同的交点或只有一个交 点，③错误； 由①可知关于x的方程ax2十(a-2)x-2=0有一个 根-1， 设另一个根为”，由韦达定理可知(-1)·=一2 ·2=2 当a>2时，有0<2<1， a 即关于x的方程a.x2+(a一2)x一2=0有一个根大于 0且小于1，故④正确： 当0>2时，对称销为直线x-2公-日-<0， 则关于x的方程ax2十(a一2)x-2=-2有两个非正 数解， 将y=ax2+(a一2)x一2在x轴下方的图象沿x轴翻 折可得到函数y=|ax2+(a一2)x一2|的图象， -y=2 -3-2-101234x -1 -2 令y=2,则直线y=2与y=|ax2+(a-2)x-2共有 4个不同的交点， 其中，只有最右侧的交点的横坐标为正， 即关于x的方程ax2十(a一2)x一2=2的正数根只 有一个，故⑤正确. 例3B提示：二次函数的图象开口向上，故a>0,与y 轴交于负半轴，故c<0,∴ac<0,故①正确； :二次函数图象的对称轴为直线x=1,且开口向上， ∴.当x≥1时，y随x的增大而增大，故②错误； :二次函数图象的对称轴为直线x=一名会-1， ∴.b=一2a,即2a十b=0,故③正确； 由图象可知，对称轴为x=1,其中一根一1<x<0,故 ④错误； 由图象可得，当x=2时，y=4a十2b十c<0,故⑤正确. ⑦丽(1)在抛物线)=-分：+子x十4中，令x=0,得 y=4,则B0,0令y=0,得0=-之2+名x十4，解 得0=-1（舍去），2=8，则A(8,0).A(8,0),B(0,4). (2)在△ABC中，AB=AC,AO⊥BC,则OB=OC=4, .C(0,-4).由A(8,0),B(0,4)可得直线AB的解析 1 式为y=一2x+4.依题意得OE=2,即E(2,0), .P(2t,-2+7t+4),Q(2t,-t+4), .PQ=(-22+7t+4)-(-t+4)=-22+8t, 而S=S△ABC十S△ABP -BCXOA+PQXOE+PQXAE =2×8X8+2PQX0A =32+2(-2+80×8 =-8t2+32t+32, 即S=-8(t-2)2+64. .当t=2时，S有最大值，且最大值为64. (3)存在.：PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO<90°， 而∠APM是锐角， .△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90° 由A(8,0),C0,一0得直线AC的解析式为)y一之x一4， .直线AP的解析式可设为y=一2x十h, 将A(8,0)代人，得-16+h=0,即h=16, .直线AP的解析式为y=-2x十16. =2+x4, 7 联立解析式得 y=-2.x+16, 解得因=8（舍去 /x2=3, y=0 y2=10. 存在符合条件的点P,其坐标为(3,10). 【变式题组】 固8提示号1=2是 .x=5-a :关于x的方程号 2 1=2二2有非负整数解，a是整 数，x≥≥0且x≠2， .a≤5，且a≠3，a是整数 ,关于x的二次函数y=(a-1)x2+(4a-1)x十4a与 x轴有交点， .△=(4a-1)2-4(a-1)4a=8a+1≥0， 心-8 由二次函数的系数不为0可得a≠1， .a=0,2,4,5. .满足条件的所有整数a的和为ll. 12B提示：：二次函数y=(x一m)(x一n)与x轴的交 参考答案与提示 点的横坐标为m,n,∴将其图象向上平移1个单位 长度可得出二次函数y=(x一m)(x一)十1的图象， 结合m<n,函数y=(x一m)(x-n)+1与x轴的交点 的横坐标为a,b,且a<b,如图所示，观察图象，可知 nb>a>m. y 71 2-1B提示：二次函数y=ax2+bx十c的图象经过 (一3,0)与(1,0)两点， .当y=0时，ax2+bx+c=0的两个根为一3和1， 函数y=ax2十bz十c的对称轴是直线x=一1. 又：关于x的方程ax2+bx十c十m=0(m>0)有两个 根，其中一个根是3， .方程ax2+bx十c十m=0(m>0)的另一个根为-5. ,关于x的方程ax2十bx十c十n=0(0<n<m)有两个 整数根， ∴抛物线y=ax2十bx十c与直线y=一n的交点的横 坐标在一5与-3之间和1与3之间， ∴.关于x的方程a.x2+bx十c十n=0(0<n<m)有两个 整数根，这两个整数根是一4和2. BD提示：对称轴x-1,六一品-1，即62a ,函数图象过点(2,0)， .a·22+b·2+c=0, 代人b=2a得4a十4a十c=0, 即c=-8a ,函数图象与y轴正半轴相交， ∴.当x=0时，y=c>0,故a<0, b-4ac=(2a)2-4a·(-8a)=4a2+32a2=36a2>0, 故A错误； 由a<0且方程的根为x=2和x=一4，可得当y<0 时，x<-4或x>2,故B错误； 方程的根为x=2和x=一4，非x=一3，故C错误； 把b=2a代入am2+bm<a-b, 得am2+2am<-a,即a(m+1)2<0, a<0, ∴.(m十1)2>0，当m≠一1时不等式成立，D正确 3-2B提示：由图象可得a<0,b>0,c>0,故abc<0, ①正确； 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 :抛物线的对称轴为=1，÷一名-1， .2a十b=0,②正确； 当x=一2时，y<0,即4a-2b十c<0,③错误； 当x=1时，y=a十b十c,此时y的值最大， .对于任意实数m,am2+bm十c≤a十b十c, '.am2+bm一a一b≤0，④错误； ,对称轴是x=1,且与x轴的一个交点在(3,0)和(4,0) 之间， ∴另一个根在(-2,0)和（一1,0）之间，⑤正确 4-1(1),抛物线的顶点为A(1,4), .可设抛物线的解析式y=a(x-1)2+4. 把点B(0,3)代入，得a十4=3，解得a=一1， .抛物线的解析式为y=一(x一1)2十4. (2)由(1)知，抛物线的解析式为y=一(x一1)2十4. 令y=0,则0=-(x-1)2+4, 解得x=-1或x=3, .C(-1,0),D(3,0),.CD=4, :.Sow-CDXlynl-X4X3-6 (3)由(2)知，Sm=号CDX1为=合×4×3=6， CD-4.S 5m=2 CDXI>I=2×4Xlb加=2ln=l ,点P在x轴下方的抛物线上， yp<0, yp=-1. :抛物线的解析式为y=一(x一1)2+4， .-1=-(x-1)2+4, .x=1土5， .点P的坐标为(1+√5，-1)或(1-√5，-1). 5-1A提示：二次函数的解析式为y=一x2+2x十 3=-(x-1)2+4, 抛物线y=一x2+2x十3的顶点坐标为(1,4)， 当y=0时，x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3, 则抛物线y=一x2+2x十3与x轴的交点为 A(一1,0)，B(3,0),把抛物线y=一x2+2x十3图象的 x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分 的抛物线的解析式为y=(x一1)2一4（一1≤x≤3），顶 点坐标为M(1,-4),如图，当直线y=x十b过点B 时，直线y=x十b与该新图象恰好有三个公共点， ∴.3十b=0,解得b=-3. 当直线y=x十b与抛物线y=(x一1)2-4(-1≤x≤3) 相切时，直线y=x十b与该新图象恰好有三个公共点， 即(x一1)2一4=x十b有相等的实数解， 整理得x2-3x-b-3=0,△=32-4(-b-3)=0, 解得6=一21 4 ∴6的值为-3或-2 41 ,y=x+b y=x+b 1(x十2)2(x<0), 5-2原方程可化为m一1= 原方程有 （(x-2)2(x≥0)， 4个互不相等的实数根，转化为两条抛物线y=(x 2)2(x≥>0)，y=(x十2)(x<0)与直线y=m-1有4个 不同交点的问题.作出函数图象（如图），由图象可知， 当0<m-1<4,即1<m<5时，方程x2-4|x十5=m 有4个互不相等的实数根， y=(x+2)2 y ！y=(x-2)月 y=m-1 2 【能力平台】 1C提示：由题意，，二次函数为y=x2-2x一3， .当x=0时，y=-3, .其图象与y轴交于(0，-3) 又图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到 x轴上方， .新函数图象与y轴的交点为(0,3)，故A错误. 结合函数图象可以发现，函数没有最大值， 故B错误 令y=x2-2x-3=0,则x=3或x=-1, ∴.函数图象与x轴的交点为（一1,0），(3,0). ∴.图象与x轴两个交点之间的距离为3一（一1)=4， 故C正确. 由题意，原函数为y=x2一2x-3=(x一1)2-4， ∴.新函数为y=-(x-1)2+4(-1≤x≤3)， ∴.函数的对称轴是直线x=1, .结合函数图象可得，当1<x<3时，y随x的增大而 减小；当x>3时，y随x的增大而增大，故D错误. 2C提示：二次函数的解析式为y=mx2+(2m十4)x十 2m十4，根据题意得△=(2m十4)2-4m(2m十4)=0， 解得m=-2,m2=2. 3C提示：由已知y=x2-2x=x2-2x+1-1=(x 1)2-1,则抛物线C的顶点为(1，一1)， 由旋转可知，抛物线C2的顶点为(3,1)， 则抛物线C2的解析式为y=一(x一3)2+1. 由题意可知，题干中的复合图象，每4个单位循环一次， 由2026=506×4十2可知，x=2026的函数值等于 x=2时的函数值， ∴.当x=2时，y=22-2×2=0. 由2027=506×4十3可知，x=2027的函数值等于 x=3时的函数值， ∴.当x=3时，y=-(3-3)2+1=1. 故点(2027,1)在图象上 4C提示：当x=0时，c=2,当x=1时，a十b十2=2， ∴.a十b=0,∴.abc<0,①错误. ,当x=0时，y=2,当x=1时，y=2, 对称轴为直线x-士-之 2 “当x=多时，对应的函数值0， ∴.抛物线的开口向下， “当<2时，y随x的增大而增大， ∴当x≤0时，y随x的增大而增大，②正确. :当x=1时y=2,当x=号时，0 ∴抛物线与x轴的交点在1和之间. :对称轴为直线x=2, 1 “抛物线与x轴的另一个交点在一2和0之间， ∴.关于x的方程ax2+bx十c=0有异号两个实数根， 而且负实数根在一2和0之间，③正确。 ∴.b=-a,∴y=a.x2-a.x+2, .∴.m=n=2a+2,∴.3m-n=4a+4. :当x=号时y=a-号a+2<0,∴a<-8, 93 ∴3mK9,④正确， 5B提示：：a十b十c=0,.当x=1时，y=0, 即抛物线一定经过点(1,0)，所以①正确， .a+b+c=0,a<b<c; ∴.a<0,c>0,b的符号不能确定， 参考答案与提示 :地物线的对称轴为直线=一会 ∴.当b0时，对称轴在y轴的左侧，即t0, 所以②错误。 ,抛物线开口向下，与y轴的交点在x轴上方， .直线y=一1与抛物线y=a.x2十bx十c有2个交点， 其中一个交点的横坐标大于1， ,.关于x的一元二次方程ax2十bx十c十1=0必有一 个根大于1，所以③正确. 关于m的一元二次方程m2+bm十ac=0, a<0,c>0, .△=b-4ac>0, ∴.关于m的一元二次方程m2十bm十ac=0一定有两 个不相等的实数根， 所以④正确. 百1将(2，-1D代人y=2-m+m-1, 得-1=合×2-2m十m-1,解得m=2, 故答案为2. 2)油题可知△=（一m)-4X号×(m-1)=m- 2m+2=(m-1)2+1. (m-1)2≥0，.(m-1)2+1>0,∴.A>0, ·∴.该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点 (3)y=号2一mx十m-1的对称轴为直线x 一m 1 =m, 2×2 :二次项系数2>0， ,.二次函数的图象开口向上 ,yh<2, .点A(m十1，y)到对称轴的距离小于点B(m十， y2)到对称轴的距离， ∴.|m+1-m<|m+p-ml,即|>1， p>1或<-1. 7-3<<-3+33 2 提示：1≤m≤3，y<0, .当m=3时，x2+3x-6<0, 由y=2+3x-6<0,得-3，√3<<-3士3 2 2 当m=1时，x2+x-6<0, 由y=x2十x-6<0,得-3<x<2. “实数x的取值范围为-3<<二3十Y3 2 84.提示：设函数y=3x2十mx一2，画出此函数的大 y 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 致图象如图所示， 由图象知，当x= 号时，y>0,当x=号时>0， 3×(-号)°+mx(-号)-2>0， 3x(号)}‘+m×号-2>0， 解得3员<mK4号 m为整数，.m=4. 9(1)令y=0,得x2-(2m-1)x十m2-m=0. ,△=(2m-1)2-4(m2-m)×1=(4m2-4m+1) (4m2-4m)=1>0, ∴方程有两个不等的实数根， 此抛物线与x轴有两个不同的交点。 (2)令x=0,根据题意有m2一m=-3m十3， 解得m=-3或1. 10(1),△=-4a(-3a)=b+12a2≥0，且a≠0， .△>0， ∴该函数图象与x轴的交点个数为2. (2:x=1=a ，.b=-2a, 则抛物线的解析式为y=ax2+bx一3a=ax2-2ax一3a. 当1=2=5a,即y=a.x2-2a.x-3a=5a时， 解得x=4或-2，则0=-2，x2=4. (3)将点(1,1)代入抛物线的解析式，得1=a+b-3a, 则b=2a十1. ,a<b,a<2a十1，解得a>-1. 则抛物线的解析式为y=a.x2十(2a十1)x一3a. 由(1)知，函数图象与x轴的交点个数为2且图象的顶 点在第二象限， 则抛物线的开口向下，即a<0, 则函数的对称销=一会-2安<0， 2a 解得a<-号， 故-1<a<-号，故-1<2a+1<0, 即2a十b的取值范围为一3<2a十b<一1. 第7讲实际问题与二次函数 例1(1).BO=4m, 抛物线L1的顶点B的坐标为(0,4). 2 设抛物线L1的函数表达式为y=a(x一0)2十4， AC=16m,结合二次函数的对称性得A(-8,0), C(8,0),将C(8,0)代入y=a(x-0)2+4, 1 得0=64a十4，则a=一16， =162+4. (2)由(1得抛物线L的函数表达式y=一r+4, :MN∥AC,MPLAC,nqlAc,NQ=号m, 且抛物线L的函数表达式为)y一最（ú一40， y=w-0=-2+4-[-是e-40]-号， 整理得x2一3(x-4)2=24, ∴.x2-3x2+24x-48=24, ∴.x2-12x十36=(x-6)2=0,解得1=x2=6, ..MN=2X6=12(m). 例2(1)由题意知，当40≤x≤50时，y=5; 当50<x≤100时，y=5-(x-50)×0.1=10-0.1x. y与x之间的函数关系式为 /y=5(40≤x≤50)， y=10-0.1x(50<x100). (2)设月销售利润为之，由题意可知，当40≤x≤50时， x=50时利润最大， 此时之=(50-40)×5=50（万元）； 当50<x≤100时，之=(x-40)y=(x-40)(10- 0.1x)=-0.1x2+14x-400=-0.1(x-70)2+90, .当x=70时，之有最大值，最大值为90万元 综上所述，当月销售单价是70元时，月销售利润最大， 最大利润是90万元. (3)设捐款后月销售利润为w, 由题意可知w=(x-40-a)(10-0.1x) =-0.1x2+(14+0.1a)x-400-10a, 此抛物线的对称轴为直线x=一品=0十 0.5a>70, ,∴.当月销售单价是70元时，捐款后的月销售利润w最大， 即(70-40-a)×(10-0.1×70)=78, 解得a=4,∴.a的值为4. 例3(1)根据题意知，这个正方体的底面边长a=√2x,EF= √2a=2x,.x+2x+x=24, 解得x=6,则a=6√2. ∴.V=a3=(6√2)3=432√2(cm3). 答：这个包装盒的体积V为432√2cm3.