第5讲 二次函数的解析式、图象和性质-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年九年级全一册数学

第5讲 二次函数的解析式、图象和性质 京情境课堂 林家翘(1916一2013)，著名数学家、力学家，美国科学院院士.从20世纪40年代开 始，林家翘教授在流体力学的流动稳定性和湍流理论方面的工作带动了整整一代人在这 一领域的研究探索.1994年当选为首批中国科学院外籍院士， 从生物实验探索二次函数的解析式 1970年伯利斯进行了这样的实验： 磺胺是一种消炎药.伯利斯给小鼠注射了磺胺药物，在给药后，从20分钟到420分 林家翘 钟这段时间内，按一定的时间间隔从其尾静脉中取血，分析药物的质量分数， 设药物的质量分数为a(单位：mg/mL),抽血时间为t（单位：min),并设t=l0r,a=l0' 根据生物学家的实验，y与x之间可用如下的二次函数描述： y=-0.77x2+2.59x-1.06.① 将这个函数变形为y=-(x1一1.682)2+1.452(y=0.77y,x=x1).② ②式的图象是一条抛物线，其顶，点坐标为(1.682,1.452) 所以y的最大值为0.77×1.452≈1.118. 即小鼠血液中磺胺的最高质量分数大约为l0118mg/mL. 上面的①式是二次函数的一般式，②式是二次函数的顶，点式。 。典例剖析 类型1)用待定系数法求二次函数的解析式 ,例1已知二次函数y=ax2十bx十c的图象经过(3,0)，(2，一3)两点，且以x=1为对称轴，求这 个二次函数的解析式。 ⑤【学找切入点】方法一，因为点(3,0)关于对称轴x=1的对称点为（一1,0），故可设交点式；方法二，因为对 称轴已知，故顶点的横坐标已知，可设顶点式. ·26· 第5讲二次函数的解析式、图象和性质 变式1-1（经典，盐城中考）已知抛物线y=a(x一1)2+h经过点(0，一3)和(3,0). (1)求a,h的值； (2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写 出新的抛物线相应的函数表达式 拓展总结 灵活设立不同形式的二次函数解析式 (I)当已知抛物线的顶，点坐标时，可以将解析式设为顶，点式y=a(x一h)2+. (2)当已知抛物线与x轴的交，点的坐标时，可以将解析式设为交点式y=a(x一x1)(x一x2). (3)当已知抛物线的三个，点的坐标时，可以将解析式设为一般式y=ax2十bx十c. 恰当的设法往往可以起到事半功倍之效.当然，如何设解析式有时需要具体分析，灵活处理 类型2)二次函数与几何变换 例2把抛物线y=x2十bx十c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得 图象的解析式为y=x2一3x十5，则( A.b=3,c=7 B.b=6,c=3 C.b=-9,c=-5 D.b=-9,c=21 ⑥【学找切入点】方法一，将y=x2十bx十c配方后，再按平移的规律“上加下减”“左加右减”即可求出；方法 二（逆推法），y=2-3x十5左3上2y=2+br十c )变式2-1（经典，荆州中考）将抛物线y=x2一2x十3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单 位长度后，得到的抛物线的解析式为(). A.y=(x-1)2+4 B.y=(x-4)2+4 C.y=(x+2)2+6 D.y=(x-4)2+6 变式2-2作抛物线y=a.x2+bx十3关于y轴对称后经过点（一2,4），则6a+3b十2的值 为 ·27· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 类型3二次函数与一次函数的图象问题 ,例3在同一平面直角坐标系中，一次函数y=a.x十c和二次函数y=ax2一2x十c的图象大致为 70 D ⑤【学找切入点】依据题意，可先由一次函数y=ax十c的图象得到字母系数a,c的正负，再由二次函数y= ax2十8x十c的图象得到a,c的正负，即可得到答案. )变式3-1在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax十c与二次函数y=ax2+8x十c的图象可 能是( A 变式3-23在同一平面直角坐标系中，函数y=kx十1与y=kx2一2kx十1的图象大致是( L 类型4)二次函数图象与系数的关系 例4(2023，达州中考)如图，已知抛物线y=ax2+bx十c(a,b,c为常数)关于 直线x=1对称.则下列结论：①abc>0;②2a十b=0;③4a十2b+c>0;④am2+ bm>a十b;⑤3a+c>0.其中正确的有(). A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ⑤【学找切入点】由抛物线的开口方向以及与y轴的交点可知a>0,c<0,根据对称轴为直线x=1得出b= 一2a<0,即可判断①；由对称轴为直线x=1得出2a十b=0,即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据 函数的最值即可判断④；当x=-1时，y>0,得出a一b+c>0,由b=-2a得出3a十c>0,即可判断⑤. ·28 第5讲二次函数的解析式、图象和性质 变式4-13已知二次函数y=ax2+bx十c的图象如图所示，过点(-1,0).有以下结论：①b>0; ②4ac<b;③4a十2b十c>0;④2a=b.其中正确结论的个数是(). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 类型5)二次函数与几何图形的综合运用 例5(2023，辽宁中考)如图，抛物线y=一2+bx十c与r轴交于点A和点B(4,0),与y轴 交于点C(0,4),点E在抛物线上 y B 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F,作EH∥x轴，交抛物线于点H, 点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH,当矩形EFGH的周长为11时，求线 段EH的长； (3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的 坐标. ⑤【学找切入点】()利用待定系数法即可求解。 (2②)先求得直线BC的解析式为y=一x十4，设E(x,一分十x十4)，则F(,一x+4),利用对称性质求得 H(2-x,-2r2+x十4)，推出GH=EF=-22+2x,GF=EH=2x-2,利用矩形周长公式列-元=次方程 计算即可求解. (3)先求得直线AC的解析式为y=2x十4，分别过点M,E作y轴的垂线，垂足分别为P,Q,证明△OMP≌ △E0Q,推出PM=0Q,P0=EQ.设E(m,一2m2+m+4),则M(2m2-m-4,m）,由点M在直线AC上，列 式计算可求得m的值，利用平移的性质即可求解.当OM沿着点O逆时针旋转90°得到OE,设M(a,b),则点 E(b,一a),然后表示出点M,E的坐标，再代入一次函数即可求解. ·29· 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 变式5-1(2023，济宁中考)如图，直线y=一x+4交x轴于点B,交y轴于点C,对称轴为直线 x=的抛物线经过B,C两点，交x轴负半轴于点A,P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m, 过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M,作x轴的垂线PN,垂足为N,直线MN交y轴于 点D. (1)求抛物线的解析式. (2)若0<m<,当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？ (3)若m<号，设直线MN交直线BC于点E,是否存在这样的m值，使得MN=2M?若存 在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由 y A B A 备用图 拓展总结 二次函数综合题的解题策略 (1)认真审题，对条件进行全面分析、转译和改造是解综合题的前提； (2)化复杂为单一，善于联想与转化是解综合题的关键； (3)恰当地分离与重组是解综合题的重要手段， 研讨乐园 例6某学生为了描点作出函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象，取自变量的7个值 x1<x2<<x,且x2一x1=x3一x2=…=x7一x6,分别算出对应的y值，列表如下. x x1 x2 y 51 107 185 285 407 549 717 但该同学由于粗心算错了其中一个y值，请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并 说明理由， .【学找切入点】设x2一x1=x一2=…=x一x6=d,且x:对应的函数值为y,计算△k=y+1一y的值，并 由此导出△(k十1)一△k为一常数，这是解本题的关键。 【解】设x2一T1=x3一x2=…=x一x6=d,且x:对应的函数值为y:,则 △k=y+1-y%=(ax+1十bck+1十c)-(a.x话十bxk十c) =a[(x%十d)2-x2]十b[(x%十d)-x]=2adx4十(ad十bd), ·30· 第5讲 二次函数的解析式、图象和性质 故△(k+1)-△k=2ad(x+1一x)=2ad(常数). 由给出的数据 yi: 51 107 185 285 407 549 717 得△k: 56 78 100122 142 168 △(k十1)-△k: 22 22 22 20 26 由此可见，549是被算错的值，其正确的值应该是551. 能力平台 ⑤培优训练 (建议用时30分钟) 4.(2023,鄂州中考)如图，已知抛物线y=ax2十bx+ 1.(2025,安徽中考)已知二次函数y=ax2+bx十 c(a≠0)的对称轴是直线x=1,且过点（一1,0），顶 c(a≠0)的图象如图所示，则( 点在第一象限，其部分图象如图所示.给出以下结 A.abc<0 B.2a+b<0 论：①ab<0;②4a+2b+c>0;③3a+c>0;④若 C.26-c<0 D.a-b+c<0 A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1<x2)是抛物线上的 y 1x=1 两点，且x十x2>2,则h>.其中正确的选项是 (). A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 5.(2023,十堰中考)已知点A(x1,y)在直线y=3x+ 19上，点B(x2,y2),C(x3,y3)在抛物线y=x2+ 第1题图 第2题图 4x-1上，若y1=y2=y3,x1<x2<x3,则十x2+ 2.(2024,甘南州中考)已知二次函数y=ax2+bx十 x3的取值范围是( ). c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc< A.-12<x1十x2十x3<-9 0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b< B.-8<x十x2十x3<-6 m(am十b)(m≠1的实数).其中正确的结论有 C.-9<x1十x2+x3<0 D.-6<x1十x2十x3<1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(2023,巴中中考)如图，在平面直角坐标系中，直线 3.(2023,娄底中考)已知二次函数y=a.x2十bx十c的 图象如图所示，给出下列结论： y=x十1与抛物线y=2交于A,B两点，设点 ①abc0;②4a-2b+c>0;③a-b>m(amm十b)(m为 A(1,y),B(x2,y2),则下列结论正确的个数为 任意实数)；④若点（一3，y)和点(3，y2)在该图象 (). 上，则y1>y2 ①x1x2=-4;②y1+y2=4k2+2; 其中正确的结论是( ) ③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积 A.①② B.①④ C.②③ D.②④ 为2； y◆x ④若点N(0,-1),则AN⊥BN. y 第3题图 第4题图 A.1 B.2 C.3 D.4 ·31· 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 7.(2025,淮安中考)若x2-3x十1+y=0,则2x十y ⑧竞赛训练 (建议用时20分钟) 的最大值是 9.,(2025,湛江自主招生)若将抛物线y=x2一2x十1 8.(2023,达州中考)如图，抛物线y=a.x2+bx十c过 先沿x轴方向向右平移1个单位，再沿y轴方向向 点A(-1,0),B(3,0),C(0,3). 下平移2个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线 的解析式变为( A.y=x2-2 B.y=x2+2 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2-2 备用图 10.(2025,浙江自主招生)如图，抛物线y=x2十ax+ (1)求抛物线的解析式. b交x轴于A,B两点，交y轴于C点，∠OBC= (2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出 △PBC的最大面积及此时点P的坐标 30°，则下列各式成立的是( A.3a+√3b-1=0 y (3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标 平面内一点，是否存在以BC为边，B,C,M,N B.3b+√3a-1=0 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 C.3a+√3b+1=0 N的坐标；若不存在，请说明理由. D.3b+√3a+1=0 11.(2025,巴中自主招生)如果A(m一2，a),B(4,b), C(m,a)都在二次函数y=x2一2tx十3(t>0)的图 象上，且a<b<3,则m的取值范围是(). A.3<m<4 B.3<m<4或m>6 C.m>6 D.m<4或m>6 12.(2025,株洲市天元区校级自主招生)已知A(2-t, y1),B(t,y)是抛物线y=x2十bx十c上不同的两 点，当0≤x≤t时，恒有c一1≤yM≤c,则t的取值 范围是( A.t>1 B.0≤≤2 C.1<t2 D.1≤t3 ·32·89.提示：设最小数为x,则最大数为x十8， 根据题意列一元二次方程得x(x十8)=153， 整理得x2十8x一153=0， 解得1=一17（不符合题意，舍去），x2=9, 所以这个最小数为9. 9(1)由题意可得△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF, ∴.∠DAB=∠EAB,∠DAC=FAC. .∠BAC=45°，∴.∠EAF=90°. .AD⊥BC,.∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90° ∴.四边形AEGF是矩形. 又，AE=AD,AF=AD,.AE=AF ∴.四边形AEGF是正方形 (2)设AD=x,则AE=EG=GF=x, BD=2,DC=3,.BE=2,CF=3, ∴.BG=x-2,CG=x-3. 在Rt△BGC中，BG十CG=BC, ∴.(x-2)2+(x-3)2=52, 解得x1=6,x2=一1（舍去）， ∴.AD=x=6. 10D提示：由题意得x十2=0且x2-x一1≠0，或x2一 x-1=1,或x2-x-1=-1且x十2是偶数，分别解得 x=一2或2或-1或0. 11B提示：根据题意列出一元二次方程得1×m十6× m十5Xm=96,解得m=7,m2=-13(舍去). 2C提示：方程x2-3x-10=0, 即x(x-3)=10的拼图如图所示， x-3 x-3 -2 中间小正方形的边长为x一(x一3)=3，其面积为9， ∴.大正方形的面积为(x十x一3)2=4x(x一3)十9= 4×10十9=49，其边长为7， 因此，C选项所表示的图形符合题意。 3(1)设最小数为x,则最大数为x十8， 由题意得(x十8)x=180, 整理得x2十8x一180=0，解得x=一18或10， 当x=一18时，不符合题意，舍去， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 所以最小数为10. (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不 能为80，理由如下： (参考答案与提示 设最小数为y,则另外三个数分别是y十1，y十7，y十8， 由题意得y(y十8)+y十(y十1)+(y十7)+(y+8)=80, 整理得y2+12y-64=0,解得y=-16或4， 当y=一16时，不符合题意，舍去. y=4在最后一列，∴假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能 为80. 第5讲二次函数的解析式、图象和性质 例1方法一设二次函数的解析式为y=a(x一3)(x十1)， ·点(2，一3)在抛物线上， .-3=a(2-3)×(2+1), .a=1, ∴.二次函数的解析式为y=x2一2x一3. 方法二设二次函数的解析式为y=a(x一l)2+n, 则a8-1十=0，解得 a=1, (a·(2-1)2+n=-3,1 n=-4. .二次函数的解析式为y=(x一1)2-4=x2一2x一3. 例2A提示：y=(x十3)2-3(x十3)+5+2=x2+3x十 7,所以b=3,c=7. 例3C提示：由二次函数图象知a<0,c>0;由一次函数 图象知a>0,c>0,故A不符合题意； 由二次函数图象知a<0,c>0;由一次函数图象知a> 0,c>0,故B不符合题意； 由二次函数图象知a>0,c>0,根据对称轴a,b符号 “左同右异”，可得对称轴在y轴右侧；由一次函数图象 知a>0,c>0,故C符合题意； 由二次函数图象知a>0,c>0,根据对称轴a,b符号 “左同右异”，可得对称轴在y轴右侧；由一次函数图象 知a>0,c>0,故D不符合题意. 例4B提示：抛物线y=ax2十bx十c(a,b,c为常数) 关于直线x=1对称，。一名=1 .a>0,,b=-2a<0. :c<0,.abc>0,故①正确； :b=-2a,∴.2a十b=0,故②正确； :当x=0时，y<0,又对称轴为直线x=1, .当x=2时，y0, ∴.4a十2b十c<0,故③错误； ,抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1, ,∴.am2+bm+c≥a+b+c, 即am2+bm≥a十b,故④错误； ,当x=-1时，y>0,a-b十c>0. 又，b=-2a,.3a十c>0,故⑤正确. 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 例5(1).抛物线y= 司2+b证十：经过点B(4,0)和 -1×4+4+c=0, 2 b=1, C(0,4), 解得 c=4, c=4, 1 一抛物线的解析式为y=一之2+x+4. (2)点B(4,0)和C(0,4), 直线BC的解析式为y=一x十4. 设E(x,-22+x+4),且0K<4,则F,-x+0, GH=EF=-22+x计4-(-x+0=-合r+2z ,抛物线的对称轴为直线x= =1 2x(-2) H川2--2+x+4, ∴.GF=EH=x-(2-x)=2x-2. 由题意得2(-22+2x+2x-2）=1, 解得x=5(舍去)或x=3.∴.EH=4. (3)令)-0，则一号2+x计4=0，解得x-2或=4 .A(-2,0). 设直线AC的解析式为y=kx十b, 将A(-2,0),C(0,4)代入，解得=2，b=4, .直线AC的解析式为y=2x十4. ,四边形OENM是正方形， .OE=OM,∠EOM=90°. 分别过点M,E作y轴的垂线，垂足分别为P,Q,如图1， Q B 图1 则∠OPM=∠EQO=90°，∠OMP=90°-∠MOP= ∠EOQ,.△OMP≌△EOQ(AAS) .'.PM=OQ,PO=EQ. 设E(m,-号m+m+4, :PO-EQ--m.PM-OQ-m-m-4, 则M号m2-m-4,m）: :点M在直线AC上， ∴m=2(2m-m-4)十4，解得m=4或m=-1. 当m=4时，M(0,4),E(4,0),即点M与点C重合，点E与 点B重合时，四边形OENM是正方形，此时N(4,4): 当m=-1时M-号-1)，E(-1,号)， 点0向左平移号个单位长度，再向下平移1个单位长 度，得到点M,则点E向左平移；个单位长度，再向下 平移1个单位长度，得到点N,即N-2,)】: 当OM沿着点O顺时针旋转90°得到OE,如图2. M E A O B 图2 E 设M(a,b),则点E(b,一a). ,点M在y=2x十4的图象上， ∴.b=2a十4，则点M(a,2a+4),此时点E(2a十4，一a). “点E在y=-合2十z十4的图象上， “-7(2a+4)2+2a+4+4=-a,解得a=0或-号。 M(0,40,E(4,0),M(-号，-1），E(-1,号）. 当点E为点M绕点O逆时针旋转90时得到，点E(一b, a),M(a,2a+4),E-2a-4,a). “点E在y=一2x+x+4的图象上， -7(-2a-4)2-2a-4+4=a, 解得a=一11± 4 M(1,-3,),B(3+冠， 2 -面)，M(=1+面，-3团)， (3y,-). “点N的坐标为(5+瓦，173团)或 4 (5厘，-17+3) 4 综上，点N的坐标为4,0或(-，是)或(-5计， =173/)或(5，-17+3) 4 2 【变式题组】 1-1(1)将点(0，-3)和(3,0)分别代入y=a(x-1)2+h, (-3=a·(0-1)2+h, 得 0=a·(3-1)2+h, 解得/a1, h=-4 (2)由(1)可知该抛物线的解析式为y=(x一1)2-4，将 该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单 位长度，得到新的抛物线的解析式为y=(x一2)2一2. 21B提示：将y=x一2x+3化为顶点式，得 y=(x一1)2+2.将抛物线y=x2一2x十3向上平移2个 单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线 的解析式为y=(x一4)2+4. 222.提示：作抛物线y=ar2+bx+3关于y轴对 称后经过点（一2,4）， 原图象经过点（一2,4）关于y轴对称的点，即经过点 (2,4), .∴.4a+2b+3=4, 2a+b-2 1 ÷6a+36+2=3(2a+b)+2=3×号+2=子 7 3-1C提示：由抛物线可知a>0,c>0,由直线可知a< 0,c>0,故A选项错误； 由抛物线可知a<0,c>0,由直线可知a<0,c<0,故 B选项错误； 由抛物线可知a>0,c>0,由直线可知a>0,c>0,且交 y轴同一点，故C选项正确； 由抛物线可知a<0,c>0,由直线可知a>0,c<0故 D选项错误 3-2D提示：依题意，当x=0时，对于y=kx十1，y=1, 当x=0时，对于y=kx2-2kx十1，y=1, 直线和抛物线交于点(0,1)，故A和C选项不符合 题意； “y=kx2-2x十1(k≠0)的对称轴为直线x=一，2坠 2k =1, ∴.抛物线的对称轴位于y轴的右侧，故B选项不符合 题意. 4-1C提示：抛物线开口向下，∴.a<0, :抛物线的对称轴是直线x=1, b1， .x=一 参考答案与提示 ∴.b=-2a>0,故①正确，④错误； ,由图象可知二次函数与x轴有两个交点， ∴.△=b-4ac>0,即4ac<,故②正确； ,抛物线的对称轴是直线x=1, ∴.当x=0和x=2时，函数值相等， ,当x=0时，y=c>0, ∴.4a十2b十c>0,故③正确. 综上可知，正确结论的个数是3个 5-1(1)在直线y=一x+4中，当x=0时，y=4,当y=0 时，x=4, ∴点B(4,0),点C(0,4). 设抛物线的解折式为y一a(x一)'+，把点B(4,0, 点C(0,4)代入， a(4)‘+=0, a=-1, 得 解得 a(0-2）‘+=4, ∴地物线的解析式为y=-(x-)°+空=-2+ 3x十4. (2)设P(m,一m2+3m+4),则PN=一m2+3m+4. 当四边形CDNP是平行四边形时，有PN=CD, '.OD=-m2+3m+4-4=-m2+3m, .D(0,m2-3m),N(m,0). 设直线MN的解析式为y=k1x十m2-3m, 把点N(m,0)代入可得k1m十m2-3m=0, 解得1=3-m, ∴.直线MN的解析式为y=(3-m)x十m2-3m. 又，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M,且 抛物线的对称轴为直线x=是， ∴.M(3-m,-m2+3m+4), ∴.(3-m)2+m2-3m=-m2+3m+4, 解得m=6+y团（舍去）或=6-√2 3 3 “当m为5一②团时，四边形CDNP是平行四边形. 3 (3存在理由如下：如图1，：对称轴为直线x=号，设 点P的坐标为(m,一m2+3m十4)， “点M的横坐标为号×2-m=3-m, ∴.N(m,0),M(3-m,-m2+3m+4). 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 图1 ,MN=2ME,即E是MN的中点，点E在对称轴x= 上，。 (多，m+m+4)。 2 又点E在直线BC:y=-x十4上， 代入得m+8m十4=一是+4， 2 解得m=3与或5（合去）， 2 故此时m的值为2≥ 如图2，设点E的坐标为(n,一n十4)，N(m,0),M(3-m, -m2+3m十4). 图2 .MN=2ME, ∴.0-(-2+3m+4)=2(-+3m+4+n-4),① ∴.3-m-m=2(n-3+m),② 联立①②，解得m5+(舍去)或二 6 综上，m的值为3,5或5-8 2 6 【能力平台】 1C提示：由图象可知抛物线交x轴于点(2,0)，另一 个交点的横坐标在一1和0之间，根据对称性可知对 称轴之<一品<1， ∴.b>-2a,即2a十b>0,故B选项错误； 当x=一1时，可知y>0,即a-b+c>0,故D选项 错误； 观察图象知a>0,b0,c<0, 故abc>0,故A选项错误； 由对称轴的范围可知b<一a,即b十a<0, 故4b+4a<0,① 把点(2,0)代入抛物线方程中，得4a+2b十c=0, 故4a=-2b-c, 再代入①式中，可得4b一2b一c<0, 整理即为2b一c<0,故C选项正确。 2C提示：①开口向下，a<0, 对称轴在y轴的右侧，a,b异号，则b>0, 抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c>0, 故abc<0, 所以①正确，符合题意； ②当x=一1时图象在x轴的下方，则y=a一b十c< 0,即a十c<b, 所以②不正确，不符合题意； ③对称轴为直线x=1,则x=2时图象在x轴的上方， 则y=4a十2b+c>0, 所以③正确，符合题意； ④x=一会=1，则a=-6,而a-b叶<0， 则-2b-十c<0,2c<36,所以④正确，符合题意； ⑤开口向下，当x=1时，y有最大值a十b十c, 当x=m(m≠1)时，y=am2+bm+c, 则a+b十c>am2+bm十c, 即a十b>m(am十b)(m≠1)，所以⑤错误，不符合 题意 故①③④正确. 3D提示：二次函数的图象开口向下，且与y轴的交 点在x轴的上方，∴.a<0,c>0. 抛物线的对称轴为直线x=1,·二名。=一卫 .b=2a<0,.abc>0,故①错误； ,'抛物线的对称轴是直线x=一1，当x=0时，y=c>0, ∴.当x=-2时，y>0,∴.4a-2b十c>0,故②正确； ,抛物线的开口向下，对称轴为直线x=一1， .当x=-1时，y有最大值a-b十c, ∴.当x=m时，函数值不大于a一b十c, '.a-b+c≥am2十bmm十c, .a一b≥m(am十b)(m为任意实数)，故③错误； 点（一3,1）到对称轴的距离为一1一（一3)=2， 点(3，y2)到对称轴的距离为3一（一1）=4， 抛物线开口向下，∴少>y2,故④正确. 4D提示：二次函数的图象开口向下，.a<0. :二次函数的对称轴为直线x=1,一会-1， ∴.b=-2a,b>0,∴.ab<0,故①正确； 抛物线过点（一1,0）， ∴由对称可得二次函数的图象与x轴的另一个交点 为(3,0)， 由函数图象可得当x=2时，y>0,∴.4a十2b+c>0, 故②正确； :当x=-1时，y=0,.a-b+c=0, 将b=-2a代入，得3a十c=0,故③错误； :对称轴是直线x=1,“西型=1，即当十 2 x2=2时，y=2,.当+x2>2时，点A(1,) 到对称轴的距离小于点B(x2,y2)到对称轴的距离， 二次函数的图象开口向下，y>y,故④正确. 5A提示：令3x+19=x2+4x-1, 整理得x2十x一20=0，解得x1=-5,x2=4, ∴直线y=3x十19与抛物线的交点的横坐标为一5,4. ,y=x2+4x一1=(x十2)2-5，.抛物线的开口向 上，对称轴为直线x=一2，顶点为（一2，一5）. 把y=-5代入y=3x十19，解得x=-8. 若M=y2=y,x<x2<x3, 则一8<x1<-5,x2十x3=-4, .-12<c1+x2+x3<-9. y=kx十1， 6C提示：联立方程组 -i, 可得x,满足方程子2一kx一1=0，M,%满足方 程y2-(2+4k)y十1=0.由根与系数的关系得+ x2=4k,x1x2=-4,1+2=4h2+2,yM2=1, ∴.①②正确. 由两点间的距离公式得 AB=√(-x2)2+(M-y2) =√(+x2)2-4x1x2+(M十2)2-41y2 =4(2+1). .当k=0时，AB的最小值为4. S0e=号×1XAB=2.③正确， 由题意得kN=当十1，y=业十1 01 “kNkN=当+史.2+1=丛十1D(2十 2 C1X2 4k+2+1+1=-2-1.∴当k=0时，ANLBN, 一4 当≠0时，AN与BN不垂直..④错误. ☑头.提示：由条件可得y=一x2+3x-1, ,2x+y=2x-x2+3x-1=-x2+5x-1=-（x 8）+24, 参考答案与提示 ÷当x-号时，2十y有最大值到. 8(1)设抛物线的解析式为y=a(x十1)(x一3)， 将点C(0,3)代入，得-3a=-3,解得a=-1, 故抛物线的解析式为y=一x2+2x十3. (2)由点B,C的坐标可得直线 BC的解析式为y=一x十3.如 图，过点P作y轴的平行线，交 CB于点H,连接PC,PB. 设点P(x,-x2+2x十3)， 则点H(x,一x十3)， 则△PBC的面积=Sae十SAB=号XPHXOB=- 是(-2+2x+3+x-3)=-是(x-是）)‘+g<号， 即△PBC的面积的最大值为智，此时点P(号，). (3)存在.理由如下： 由(1)知抛物线的解析式为y=一x2+2x十3， .对称轴为直线x=1. 设点M(1,t),N(x,y),若BC为菱形的边，菱形为 BCMN, 则BC2=CM,即18=12+(t-3)2, 解得1=√/17+3，t2=-√7+3. /3+1=0+, (0+t=3+y, .x=4,y=t-3. ∴.N1(4,√17)，N2(4,-√17). 若BC为菱形的边，菱形为BCNM,则BC2=BM,即 18=(3-1)2+2,解得=√14，t4=-√14. :/3+x=01,z=-2,y-3+2 0+y=3+t, .N3(-2,√14+3)，N4(-2,-√14+3). 综上所述，点N的坐标为(4，一√17)或(4，√17)或 (-2,√14+3)或(-2，-√14+3)， 9D提示：y=x2-2x十1=(x一1)2，且抛物线沿着 x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移2个 单位长度，.平移后的新抛物线的解析式为y=(x -1-1)2-2=(x-2)2-2. 10D提示：∠OBC=30°，.OB=√3OC, y=x2+ax+b,.C(0,b), .B(W3b,0),代人函数解析式中， 得(W3b)2+aW3b)+b=0, .∴.3b+√3ab+b=0, ∴.3b+√3a+1=0. 目培优竞赛超级课堂9年级数学 1]B提示：'A(m一2，a),C(m,a)关于对称轴对称， .m-2+m=--24 2 2 .∴.m一1=t,且点A在对称轴左侧，点C在对称轴右侧， ,抛物线与y轴的交点为(0,3)，抛物线的对称轴为直 线x=t, .此交点关于对称轴的对称点为(2m一2,3)， 又.'a<b<3,t>0,4<2m-2, .m>3, 当点A,B都在对称轴左侧时， ,a<b,.4<m-2,解得m>6, 当点A,B分别在对称轴两侧时，·a<b, ∴点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离， .∴.4-(m-1)>m-1-(m-2), 解得m<4, .3<m<4, 综上所述，3<m<4或m>6. 2C提示：，A(2-t,边)，B(t边)是抛物线y=x2十 bx十c上不同的两点， .-5=2-g+=1, 2 2 b=-2, .抛物线y=x2-2x十c=(x-1)2十c-1. ,抛物线开口向上，对称轴为直线x=1, ∴.函数在x=1时有最小值c一1， .当x=0或2时，y=c. ,当0≤x≤t时，恒有c-1≤h≤c, ∴.1<t≤2. 第6讲二次函数与一元二次方程 例1C提示：当y=0时，(2十n)x2-(2n十1)x十1=0， 解得市女 1 设题中二次函数的图象被x轴截得的线段长度为d, d=a一=丹nh .d1+d2+…+d2o27 -(1-号)+（分-号）++(202722s) 12027 =1-20282028 例2①②④⑤.提示：把x=-1代入二次函数y=ax2十 (a-2)x-2中，得y=a十2-a-2=0, 故该函数图象经过点（一1,0），①正确； 当a=一1时，该二次函数的图象开口向下， 对称轴为直线=一名=-“2=一是， 故当x>-号时y随x的增大而诚小， 因此当x>一1时，y随x的增大而减小，②正确； △=-4ac=(a-2)2+8a=(a+2)2≥0， ∴该函数图象与x轴有两个不同的交点或只有一个交 点，③错误； 由①可知关于x的方程ax2十(a-2)x-2=0有一个 根-1， 设另一个根为”，由韦达定理可知(-1)·=一2 ·2=2 当a>2时，有0<2<1， a 即关于x的方程a.x2+(a一2)x一2=0有一个根大于 0且小于1，故④正确： 当0>2时，对称销为直线x-2公-日-<0， 则关于x的方程ax2十(a一2)x-2=-2有两个非正 数解， 将y=ax2+(a一2)x一2在x轴下方的图象沿x轴翻 折可得到函数y=|ax2+(a一2)x一2|的图象， -y=2 -3-2-101234x -1 -2 令y=2,则直线y=2与y=|ax2+(a-2)x-2共有 4个不同的交点， 其中，只有最右侧的交点的横坐标为正， 即关于x的方程ax2十(a一2)x一2=2的正数根只 有一个，故⑤正确. 例3B提示：二次函数的图象开口向上，故a>0,与y 轴交于负半轴，故c<0,∴ac<0,故①正确； :二次函数图象的对称轴为直线x=1,且开口向上， ∴.当x≥1时，y随x的增大而增大，故②错误； :二次函数图象的对称轴为直线x=一名会-1， ∴.b=一2a,即2a十b=0,故③正确； 由图象可知，对称轴为x=1,其中一根一1<x<0,故 ④错误； 由图象可得，当x=2时，y=4a十2b十c<0,故⑤正确. ⑦丽(1)在抛物线)=-分：+子x十4中，令x=0,得 y=4,则B0,0令y=0,得0=-之2+名x十4，解