第4讲 一元二次方程的应用-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年九年级全一册数学

第4讲 一元二次方程的应用 泉情境课堂 秦九韶(1202一1261)与李冶、杨辉、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.秦九韶的《数 书九章》是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦，特别是“大衍求一术”（不定方程的 中国独特解法)及高次代数方程的数值解法，在世界数学史上占有崇高的地位，它领先 高斯的解法554年.另外，秦九韶的任意次方程的数值解法领先霍纳的解法572年.那 时欧洲漫长的黑夜犹未结束，中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒 秦九韶纪念馆 列方程求植被面积 一位农民承包商为一个扩建的广场种植绿色植被，广场是一个长方形广场，要求使广场植被面积占广场 整个面积的一半.该农民设计了几种方案，最终只有下列方案被采用， 0 如图所示，在长方形广场正中央种植绿色植被，周围是等宽的马路.如何量出 马路的宽度，画出其中的分界区域呢？当时农民有足够长的绳子，仅用绳子就解决 了此问题.勤于思考的读者，你知道他是怎么做的吗？ 提示：先使绳子的长度等于长方形的长加宽，然后减去其对角线的长度，剩余部分对折，再对折后的长度 即为马路的宽度.设长方形ABCD的长为a,宽为b,马路宽为x,于是有方程(a一2x)(b一2x)= 2ab,解得 x=a+b±√a2+b 因为心号，所以x=+b@+B 典例剖析 类型1) 列方程求解平均增长率问题 例属芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发 展新兴产业.某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个，第三季度 生产了288万个. (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率， (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线 的最大产能将减少20万个/季度.该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能的 同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ ⑤【学找切入点】(1)设第二、三季度生产量的平均增长率为x,利用第三季度的生产量=第一季度的生产量X (1十x)2,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论. ·18… 第4讲一元二次方程的应用 (2)设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为(600一20)万个/季度，根据该公司要保证每 季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合在增加产能的 同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线， 变式1-1(2024，淄博中考)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高， 某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人. (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率， (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购 买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最低 售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数. 类型2)列方程求解与面积有关的问题 例2(2025，威海中考)如图，某校有一块长20m、宽14m 20m 的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部 修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面 积均为24m的9个矩形地块，请你求出小路的宽度. ⑤【学找切入点】设小路宽为xm,根据面积相等列方程求解。 变式2-1(2023，东营中考)如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助 A 房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD,并在BC边上留 一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）： BEF (1)当羊圈的长和宽分别为多少时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650m吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由. 。19· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 类型3)列方程求解利润问题 例3北京冬奥会期间，某商店购进600个纪念品，每个纪念品的进价为6元，第一周以每个10元 的价格售出200个.第二周商店为了适当增加销售量，决定降价销售.根据市场调查，单价每降低 1元，可多售出50个（售价不得低于进价）.第三周商店把每个纪念品的售价再在第二周售价的基 础上降低20%，剩余纪念品全部售完. 注：销售利润=销售量×（售价一进价）. (I)若第二周每个纪念品降价m元，用含m的代数式表示这批纪念品第二周的销售利润； (2)若前两周商店销售这批纪念品的利润为1400元，求第二周每个纪念品的售价； (3)若这批纪念品共获得销售利润1730元，求这批纪念品第三周的销售数量 ⑧【学找切入点】(I)利用第二周每个纪念品的销售利润=售价一进价，即可用含m的代数式表示出第二周 每个纪念品的销售利润，利用销售量=200十50×每个纪念品降价的钱数，即可用含m的代数式表示出销售量， 再利用这批纪念品第二周的销售利润=第二周每个纪念品的销售利润X销售量，即可用含的代数式表示这 批纪念品第二周的销售利润. (2)根据前两周商店销售这批纪念品的利润为1400元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出 m的值，将其正值代入(10一m)中即可求出结论. (3)利用总利润=单个销售利润X销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再将 其正值代入600-200-(200十50m)中即可求出结论. 变式3-1现在是深秋季节，很多服装店已在为冬季销售作准备，某服装店看准了甲、乙两款羊毛 衫，准备囤一些货以备售卖.已知每件乙款羊毛衫进价比甲款羊毛衫进价多40元，用8000元购 进甲款羊毛衫和用9000元购进乙款羊毛衫的数量相同. (1)求每件甲、乙款羊毛衫的进价各为多少元？ (2)据市场调查，若甲款羊毛衫每件售价为370元，每天可卖出30件；乙款羊毛衫每件售价 为420元，每天可卖出15件.在销售过程中商家为了吸引顾客，决定对甲款羊毛衫进行降价销 售，在现有售价的基础上，每降价1元可多售出2件.为了更大程度让利顾客，每件甲款羊毛衫降 价多少元时，商家销售甲、乙两款羊毛衫日盈利可达到3000元？ 拓展总结 利润计算公式 (1)毛利润=售价一进价； (2)纯利润=售价一进价一其他费用； (3)利润率=利润X100%=售价进价×100%； 进价1 进价 (4)售价=进价×(1十利润率)； (5)总利润=单个利润X销售量=总收入一总支出. ·20· 第4讲一元二次方程的应用 类型4)列方程求解数字问题 ,例4（经典，全国联赛）试求这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之 和的平方，恰好等于这个四位数. ⑤【学找切入点】由题设可知所求的四位数等于前两位数与后两位数之和的平方，可得二元二次方程，再将 其看作关于某一个未知数的一元二次方程，结合整数解求这个四位数. 变式4-1有一个两位数，其个位数字与十位数字的和为14，若交换数字的位置后，得到的新两 位数比这两个数字的积还大38，求这个两位数. 拓展总结 数字排列问题的解法 对于数字排列问题，一要明确最高位上的数字为不大于9的正整数，其他数位上的数字为不大于9 的非负整数；二要会用字母正确地表示数，两位数=十位上的数字×10十个位上的数字，三位数=百位上的 数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字. 类型5)应用一元二次方程的知识求解其他问题 例5如图是一个五边形的空地ABCDE,∠B=∠C=∠D=90°，∠A= 135°，已知AB=4m,BC=8m,CD=10m,DE=2m,现准备在五边形 ABCDE内按如图所示的方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部 E 分铺设地砖.点F,G,H分别在边AE,BC,CD上 (1)求五边形ABCDE的面积， (2)若长方形FGCH的面积为35m,求BG的长. (3)若铺设木地板的成本为200元/m2,铺设地砖的成本为100元/m,投资7300元能否完 成地面铺设？请通过计算说明， ⑥【学找切入点】(I)过点E,A分别作EM⊥BC于点M,AN⊥EM于点N,将五边形ABCDE划分成一个梯 形和一个矩形即可求解。 (2)设BG=xm,则FG=(4十x)m,CG=(8一x)m,根据题意列出方程即可求解. (3)设BG=ym,根据“投资7300元”列出方程即可求解. ·21· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 变式5-13如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC=8cm,点P 从点A出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发向点C以 1cm/s的速度移动.若P,Q分别同时从A,B出发，设运动时间为ts,当四 边形APQB的面积是16cm时，t的值为 A 《研讨乐园 例6（经典，上海理科实验班招生）甲、乙两人分别从A,B两地同时向同一方向出发， 甲经过B地后再走3小时12分在C地追上乙，这时两人共走了72千米，若乙从A地走 到C地需5小时，求A,B两地的距离。 【解】甲的探究直接以A,B两地的距离为未知数 方法-如图1所示，设A,B两地的距离为x千米，则B,C两地的距离为(72-x)千米，甲的速度为 22- x+号2- 一千米/小时，乙的速度为 5 一千米/小时， 号2-） 依题意列方程， x+22- -,即72+x)2=5(72-)2 x+2(2-d） (72-x) 1 5 16 5 3 解得x1=8,x2=648(不合题意，舍去). 米B C (72-5.x)千米 B 72x千米 2 5.x千米 图1 图2 乙的探究 以一人的速度为未知数」 方法二如图2所示，设乙的速度为工千米/小时，则甲的速度为2一5工千米/小时 16 5 候题意列方程，得7产2亚（下略小 72-5xx 16 721 5 方法三如图3所示，设甲每小时走x千米，则乙每小时走5 一千米 7216 5 依题意列方程，得 72-16 °（下略）. 5 5 ·22· 第4讲一元二次方程的应用 16x千米 A B 5y千米 (72-9x)千米 x千米 5 图3 图4 丙的探究以两人的速度为未知数. 方法四如图4所示，设甲每小时走x千来，乙每小时走y千米，则B,C两地的距离为2千米，A,C两地 x+5y=72, 16 的距离为5y千米.依题意列方程组，得 6 （下略). 5-5 )变式6-1甲、乙两人同时从圆形跑道上的同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快.过 了一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即改变方向，沿逆时针方向以原来的速度跑去；当 两人再次相遇时，乙恰好跑了4圈.则甲的速度是乙的 倍。 能力平台 ©培优训练 (建议用时30分钟) B12-2)10-x)=12×10x号 1.(2025,辽宁中考)中国古代数学家杨辉的《田亩比 类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云 C12-x10-2x)=12x10×号 长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩 D.(12-2x)(10-2.x)=12X10× 5 形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共 3.某校组织校园足球联赛，某班级在联赛中的获胜场 60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽 数是一个两位数，且这个两位数的个位数字与十位 为x步，根据题意可列方程为( 数字之和为5，获胜场数比它个位数字的平方小2， A.x(60-x)=864 则该球队的获胜场数为(). B.x(x-60)=864 A.14 B.23 C.32 D.41 C.x(60+x)=864 4.(2023,黑龙江中考)如图，在长为100m,宽为50m D.2[x+(x+60)]=864 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的 2.(2025,广元中考)如图， 12m 在长为12m,宽为10m 花卉 部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m,则 小路的宽是( 的矩形地面的四周种植 草坪 10m A.5m 花卉，中间种植草坪.如 B.70m 果要求花卉带的宽度相 C.5m或70m 同，且草坪的面积为总面积的号，那么花卉带的宽 D.10m 度应为多少米？设花卉带的宽度为xm,则可列方 5.(2025,天水一中期中)如图，在长为32m,宽为20m 程为(). 的矩形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分）， ,2 A.(12-x)(10-x)=12×10X 余下部分种植草坪.要使小路的面积为100m,设 ·23· 目)培优竞赛超级课堂 9年级数学 小路的宽为xm,则下列方程正确的是( 9.如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点 32m D,BD-2,DC=3,求AD的长.小萍同学灵活运用 轴对称知识将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此 20m 题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题： (1)请分别以AB,AC为对称轴，画出△ABD, A.32X20-32x-20x=100 △ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为 B.32x+20x=100+x2 E,F,延长EB,F℃相交于点G,求证：四边形 C.(32-x)(20-x)+x2=100 AEGF是正方形； D.(32-x)(20-x)=100 (2)设AD=x,利用勾股定理建立关于x的方程， 6.(经典，泰安中考)我国古代著作《四元玉鉴》记载 求出x的值. “买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株 椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为： 现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果 每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的 椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能 买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意 的方程是(). A.3(x-1)x=6210 B.3(x-1)=6210 C.(3x-1)x=6210D.3x=6210 7.(2023,邵阳中考)某校截止到2022年底，校园绿化 面积为1000平方米.为美化环境，该校计划2024年 底绿化面积达到1440平方米.利用方程思想，设这 两年绿化面积的年平均增长率为x,则依题意列方 程为 8.如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按 照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数 中，最小的数与最大的数的乘积为153，则这个最小 的数为 二 三 四 五 六日 1 3 4 5 6 初四初五初六清明初八初九 1 8 9 10 11 12 13 初十十一十二 十三十四 十五十六 1415 161718 19 20 十七十八十九 二十廿一廿二谷雨 ⑧竞赛训练 (建议用时20分钟) 21 22 23 24 25 26 27 10.(经典，黄冈竞赛)若(x2一x一1)+2=1，且x是整 廿四廿五廿六廿七廿八廿九三十 28 29 30 数，则x的值的个数是(). 四月 初二初三 A.1 B.2 C.3 D.4 ·24· 第4讲一元二次方程的应用 11.第十四届国际数学教育大会(ICME-14)在中国上： 13.如图所示是2025年1月的日历表，用虚线方框按 海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学 如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列 元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方 问题 的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数 (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180， 3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有 求最小数， 0~7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进 (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个 制是3×83+7×82+4×81+5×8°=2021，表示 数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不 ICME14的举办年份.小婷设计了一个m进制数 能，请说明理由. 165,换算成十进制数是96，则m的值为(). SMT WT F S 1234 56「7891011 12131415161718 ICME-14 三王三 19202122232425 262728293031 A.12 B.7 C.6 D.5 12.我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》 中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方 程x2十2x一8=0即x(x十2)=8为例说明，记载 的方法是：构造如图所示的正方形，大正方形的面 积是(x十x十2)，同时它又等于四个矩形的面积 加上中间小正方形的面积，即4×8十22，因此(x十 x十2)2=4×8十22，所以x=2.则在下面四个构图 中，能正确说明方程x2一3x一10=0的解法的构 图是(). x+2 2 x+2 x+2 x+2 A B D ·25·第4讲一元二次方程的应用 例1(1)设第二、三季度生产量的平均增长率为x, 根据题意列一元二次方程得200(1十x)2=288, 整理得200x2十400x一88=0， 解得=0.2=20%，x2=一2.2（不符合题意，舍去） 答：第二、三季度生产量的平均增长率为20% (2)设应该再增加m条生产线， 则每条生产线的最大产能为(600一20m)万个/季度， 根据题意列一元二次方程得(m十1)(600一20m)= 2600, 整理得m2-29m十100=0， 解得m=4,2=25, 又在增加产能的同时又要节省投人成本，∴m=4. 答：应该再增加4条生产线。 例2设小路的宽度为xm,则9块矩形地块可合成长为 (20-4x)m,宽为(14一4x)m的矩形， 根据题意得(20一4x)(14一4x)=24×9, 整理得2x2-17x十8=0， 1 解得1=2m=8(不符合题意，舍去). 答：小路的宽度为之m 例3(1)依题意得第二周每个纪念品的销售利润为(10一 m一6)=(4一m)元，销售量为(200十50m)个， '.这批纪念品第二周的销售利润为(4一m)(200十 50m)元. (2)依题意得(10-一6)×200十(4一m)(200十50m)=1400, 整理得m2-4=0,解得m=2,2=-2(舍去)， ∴.10-m=10-2=8. 答：第二周每个纪念品的售价为8元 (3)依题意得(10-6)×200+(4一m)(200+50m)+ [(10一m)×(1-20%)-6][600-200一(200+50m)] =1730, 整理得m2+26m-27=0, 解得m=1,m2=-27(舍去)， .600一200一(200+50m)=600-200-(200+50×1) =150. 答：这批纪念品第三周的销售数量为150个. 例4设前后两个两位数分别为x,y,10≤x≤99,0≤y≤ 99,且x,y均为正整数，根据题意有(x十y)2=100x十y, 即x2+2(y-50)x+(y2-y)=0.① 当△=4(y-50)2-4(y2-y)=4(2500-99y)≥0， 即y≤25时，方程有实数解x=50-y士√2500-99y, 参考答案与提示 由于2500-99y必为完全平方数， 设2500-99y=k2(k∈Z,0≤k≤50)， 则(50十k)(50-k)=99y, 故11(50+)与11|(50-)至少有一个成立. 因为50≤50+k≤100,0≤50-k≤50，所以50+k= 55,66,77,88,99,或50-k=0,11,22,33,44. 故99y=55×45,66×34,77×23,88×12,99×1, 或99y=100×0,89×11,78×22,67×33,56×44. 解得y的非负整数只有y=25,y=1,y=0. 代人方程①，解得x=30或20，x=98或0，x=0或 100. 显然，x=0或100不符合条件，故符合条件的四位数 共有3个，分别为3025,2025,9801. 例5(1)过点E,A分别作EM⊥BC于点M,作AN⊥EM 于点N,如图所示. B G 月M H 则∠EAN=∠AEN=45°，.AN=EN, .MN=AB,EM=CD, ..EN=EM-MN=DC-AB=10-4=6 m, ∴.AN=6m, ÷S形E=S8号8B十S是6m=号X(4+10)X 6+2×10=62m2. (2)设BG=xm,则FG=(4十x)m,CG=(8-x)m, 根据题意得(4十x)(8-x)=35,解得x=1,x2=3. 答：BG的长为1m或3m. (3)设BG=ym,且0<y<6, 由题意可得 200(4+y)(8-y)+100[62-(4+y)(8-y)]=7300, 化简得y2-4y-21=0, 解得y1=7,y2=一3，均不符合题意， ∴投资7300元不能完成地面铺设. 【变式题组】 1-1(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x, 由题意得32(1+x)2=50, 解得x1=0.25=25%,x2=一2.25（不符合题意，舍去）. 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%. (2)设购买这种健身器材的套数为m套， ,240000÷1600=150(套)，.m>100, 目培优竞赛超级课堂 9年级数学 由题意得m1600-”00×40）=24000, 整理得m2-500m十60000=0， 解得m=200,m2=300. 当m=200时，1600-m10×40=1600-400= 10 1200>1000,符合题意； 当m=300时，1600-m100×40=1600-800= 10 800<1000,不符合题意，舍去. 答：购买这种健身器材的套数为200套 2-1(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70一 2x十2=(72-2x)m. 根据题意得x(72-2.x)=640, 化简得x2-36x十320=0，解得=16，x2=20, 当x=16时，72-2x=72-32=40: 当x=20时，72-2x=72-40=32. 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为 20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈， (2)不能，理由如下：由题意得x(72一2x)=650, 化简得x2一36x+325=0, ,△=(-36)2-4×325=-4<0， 一元二次方程没有实数根. .羊圈的面积不能达到650m. 答：羊圈的面积不能达到650m2. 3-1(1)由题意，设甲款进价为x元， :.8000_9000 x+40' .x=320. 经检验，x=320是原分式方程的解。 答：每件甲款羊毛衫的进价为320元，每件乙款羊毛衫 的进价为360元. (2)设甲款降价y元/件， .(370-y-320)(30+2y)+(420-360)×15= 3000, y2-35y+300=0,.y1=20,2=15(舍去). 答：甲款降价应为20元. 4-1设个位数字为x,则十位数字为14一x,两数字之积 为x(14-x),两个数字交换位置后的数为10x十(14一x). 由题意得10.x十(14-x)-x(14-x)=38, 整理得x2-5x-24=0,解得01=8，x2=一3. -3<0,不符合题意，舍去.x=8. 当x=8时，14一x=6,.原数为68. 答：这个两位数是68. 5-12.提示：在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm, AC=8cm,∴.BC=√/AB2-AC=6cm. 当运动时间为ts时，AP=2tcm,PC=(8-2t)cm, BQ=t cm,CQ-(6-t)cm, 根据题意得号×6×8-2(8-2(6一)=16， 整理得t2-10t+16=0, 解得t1=2,t2=8. :8-2t≥0，t≤4， ∴.t=2. 61+ 中4。提示：设甲的速度为V,乙的速度为V2, 跑道一圈的长度为S,根据题意可得（☑二，+ S 7十V)V=4S,整理得2W-VV2-2Vg=0. y≠0,2（伦）长-2=0 y=1+☑ 4 故甲的速度是乙的十亚倍 【能力平台】 ①A提示：利用矩形面积公式即可列出方程为x(60一 x)=864. 2D提示：设花卉带的宽度为xm, 根据题意得(12-2m)(10-2）=12×10×号. 3A提示：设该球队的胜场数的十位数字为x, 则个位数字为5一x, 由题意得10x十5-x=(5-x)2-2, 整理得x2-19x十18=0， 解得x1=1,x2=18(不符合题意，舍去)， .5-x=4, 即该球队的胜场数为14. 4A提示：设小路的宽是xm,则余下的部分可合成长 为(100一2x)m,宽为(50一2x)m的矩形， 根据题意得(100-2x)(50-2x)=3600, 整理得x2一75x十350=0，解得=5，x2=70(舍去)， ∴.小路的宽是5m 5B 6A提示：，这批椽的数量为x株，每株椽的运费是 3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽 的价钱，∴.一株椽的价钱为3(x一1)文. 依题意得3(x一1)x=6210. 71000(1+x)2=1440. 89.提示：设最小数为x,则最大数为x十8， 根据题意列一元二次方程得x(x十8)=153， 整理得x2十8x一153=0， 解得1=一17（不符合题意，舍去），x2=9, 所以这个最小数为9. 9(1)由题意可得△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF, ∴.∠DAB=∠EAB,∠DAC=FAC. .∠BAC=45°，∴.∠EAF=90°. .AD⊥BC,.∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90° ∴.四边形AEGF是矩形. 又，AE=AD,AF=AD,.AE=AF ∴.四边形AEGF是正方形 (2)设AD=x,则AE=EG=GF=x, BD=2,DC=3,.BE=2,CF=3, ∴.BG=x-2,CG=x-3. 在Rt△BGC中，BG十CG=BC, ∴.(x-2)2+(x-3)2=52, 解得x1=6,x2=一1（舍去）， ∴.AD=x=6. 10D提示：由题意得x十2=0且x2-x一1≠0，或x2一 x-1=1,或x2-x-1=-1且x十2是偶数，分别解得 x=一2或2或-1或0. 11B提示：根据题意列出一元二次方程得1×m十6× m十5Xm=96,解得m=7,m2=-13(舍去). 2C提示：方程x2-3x-10=0, 即x(x-3)=10的拼图如图所示， x-3 x-3 -2 中间小正方形的边长为x一(x一3)=3，其面积为9， ∴.大正方形的面积为(x十x一3)2=4x(x一3)十9= 4×10十9=49，其边长为7， 因此，C选项所表示的图形符合题意。 3(1)设最小数为x,则最大数为x十8， 由题意得(x十8)x=180, 整理得x2十8x一180=0，解得x=一18或10， 当x=一18时，不符合题意，舍去， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 所以最小数为10. (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不 能为80，理由如下： (参考答案与提示 设最小数为y,则另外三个数分别是y十1，y十7，y十8， 由题意得y(y十8)+y十(y十1)+(y十7)+(y+8)=80, 整理得y2+12y-64=0,解得y=-16或4， 当y=一16时，不符合题意，舍去. y=4在最后一列，∴假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能 为80. 第5讲二次函数的解析式、图象和性质 例1方法一设二次函数的解析式为y=a(x一3)(x十1)， ·点(2，一3)在抛物线上， .-3=a(2-3)×(2+1), .a=1, ∴.二次函数的解析式为y=x2一2x一3. 方法二设二次函数的解析式为y=a(x一l)2+n, 则a8-1十=0，解得 a=1, (a·(2-1)2+n=-3,1 n=-4. .二次函数的解析式为y=(x一1)2-4=x2一2x一3. 例2A提示：y=(x十3)2-3(x十3)+5+2=x2+3x十 7,所以b=3,c=7. 例3C提示：由二次函数图象知a<0,c>0;由一次函数 图象知a>0,c>0,故A不符合题意； 由二次函数图象知a<0,c>0;由一次函数图象知a> 0,c>0,故B不符合题意； 由二次函数图象知a>0,c>0,根据对称轴a,b符号 “左同右异”，可得对称轴在y轴右侧；由一次函数图象 知a>0,c>0,故C符合题意； 由二次函数图象知a>0,c>0,根据对称轴a,b符号 “左同右异”，可得对称轴在y轴右侧；由一次函数图象 知a>0,c>0,故D不符合题意. 例4B提示：抛物线y=ax2十bx十c(a,b,c为常数) 关于直线x=1对称，。一名=1 .a>0,,b=-2a<0. :c<0,.abc>0,故①正确； :b=-2a,∴.2a十b=0,故②正确； :当x=0时，y<0,又对称轴为直线x=1, .当x=2时，y0, ∴.4a十2b十c<0,故③错误； ,抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1, ,∴.am2+bm+c≥a+b+c, 即am2+bm≥a十b,故④错误； ,当x=-1时，y>0,a-b十c>0. 又，b=-2a,.3a十c>0,故⑤正确.